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2014届高考数学一轮复习名师首选:第4章20《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》


学案 20

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

导学目标: 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导 出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公 式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用. 自主梳理 1.(1)两角和与差的余弦 cos(α +β )=___________

_________________________, cos(α -β )=____________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α +β )=_____________________________________, sin(α -β )=_____________________________________. (3)两角和与差的正切 tan(α +β )=_____________________________________, tan(α -β )=_____________________________________. π (α ,β ,α +β ,α -β 均不等于 kπ + ,k∈Z) 2 其变形为: tan α +tan β =tan(α +β )(1-tan α tan β ), tan α -tan β =tan(α -β )(1+tan α tan β ). 2.辅助角公式 asin α +bcos α = a2+b2sin(α +φ ), , ? a +b ? b , 其中?sin φ = a +b ? , ?tan φ =b a cos φ =
2 2 2 2

a

角 φ 称为辅助角.

自我检测 1.cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°的值为________. 2.已知 tan(α +β )=3,tan(α -β )=5,则 tan 2α =________. π π 3.cos + 3sin =________. 12 12 4.(1+tan 17°)(1+tan 18°)(1+tan 27°)(1+tan 28°)的值是________. π? 7π ? 4 3 ? ? 5.已知 cos?α - ?+sin α = ,则 sin?α + ?的值是________. 6 6 ? 5 ? ? ? 探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例 1 求值: 2 (1)[2sin 50°+sin 10°(1+ 3tan 10°)] 2sin 80°; (2)sin(θ +75°)+cos(θ +45°)- 3·cos(θ +15°).

2cos 10°-sin 20° 变式迁移 1 求值:(1) ; sin 70°

π π π π (2)tan( -θ )+tan( +θ )+ 3tan( -θ )tan( +θ ). 6 6 6 6

探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值,求另一角的三角函数值) π 3π ?π ? 3 ? 3π ? 5 例 2 已知 0<β < <α < ,cos? -α ?= ,sin? +β ?= ,求 sin(α +β )的 4 4 ?4 ? 5 ? 4 ? 13 值.

1 ?π ? 变式迁移 2 已知 tan? +α ?=2,tan β = . 2 ?4 ? (1)求 tan α 的值; sin? α +β ? -2sin α cos β (2)求 的值. 2sin α sin β +cos? α +β ?

[来源:学,科,网]

探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值,求另一角的值) π α 1 2 例 3 已知 0<α < <β <π ,tan = ,cos(β -α )= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值.

变式迁移 3 若 sin A=

5 10 ,sin B= ,且 A、B 均为钝角,求 A+B 的值. 5 10

转化与化归思想 2 5 (14 分)已知向量 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),|a-b|= . 5 (1)求 cos(α -β )的值; π π 5 (2)若- <β <0<α < ,且 sin β =- ,求 sin α 的值. 2 2 13 【答题模板】 2 5 4 2 2 解 (1)∵|a-b|= ,∴a -2a·b+b = .[2 分] 5 5 2 2 又∵a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),∴a =b =1, a·b=cos α cos β +sin α sin β =cos(α -β ),[4 分] 例

a2+b2-
故 cos(α -β )=

2 π π (2)∵- <β <0<α < ,∴0<α -β <π . 2 2 3 4 ∵cos(α -β )= ,∴sin(α -β )= .[9 分] 5 5 5 π 12 又∵sin β =- ,- <β <0,∴cos β = .[11 分] 13 2 13 故 sin α =sin[(α -β )+β ]=sin(α -β )cos β +cos(α -β )sin β 4 12 3 ? 5 ? 33 = × + ×?- ?= .[14 分] 5 13 5 ? 13? 65 【突破思维障碍】 2 5 本题是三角函数问题与向量的综合题,唯一一个等式条件|a-b|= ,必须从这个等 5 式出发,利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第 (1)问,在第(2)问中需要把未 知角向已知角转化再利用角的范围来求,即将 α 变为(α -β )+β . 本节主要应用转化与化归思想,即异角化同角.未知角向已知角转化,非特殊角向特殊 角转化. 【易错点剖析】 |a-b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点, 把未知角转化成已知角并利用角的范围 确定三角函数符号也是易错点. 1.转化思想是实施三角变换的主导思想,变换包括:函数名称变换,角的变换,“1” 的变换,和积变换. 2.变换则必须熟悉公式.分清和掌握哪些公式会实现哪种变换,也要掌握各个公式的 相互联系和适用条件. 3.恒等变形前需已知式中角的差异,函数名称的差异,运算结构的差异,寻求联系, 实现转化. 4.基本技巧:切割化弦,异名化同,异角化同或尽量减少名称、角数.
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4 4 2- 5 5 3 = = .[7 分] 2 5

课后练习 (满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) π 4 π 1.已知 a∈(- ,0),sin α =- ,则 tan(α + )=______________. 2 5 4 π 3 π 5π 2 2.已知 cos( -α )= ,则 sin (α - )-cos( +α )的值是________. 6 3 6 6 cos α -sin α 3.已知 α 、β 均为锐角,且 tan β = ,则 tan(α +β )=________. cos α +sin α π π 4.函数 y= 2sin( -x)+ 6cos( -x)的最大值为________. 4 4 sin 7°+cos 15°sin 8° 5.求值: =________. cos 7°-sin 15°sin 8° 6.在△ABC 中,3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1,则 C 的大小为________. π π 7.函数 f(x)=asin(x+ )+3sin(x- )是偶函数,则 a=_ _______. 4 4 ? π π? 2 8.已知 tan α 、tan β 是方程 x +3 3x+4=0 的两根,且 α 、β ∈?- , ?,则 ? 2 2?

tan(α +β )=__________,α +β 的值为________. 二、解答题(共 42 分) 33 5 ? π? ?π ? 9.(14 分)(1)已知 α ∈?0, ?,β ∈? ,π ?且 sin(α +β )= ,cos β =- . 2 2 65 13 ? ? ? ? 求 sin α ; 1 1 (2)已知 α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= ,tan β =- ,求 2α -β 的值. 2 7
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10.(14 分) (1)①证明两角和的余弦公式 C(α +β ):cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β ; ②由 C(α +β )推导两角和的正弦公式 S(α +β ): sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β . 1 → → 3 (2)已知△ABC 的面积 S= ,AB·AC=3,且 cos B= ,求 cos C. 2 5

11.(14 分)设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(2cos x,1),b=(cos x, 3sin 2x),

x∈R.

? π π? (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈?- , ?,求 x; ? 3 3? (2)求函数 y=f(x)的单调增区间,并在给出的坐标系中画出 y=f(x)在区间[0,π ]上 的图象.

答案 自主梳理 1.(1)cos α cos β -sin α sin β cos α cos β +sin α sin β (2)sin α cos β +cos α sin β sin α cos β -cos α sin β tan α +tan β tan α -tan β (3) 1-tan α tan β 1+tan α tan β 自我检测 1 4 4 1.- 2.- 3. 2 4.4 5.- 2 7 5 课堂活动区 例 1 解题导引 在三角函数求值的问题中,要注意“三看”口诀,即(1)看角,把角

尽量向特殊角或可计算的角转化,合理拆角,化异为同;(2)看名称,把算式尽量化成同一 名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为弦,或把所有的弦都转化为切;(3)看式子, 看式子是否满足三角函数的公式.如果满足 则直接使用,如果不满足需转化一下角或转换 一下名称,就可以使用. 解 (1)原式 3sin 10°?? ? ? =?2sin 50°+sin 10°·?1+ ??· 2sin 80° cos 10° ?? ? ? cos 10°+ 3sin 10°? ? =?2sin 50°+sin 10°· ?· 2sin 80° cos 10° ? ? 1 3 ? cos 10°+ sin 10°? 2 2 ?2sin 50°+2sin 10°· ?· 2cos 10° cos 10° ? ? 2sin 10°sin 40° ? ?· 2cos 10° =?2sin 50°+ ? cos 10° ? ? sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos 50° =2· · 2cos 10° cos 10° =? = 2sin 60° 3 · 2cos 10°=2 2sin 60°=2 2× = 6. cos 10° 2

?

(2)原式=sin[(θ +45°)+30°]+cos(θ +45°)- 3·cos[(θ +45°)-30°] 3 1 3 3 = sin(θ + 45°) + cos(θ + 45°) + cos(θ + 45°) - cos(θ + 45°) - 2 2 2 2 sin(θ +45°)=0. 2cos? 30°-20°? -sin 20° 变式迁移 1 解 (1)原式= sin 70° 3cos 20°+sin 20°-sin 20° 3cos 20° = = 3. sin 70° sin 70° π π π π π (2)原式= tan[( -θ )+( + θ )][1- tan( - θ )·tan( + θ )]+ 3tan( - 6 6 6 6 6 π θ )tan( +θ )= 3. 6 例 2 解题导引 对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一些 角的三角函数值,关键在于“变角”,使“所求角”变为“已知角”,若角所在象限没有确 定,则应分类讨论.应注意公式的灵活运用,掌握其结构特征, 还要学会拆角、 拼角等技巧. ?π ? ?π ? 3 解 cos? -α ?=sin? +α ?= , ?4 ? ?4 ? 5 π 3π π π 3π 3π ∵0<β < <α < ,∴ < +α <π , < +β <π . 4 4 2 4 4 4 =

?π ? ∴cos? +α ?=- ?4 ?
cos?

2?π 1-sin ? +α ?4

?=-4, ? 5 ?

?3π +β ?=-12. ? 13 ? 4 ? π 3 π ?? ? ? ?? ∴sin[π +(α +β )]=sin?? +α ?+? +β ?? ?? 4 ? ? 4 ?? π 3 π π 3 π ? ? ? ? ? ? ? +β ? =sin? +α ?cos? +β ?+cos? +α ?sin? ? ?4 ? ? 4 ? ?4 ? ? 4 ? 12 3 ? 56 56 ? 4 5 = ×?- ?- × =- .∴sin(α +β )= . 5 ? 13? 5 13 65 65
1-sin ?
2

?3π +β ?=- ? ? 4 ?

1+tan α ?π ? 变式迁移 2 解 (1)由 tan? +α ?=2,得 =2, 1-tan α ?4 ? 1 即 1+tan α =2-2tan α ,∴tan α = . 3 sin? α +β ? -2sin α cos β (2) 2sin α sin β +cos? α +β ? sin α cos β +cos α sin β -2sin α cos β = 2sin α sin β +cos α cos β -sin α sin β -? sin α cos β -cos α sin β ? -sin? α -β ? = = cos α cos β +sin α sin β cos? α -β ? 1 1 - 3 2 tan α -tan β 1 =-tan(α -β )=- =- = . 1+tan α tan β 1 1 7 1+ × 3 2 例 3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵循以下原 则: ①已知正切函数值,选正切函数; ? π? ②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0, ?,选正、余弦皆可; 2? ? π π ? ? 若角的范围是(0,π ),选余弦较好;若角的范围为?- , ?,选正弦较好. ? 2 2? (2)解这类问题的 一般步骤: ①求角的某一个三角函数值; ②确定角的范围; ③根据角的范围写出所求的角. α 1 解 (1)∵tan = , 2 2 α α ? α? ∴sin α =sin?2· ?=2sin cos 2 2 2 ? ? α α α 1 2sin cos 2tan 2× 2 2 2 2 4 = = = = . α α α 1 2 2 2 ? ?2 5 sin +cos 1+tan 1+? ? 2 2 2 ?2? π 4 3 (2)∵0<α < ,sin α = ,∴cos α = . 2 5 5 π 又 0<α < <β <π ,∴0<β -α <π . 2 2 7 2 ,得 sin(β -α )= . 10 10 ∴sin β =sin[(β -α )+α ]=sin(β -α )cos α +cos(β -α )sin α 7 2 3 2 4 25 2 2 = × + × = = . 10 5 10 5 50 2 由 cos(β -α )= 由 π 3 2 3 <β <π 得 β = π .(或求 cos β =- ,得 β = π ) 2 4 2 4
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

变式迁移 3 解 ∵A、B 均为钝角且 sin A= =- 2 2 5 =- , 5 5

5 10 2 ,sin B= ,∴cos A=- 1-sin A 5 10

cos B=- 1-sin B=-

2

3

3 10 =- . 10 10

∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B 2 5 ? 3 10? 5 10 2 =- ×? - ?- 5 × 10 = 2 .① 5 ? 10 ? π π 又∵ <A<π , <B< π ,∴π <A+B<2π .② 2 2 7π 由①②,知 A+B= . 4 课后练习区 1 2+ 3 1.- 2. 3.1 4.2 2 7 3 5.2- 3 sin? 15°-8°? +cos 15°sin 8° 解析 原式= cos? 15°-8°? -sin 15°sin 8° sin 15°cos 8° = =tan 15°=tan(45°-30°) cos 15°cos 8° 3 1- 3 tan 45°-tan 30° = = =2- 3. 1+tan 45°tan 30° 3 1+ 3 π 6. 6 解析 两式平方相加得 9+16+24sin(A+B)=37, 1 π 5 sin(A+B)=sin C= ,所以 C= 或 π . 2 6 6 5 π 3 如果 C= π ,则 0<A< ,从而 cos A> , 6 6 2 3cos A>1 与 4sin B+3cos A=1 矛盾, π 故 C= . 6 7.-3 π π 解析 f(x)=asin(x+ )+3sin(x- ) 4 4 = 2 2 3 2 3 2 2 2 asin x+ acos x+( sin x- cos x)= (a+3)sin x+ (a-3)cos x, 2 2 2 2 2 2

因为是偶函数,则 f(-x)=f(x),代入得: 2(a+3)sin x=0,所以 a=-3. 2 8. 3 - π 3

?tan α +tan β =-3 3, 解析 ? ?tan α tan β =4,
tan α +tan β ∴tan(α +β )= = 3, 1-tan α tan β

?tan α +tan β =-3 3, 又? ?tan α tan β =4>0.

? π π? α 、β ∈?- , ?, ? 2 2?

2π ? π ? ∴α 、β ∈?- ,0?,-π <α +β <0,α +β =- . 3 ? 2 ? π 5 ? ? 9.解 (1)∵β ∈? ,π ?,cos β =- , 13 ?2 ? 12 ∴sin β = .??????????????????????????????(2 13 分) π π 又∵0<α < , <β <π , 2 2 π 3π 33 ∴ <α +β < ,又 sin(α +β )= , 2 2 65 ∴cos(α +β )=- 1-sin ? α +β ? 56 ?33?2 =- 1-? ? =- ,????????????????????????(5 65 ?65? 分) ∴sin α =sin[(α +β )-β ] =sin(α +β )cos β -cos(α +β )sin β 33 ? 5 ? ? 56? 12 3 = ·?- ?-?- ?· = .??????????????????????? 65 ? 13? ? 65? 13 5 (7 分) (2)∵tan α =tan[(α -β )+β ] 1 1 - 2 7 tan? α -β ? +tan β = = = 1-tan? α -β ? tan β 1 1 1+ × 2 7 1 ,????????????????????(10 分) 3 ∴tan(2α -β )=tan[α +(α -β )] 1 1 + 3 2 tan α +tan? α -β ? = = = 1-tan α tan? α -β ? 1 1 1- × 3 2 1.????????????????????(12 分) 1 1 ∵α ,β ∈(0,π ),tan α = <1,tan β =- <0, 3 7 π π ∴0<α < , <β <π , 4 2 ∴ - π <2α - β <0 , ∴2α - β = - 3π .?????????????????????(14 分) 4 10.(1)①证明 如图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 α 、β 与-β ,使 角 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于点 P3;角-β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于点 P4.
[来源:Z,xx,k.Com]

2

则 P1(1,0),P2(cos α ,sin α ), P3(cos(α +β ),sin(α +β )), P4(cos(-β ),sin(-β )),????????????????????????? (2 分) 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式, 2 2 得[cos(α +β )-1] +sin (α +β ) 2 2 =[cos(-β )-cos α ] +[sin(-β )-sin α ] , 展开并整理得:2-2cos(α +β )=2-2(cos α cos β -sin α sin β ),∴cos(α + β ) = cos α cos β - sin α sin β . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????????(4 分) ?π ? ?π ? ②解 由①易得,cos? -α ?=sin α ,sin? -α ?=cos α . ?2 ? ?2 ? π π ? ? ?? ? ? sin(α +β )=cos? -? α +β ? ?=cos?? -α ?+? -β ? ? ?2 ? ?? 2 ? ? ?π ? ?π ? =cos? -α ?cos(-β )-sin? -α ?sin(-β ) ?2 ? ?2 ? =sin α cos β + cos α sin β . ∴sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β . ? ???????????????????(7 分) (2)解 由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c. 1 1 → → 则 S= bcsin A= ,AB·AC=bccos A=3>0, 2 2 π ? ? ∴A∈?0, ?,cos A=3sin A,??????????????????????(10 2? ? 分) 10 3 10 2 2 又 sin A+cos A=1,∴sin A= ,cos A= , 10 10 3 4 由 cos B= ,得 sin B= . 5 5 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= 分) 故 cos C=c os[π -(A+B)]=-cos(A+B)=- 10 .?????????????? 10 10 .????????????????(12 10

(14 分) 2 11.解 (1)依题设得 f(x)=2cos x+ 3sin 2x π? ? =1+cos 2x+ 3sin 2x=2sin?2x+ ?+1. 6? ? π π? 3 ? ? ? 由 2sin?2x+ ?+1=1- 3, 得 sin?2x+ ?=- .?????????????? 6? 6? 2 ? ?

(3 分) π π π π 5π ∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ . 3 3 2 6 6 π π π ∴2x+ =- ,即 x=- .???????????????????????? 6 3 4 (6 分) π π π (2)- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z), 2 6 2 π π 即- +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z), 3 6 π ? π ? 得函数单调增区间为?- +kπ , +kπ ? (k∈Z).?????????????? 6 ? 3 ? (10 分) 列表: π π π 2π 5π x 0 π 6 3 2 3 6 y 2 3 2 0 -1 0 2 描点连线,得函数图象如图所示:

???????????(14 分)


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