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高中数学《平面向量的实际背景及基本概念》课件28 新人教A版必修4


平面向量的实际背景 及基本概念

向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量

几何表示:有向线段
向量的表示方法

字母表示: 、 a AB 等 坐标表示:(x,y)

向量的长度(模)

| AB |

零向量、单位向量概念
①长度为0的向量叫零向量,记作 0
? ?

0 的方向是任意的

②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量
说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小, 方向没有作任何限制

平行向量定义
? ? ?

方向相同或相反的非零向量叫平行向量
?

我们规定

0 与任一向量平行
? ? ?

c 平行,记作 a ∥b ∥c . 向量 a 、b 、

相等向量定义 长度相等且方向相同的向量叫相等向量
说明:(1)向量 a 与 b 相等,记作 a =b ;
(2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有 向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
?
? ? ?

注:
有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度.

向量与有向线段的区别:
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同, 则这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向 相同,也是不同的有向线段

共线向量与平行向量关系
平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上 (与有向线段的起点无关)

例1 判断: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量? (平行向量) (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 例2 下列命题正确的是( ) A.a与b共线,b与c共线,则a与c B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四

C.向量a与b不共线,则a与b D.有相同起点的两个非零向量不平行

练习 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量

OA 、 OB、 OC 相等的向量.

1.与向量长度相等的向量有多少个?(11个)

2.是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在)
3.向量共线的向量有哪些? ( CB, DO, FE )

小结:
1、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量等概念
2、区分平行向量、相等向量和共线向量

教学目标:
1. 知识与技能目标 了解向量的实际背景,掌握向量的有关概念 及几何表示。 2. 过程与方法目标: 通过解决实际问题,提高依据具体问题背景 分析问题、解决问题的能力。 3. 情感、态度与价值观目标: 体会数学在生活中重要作用,培养严谨的思 维习惯。

学习目标:
1、了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示; 2、掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、 共线向量等概念 3、会区分平行向量、相等向量和共线向量.

4、认识现实生活中的向量和数量的本质区别

引例
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息:伊拉 克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标?

1200公里

答案:不能,因为 没有给定发射的方向.

1200公里

1200公里

1200公里

2.1 平面向量的实际背景及基本概念
力:重力 ,浮力 ,弹力等

12N 5N f 5N f

1kg

许多物理量都有这样的性质...
抽 象 概 括

向 量

(一)向量的概念
定义:既有大小又有方向的量叫向量。
大小,方向 注:1.向量两要素:

2.向量与数量的区别: ①数量只有大小 ,可以比较大小。
②向量有方向,大小双重属性,而方向是不能比

较大小的,因此向量不能比较大小。
友情链接:物理中向量与数量分别叫做 矢量、标量

判断题

1.身高是一个向量(



2.温度含零上和零下温度,所以温度是向量(



3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。 ( )

(二)向量的表示方法
1、几何表示法: 用有向线段表示 。 问:什么是有向线段? 答:有向线段——具有方向的线段 有向线段三要素:起点、 方向、长度

2、字母表示法: AB或 a , b , c(印刷用黑体)等。

思考:有向线段就是向量,向量就是有 向线段? 有向线段只是一个几何图形,是 向量直观表示

(三)向量的模及两个特殊向量
向量 AB 的模 (或长度) 就是向量 AB 的大小
记作: | AB | 注:向量的模是可以比较大小的 如: | CD | ?| EF | , 但CD ? EF无意义

两个特殊向量
1.零向量: 长度(模)为0的向量,记作 0

规定: 0 方向是任意的。
2.单位向量: 长度(模)为1个单位长度 的向量

把所有单位向量的起点平移到同一起点P,向量的终点的集

合是什么图形?

是以P点为圆心,以1个单 位长为半径的圆。

(四)向量间的关系
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 1.相等向量: 向量 a 与

a?b b相等,记作:

?向量不能比较大小,但可以说相等不相等 ?向量可以自由平移

2.平行向量:方向 相同 或 相反 的非零向量 如下图: a , b , c平行

a b

c

记作: a // b //c

①规定:零向量与任一向量平行

②平行向量也叫共线向量

AB 、 BC 共线,则A、B、C、D四点
共线

a与b共线,b 与c 共线, 则a 与 c 共线。

练习:判断下列命题的真假,并注意体会它们之间的联系与不同

⑴若a∥b,则a=b( ×)
⑵若│a│=│b│则a=b( × )

⑶若│a│=│b│则a∥b( × )
⑷若a=b,则│a│=│b│(√ )

例题精析
【例1】:如图,设O是正六边形的中心,分别写 出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向量。
B A

C

O

F

D

E

解:
B

A

OA ? CB ? DO
OB ? DC ? EO
O
C F

OC ? AB ? ED ? FO
D E

变式训练
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个? 11个 2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向相 反向量? FE 3.与向量 OA 共线的向量有哪些?
B A

CB , DO , FE
O

C

F

D

E

例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100公 里到达B点,然后又改变方向向西偏北50度 走了200公里到达C点,最后又改变方向, 向东行驶了100公里到达D点 1.做出向量 AB 、 BC 、 CD 2.求 AD

北 D

(1)如图所示

C

A
西 B 南



(2)由题意,易知AB 与 共线,又
AB ? CD

CD方向相反,故 AB 与 CD
,

所以在四边形ABCD中,AB∥CD且 AB=CD 所以四边形ABCD为平行四边形 所以 AD ? BC =200(公里)

向量

?概念 ? ? ? ? ? ? ? 长度(或模) ?概念 ? 向量 ? ?符号表示 ? ? 零向量 ? ? ?特殊向量? ? ? ? ? 单位向量 ? ? ?几何: 有向线段 ? ? ? 大写字母): AB ?有向线段的起点终点( ?表示?符号? ? ? ? ? ? 小写字母: a ? ? ? ? 相等 关系? ? 平行(共线)

小结

作业
必做:
习题2.1 A组1, 5, 6

选做:
在等腰梯形ABCD中,对角线AC,BD交于O,EF为过O点且 平行于AB的线段. 1.写出图中的各组共线向量 2.写出图中的各组相等向量 3.写出图中的各组同向向量 E D O C F

A

B

祝同学们学习进步

第二次龟兔赛跑:兔子因为贪玩而忘记了两点之间线段最短,走了弯路。但聪明 的乌龟由起点A向东南方向前进100米直达终点B。乌龟再次获胜。 请用有向线段表示下列向量 (1)乌龟的位移 (用1cm表示50m) (2)1千克乌龟所受的重力。(用1cm长度表示5N)

解: 1cm 北

A
西 45? 东



B

例1 如图,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示 A地至B、C两地的位移,并求出A地至B、C两地的距离(精确到1km).

解: AB 表示A地至B地 的位移,且 AB ? 232km

AC 表示A地至C地的
位移,且 AC ? 296k m


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