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2012高考总复习《走向清华北大》精品课件15导数的应用


第十五讲导数的应用

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1.函数的单调性与导数 在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负关系:(1)如果 f′(x)>0,那么y=f(x)在这个区间内单调递增.(2)如果f′(x)<0,

那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.(3)如果f′(x)=0,那
么f(x)在这个区

间内为常数.

2.函数的极值与导数 (1)函数极值的定义 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点

的函数值都小,且f′(a)=0,而且在x=a附近的左侧f′(x)<0,右
侧f′(x)>0,则a点叫函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值. 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点 的函数值都大,且f′(b)=0,而且在x=b附近的左侧f′(x)>0,右 侧f′(x)<0,则b点叫函数的极大值点,f(b)叫函数的极大值,极

大值和极小值统称为极值.

(2)求函数极值的方法 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时, ①如果在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值.②

如果在x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.③
如果f′(x)在点x0的左?右两侧符号不变,则f(x0)不是函数极 值.

3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,

那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

4.解决优化问题的基本思路

考点陪练

1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且在x=-3时取得极值,则a的值 为( ) A.2 C.4 B.3 D.5

解析:由题意得f′(x)=3x2+2ax+3.又f(x)在x=-3时取得极值,所
以f′(-3)=30-6a=0,解得a=5.故选D. 答案:D

2.(2010·重庆统考)已知函数f(x)=x3-3x,则函数f(x)在区间[2,2]上的最大值是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析:f′(x)=3x2-3,当x∈[-2,-1]或[1,2]时,f′(x)≥0,f(x)单调递增;
当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.故极大值为f(-1)=2,极 小值为f(1)=-2,又因为f(-2)=-2,f(2)=2,∴f(x)在[-2,2]上的最 大值为2. 答案:C

3.f(x)是定义在(-∞,+∞)上的可导的奇函数,且满足 xf′(x)<0,f(1)=0,则不等式f(x)<0的解为() A.(-∞,-1)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,+∞)

解析:由xf′(x)<0知,当x>0时,f′(x)<0,即函数在(0,+∞)内单调递 减,而f(1)=0,故当x>0时,由f(x)<0可得x>1,又因为函数为奇 函数,故当x<0时,不等式f(x)<0的解集为0>x>-1,故选B. 答案:B

1 3 4.(2010 安徽联考)设函数f ? x ? ? x ? ax 2 ? 5x ? 6在区间 3 ?1,3? 上是单调函数, 则实数a的取值范围是( ) A.[? 5 , ??) C.(??, ?3] ? [? 5 , ??) B. ? ??, ?3? D.[? 5, 5]

解析 : 因为f ? ? x ? ? x 2 ? 2ax ? 5,由题意得f ? ? x ? 在区 间?1,3? 上符号不变.

?1? 若在该区间上为增函数, 则有
2 x ?5 1? 5? 2 f ? ? x ? ? x ? 2ax ? 5≥0, 故a≥ ? ? ? ? x ? ?, 2x 2? x?

1? 5? 而x ? ?1,3? , 令t ? ? ? x ? ? , 显然, t在[1, 5] 2? x? 上单调递增, 在[ 5,3]上单调递减, 故最大值为 1? 5 ? t |x ? 5 ? ? ? 5 ? ? ? 5, ? 2? 5? 所以a≥ ? 5;

? 2 ? 若在该区间上为减函数, 则有f ? ? x ? ? x 2 ? 2ax ? 5 ? 0,
x2 ? 5 1? 5? 故a≤ ? ? ? ? x ? ?, 2x 2? x? 1 1? 5? 7 而t |x ?1 ? ? (1 ? 5) ? ?3, t | x ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? ? , 2 2? 3? 3

由?1? 知a≤ ? 3.由?1?? 2 ? 可知a的取值范围 为(??, ?3] ? [? 5 , ??).故选C.

答案:C

5.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的 有________.

①函数f(x)在区间(-3,1)内单调递减;

②函数f(x)在区间(1,7)内单调递减;
③当x=-3时,函数f(x)有极大值; ④当x=7时,f(x)有极小值.

解析:由图象可得,在区间(-3,1)内f(x)的导函数值大于零,所以 f(x)单调递增;在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零,所以 f(x)单调递减;在x=-3左右的导函数符号不变,所以x=-3不 是函数的极大值点;在x=7左右的导函数符号由负到正,所

以函数f(x)在x=7处有极小值.故填②④.
答案:②④

类型一

函数的单调性

解题准备:求函数单调区间的基本步骤是:①确定函数f(x)的定 义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的 取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数

;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是单调递减函数.

【典例1】已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围; (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.

[分析]第(1)问由f(x)在R上是增函数知f′(x)≥0在R上恒成立,进
而转化为最值问题;(2)作法同第(1)问.

[解](1)由已知f′(x)=3x2-a, ∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数, ∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,

即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只需a≤0, 又a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数, ∴a≤0.

(2)由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立, 得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x2<3,∴只需a≥3.

当a≥3时,f′(x)=3x2-a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)<0,
即f(x)在(-1,1)上为减函数,∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.

[反思感悟]容易把f′(x)>0(f′(x)<0)看成是f(x)为增函数(减函数 )的充要条件,从而求错参数的范围.

类型二

函数的极值

解题准备:运用导数求可导函数y=f(x)极值的步骤: (1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根;

(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么
f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正,那么f(x)在这个 根处取得极小值.

【典例2】已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个 不同的交点,求m的取值范围.

[分析]第(1)问应用f′(x)>0?f(x)单调递增,f′(x)<0?f(x)单调递
减.第(2)问转化为f(x)极小值<m<f(x)极大值.

[解] ?1? f ? ? x ? ? 3x 2 ? 3a ? 3 ? x 2 ? a ? , 当a ? 0时, 对x ? R, 有f ? ? x ? ? 0, ?当a ? 0时, f ? x ?的单调增区间为 ? ??, ?? ? . 当a ? 0时,由f ? ? x ? ? 0, 解得x ? ? a或x ? a ; 由f ? ? x ? ? 0, 解得 ? a ? x ? a . ?当a ? 0时, f ? x ?的单调增区间为(??, ? a ), ( a , ??); f ? x ?的单调减区间为(? a , a ).

(2)∵f(x)在x=-1处取得极值, ∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0.∴a=1. ∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3.

由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极 大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3. ∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合f(x)的单调性可知,m的取值范围是(-3,1).

[反思感悟]此题虽是研究两个函数图象的交点个数问题,但实 质仍然是研究函数的单调性和极值问题,导数法求单调区 间的主要步骤是:求导;解不等式.求极值的一般方法是:求 导;求根;讨论根左右导数的符号,确定极值并求值.

类型三

函数的最值

解题准备:1.根据最值的定义,求在闭区间[a,b]上连续,开区间 (a,b)内可导的函数的最值时,可将过程简化,即不用判断使 f′(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点,直接将极值点

与端点的函数值进行比较,就可判定最大(小)值.
2.定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个极值点,该 极值点必为最值点.

【典例3】(2010·重庆)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求f(x)的表达式;

(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小
值.

[解] ?1?由题意得f ? ? x ? ? 3ax 2 ? 2x ? b. 因此g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax 3 ? ? 3a ? 1? x 2 ? ? b ? 2 ? x ? b. 因为函数g ? x ? 是奇函数, 所以g ? ? x ? ? ?g ? x ? , 即对任意实数x, 有a ? ? x ? ? ? 3a ? 1?? ? x ? ? ? b ? 2 ?? ? x ? ? b
3 2 3 2 ? ?? ax ? 3a ? 1 x ? ? b ? 2? x ? b? ? ? ? ?,

1 从而3a ? 1 ? 0, b ? 0, 解得a ? ? , b ? 0,因此f ? x ? 3 1 3 的解析式为f ? x ? ? ? x ? x 2 . 3

1 3 2 2 由 1 知 g x ? ? x ? 2x, 所以 g ? x ? ? x ? 2, ? ? ?? ? ? ? ? 3 令g? ? x ? ? 0, 解得x1 ? ? 2, x 2 ? 2, 则当x ? ? 2 或x ? 2时, g? ? x ? ? 0, 从而g ? x ? 在区间(??, ? 2], [ 2 , ??)上是减函数;当 ? 2 ? x ? 2时, g? ? x ? ? 0, 从而g ? x ? 在[? 2, 2]上是增函数.

由前面讨论知, g ? x ? 在区间?1, 2? 上的最大值与最小 5 4 2 值只能在x ? 1, 2, 2时取得, 而g ?1? ? , g ( 2) ? ,g 3 3 4 (2) ? .因此g ? x ? 在区间?1, 2? 上的最大值 3 4 2 4 为g ( 2) ? , 最小值为g ? 2 ? ? . 3 3

类型四

生活中的优化问题

解题准备:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模 型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).

(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的数值的大小,最大(

小)者为最大(小)值.

【典例4】某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米 ,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个 桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为(2+ 用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式; (2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
x

)x万元.假设桥墩等距离分

布,所以桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费

[分析]对(1),先设辅助未知数,再确定函数关系;对(2),先利用 导数求出最优解.

[解] ?1? 设需新建n个桥墩, 则 ? n ? 1? x ? m, m 即n ? ? 1, x 所以y ? f ? x ? ? 256n ? ? n ? 1? (2 ? x ) x 256 ?m ? m ? 256 ? ? 1? ? (2 ? x ) x ? m ? m x ? 2m ? 256. x ?x ? x

3 256m 1 1 m ? 2 ?由?1? 知, f ? ? x ? ? ? 2 ? mx ? ? 2 ( x 2 ? 512). x 2 2 2x 3 令f ? ? x ? ? 0, 得x ? 512, 所以x ? 64.当0 ? x ? 64时, 2 f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 在区间 ? 0, 64 ?内为减函数;

当64 ? x ? 640时, f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 在区间 ? 64, 640 ? 内为增函数.所以f ? x ? 在x ? 64处取得最小值, m 640 此时n ? ? 1 ? ? 1 ? 9. x 64 故需新建9个桥墩才能使y最小.

[反思感悟]本题将导数应用于工程的最优化问题的解决之中, 可以说是一个很好的设计,不仅考查了考生对函数?导数等 相关知识的掌握程度,还考查了考生数学建模能力及其解 决实际问题的能力.该题常见的错误有:①不能正确理解各 个量之间的正确关系,导致函数关系出错;②求错导函数;③ 解应用题没有总结,解答不完整.

错源一

混淆导函数与原函数的图象

【典例1】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值5,其 导函数的图象经过(1,0),(2,0),如图所示,求:(1)x0的值 ;(2)a,b,c的值.

1? 2 3 [错解] ?1?由图象知, 对称轴为x ? ? , 2 2 3 3 即当x ? 时, 取得极小值, 故x 0 ? . 2 2 2 2 对于函数 f ? x ? 3ax ? 2bx ? c,由 ? ? ? ? 2 ? ? ?a ? 9 , ?3a ? 2b ? c ? 0, ? ? 解得 ?b ? ?10, ?12a ? 4b ? c ? 0, ? 27 ? 9 3 40 ? a ? b ? c ? 5, ?c ? . 4 2 3 ?8 ?

[剖析]原题中的图象是导函数的图象,并非是原函数的图象.错 解中混淆导函数与原函数的图象,因而产生错误.

[正解]由于f′(x)=3ax2+2bx+c,(1)观察图象,我们可发现当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数;当x∈(1,2)时 ,f′(x)<0,此时f(x)为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,此时f(x) 为增函数,因此在x=2处函数取得极小值.结合已知,可得 x0=2.

? 2 ?由?1? 知f ? 2 ? ? 5,即8a ? 4b ? 2c ? 5. 再结合f ? ? x ?的图象可知, 方程 f ? ? x ? ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0的两根分别为1, 2,
2b ? 1? 2 ? ? , ? ?2b ? ?9a, ? 3a 那么 ? 即? ?c ? 6a. ?1? 2 ? c . ? 3a ? 5 45 联立8a ? 4b ? 2c ? 5, 得a ? , b ? ? , c ? 15. 2 4

错源二

误认为导数为零的点就是极值点

【典例2】求函数f(x)=x4-x3的极值,并说明是极小值还是极大 值.

[错解]f ? ? x ? ? 4x 3 ? 3x 2 .令f ? ? x ? ? 0,即4x 3 ? 3x 2 ? 0, 3 解得x1 ? 0, x 2 ? .那么f ? 0 ? ? 0, 4 27 ?3? ?3? ?3? f ? ? ? ? ? ?? ? ? ? .又f 256 ?4? ?4? ?4? 27 故极小值为 ? , 极大值为0. 256
4 3

?3? ? ? ? f (0), ?4?

[剖析]错解中的错误有两点,①认为导数为零的点就是极值点 ,其实,并非如此.导数为零只是该点是极值点的必要不充分 条件;②极大值大于极小值,这也是不准确的.极值仅描述函 数在该点附近的情况.

[正解]由f ? ? x ? ? 4x 3 ? 3x 2 ,当f ? ? x ? ? 0, 即4x 3 ? 3x 2 ? 0时, 3 解得x1 ? 0, x 2 ? .函数及导函数在区间中的变化情况, 4 见下表 :

由上表可知函数f ? x ? 在区间(??, 0)上是减函数, ? 3? 在区间 ? 0, ? 上还是减函数, 于是, x ? 0不是函数 ? 4? ? 3? 的极值点而函数 . f ? x ? 在区间 ? 0, ? ? 4? ?3 ? 上是减函数, 在区间 ? , ? ? 上是增函数, ?4 ? 3 27 因此在x ? 处取得极小值, 其值为 ? , 无极大值. 4 256

技法一

解决与不等式有关的问题

【典例1】当x>0时,证明不等式ln(1+x)>x-?x2成立. [解题切入点]欲证x>0时,ln(1+x)>x- ? x2,可以证 F(x)=ln(1+x)-(x-?x2)>0,易知F(0)=0,因此可以考虑F(x)在 [0,+∞)上是增函数.

[证明]设f(x)=ln(1+x), g(x)=x-?x2, F(x)=f(x)-g(x), F′(x)=f′(x)-g′(x)=
1 ? (1 ? . x). 1? x

当x≥0时,F′(x)=

x2 1? x

≥0.

所以F(x)在[0,+∞)上是增函数.

故当x>0时,F(x)>F(0)=0,

1 2? ? 即ln ?1 ? x ? ? ? x ? x ? ? 0, 2 ? ? 1 所以ln ?1 ? x ? ? x ? x 2 . 2

[方法与技巧]运用导数证明不等式是一类常见题型,主要是根 据欲证不等式的题设特点构造函数,利用导数判定函数的 单调性进而求解.

技法二 【典例2】设

解决与函数周期有关的问题

f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N, 则f2005(x)等于()

A.sinxB.-sinx
C.cosxD.-cosx

[解析]f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x)=cosx,f2(x)=f′1(x)=sinx,f3(x)=f′2(x)=-cosx,f4(x)=f′3(x)=sinx. 所以fn(x)的周期为4.

所以f2005(x)=f4×501+1=f1(x)=cosx.
故选C. [答案]C

[方法与技巧]本题是一个关于三角函数的求导问题,这里要利 用函数的周期性.刚开始求解不一定能看出周期性,这需要 借助我们平时的做题经验,由此可见,在平时的学习中要善 于总结.

技法三

解决与方程有关的问题

【典例3】方程x3-3x+a=0(a为常数)在区间[0,1)上() A.无实根B.有唯一实根 C.至多有一个实根D.有两个实根 [解析]设f(x)=x3-3x+a,则f′(x)=3x2-3在[0,1)上恒为负, 所以f(x)在[0,1)上单调递减.故选C.

[答案]C


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