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江苏省盐城中学2013-2014学年高二下学期期末考试 数学(文,理)Word版含答案


江苏省盐城中学 2013—2014 学年度第一学期期末考试 高二年级数学(理科)试题
命题人:蔡广军 盛维清

2014.1

审核人:徐瑢

试卷说明:本场考试时间 120 分钟,总分 150 分. 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的 指

定位置上) 1.“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的逆命题是 2. i 是虚数单位,复数 (1 ? i) ? (1 ? i) = ▲ . ▲ . 开始

k =1
3.抛物线 x2 ? ay 的准线方程为 y ? 1 ,则焦点坐标是 4.如果执行右边的程序框图,那么输出的 S ? ▲ ▲ . .

S ?0
k ≤ 10?



5. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...的第 15 项是 ▲ . 6. 已知平面 ? 的法向量为 n1 ? (3, 2,1) ,平面 ? 的法向量为

? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

n2 ? (2,0, ?1) ,若平面 ? 与 ? 所成二面角为 ? ,则

k ? k ?1

cos? ?



. ▲

7.曲线 y ? ln x 上在点 P(1, 0) 处的切线方程为

.

8.试通过圆与球的类比,由“半径为 R 的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为

2 R 2 ”,猜测关于球的相应命题是“半径为 R 的球内接长方体中,以正方体的体积为最大,最大
值 为 ▲ ”.

AB ? 2 , BC ? 1 , DD1 ? 3 ,则 AC 与 BD1 所成角的余弦值 9. 长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
为 ▲ .
1

10. 复数 z 满足 z ? 3 ? 4i ? 1(i 是虚数单位),则 z 的最大值为



. ▲

11. 已知函数 f ( x) ? 2 x 3 ? ax2 ? 36x ? 24在 x ? 2 处有极值,则该函数的极小值为
2 2

.

12. 已知椭圆 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 2 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA, MB 交椭圆于 A, B a b 2 两点,且斜率存在分别为 k1 , k2 ,若点 A, B 关于原点对称,则 k1 ? k2 的值为 ▲ . 13. 如图,双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两顶点为 A1 、 A2 ,虚轴 a 2 b2


两端点为 B1 、 B2 ,两焦点为 F1 、 F2 ,若以 A1 A2 为直径的圆内切 菱形 F1B1F2 B2 ,切点分别为 A 、 B 、 C 、 D ,则双曲线的离心 率 e= ▲ .

14. 已知 a ? 1 ,若 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 6ax ? ?4a2 在 x ?[0,2 a ] 上恒成立,则实数 a 的取值范 围是 ▲ .

二、解答题:(本大题共 6 小题,计 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请 把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题 12 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F , A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点, A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B , OB 的中点为 M . (1) 求抛物线方程; (2) 过 M 作 MN ⊥ FA ,垂足为 N ,求直线 MN 的方程.

2

16.(本小题 12 分)

E 为棱 AB 的中点. 如图,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2,点
求:(1) D1E 与平面 BC1D 所成角的正弦值; (2)二面角 D ? BC1 ? C 的余弦值.

17.(本小题 13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? an ( n ? N * ). (1)计算数列 ?an ? 的前 4 项; (2)猜想 an 并用数学归纳法证明之.

18.(本小题 13 分) 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补 经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x (元)与年产量 t (吨) 满足函数关系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格). (1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;
3

(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002t 2 (元),在乙方按照获得最大利润的产 量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少?

19.(本小题 15 分)

如图,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 a 2 b2
1 .过 F1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点,点 A 在 2

F2 ,离心率 e ?

x 轴上方,且 ?ABF2 的周长为 8.

(1)求椭圆 E 的方程;

(2)当 AF1 、 F1F2 、 AF2 成等比数列时,求直线 AB 的方程;

(3)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q .试探究:在 坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 说明理由.

4

20.(本小题 15 分)
x 已知函数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) .

2 (1)当 a ? e 时, g ( x) ? mx (m ? 0, x ? R) ,

①求 H ( x) ? f ( x) g ( x) 的单调增区间; ②当 x ? [?2, 4] 时,讨论曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的交点个数. (2)若 A, B 是曲线 y ? f ( x) 上不同的两点,点 C 是弦 AB 的中点,过点 C 作 x 轴的垂线交曲线

y ? f ( x) 于点 D , k D 是曲线 y ? f ( x) 在点 D 处的切线的斜率,试比较 k D 与 k AB 的大小.

盐城中学 2013-2014 高二年级期末考试 数学(理科)答题纸 2014、1
一、填空题(14×5=70 分)

1、若 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,则
x ?1

2、2 4、110 6、 70
14

3、 (0, ?1) 5、5 7、 x ? y ? 1 ? 0 9、0 11、3 13、 5 ? 1
2

8、

8 3R 3 9

10、6 12、 ?
1 2

14、 (1, 7] (??, ?1)

二、解答题(共 90 分)

5

15、(12 分) 解:(1) y 2 ? 4 x ; (2) F (1, 0) , A(4, 4) , B(0, 4) , M (0, 2) ,

k AF ?

4 3 , k MN ? ? , 3 4 3 4

所以直线 MN 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 0) , 即 3x ? 4 y ? 8 ? 0 .

6

16、(12 分) 解:建立坐标系如图, 则

A(2, 0, 0) , B(2, 2,0) , C (0, 2,0) , A1 (2,0, 2) , B1 (2, 2, 2)

D1 (0,0, 2) E (2,1, 0) ,

AC , 2, ? 2) , D1E ? (21 , , ? 2) , AB ? (0, 2, 0) , 1 ? (?2 BB1 ? (0, 0, 2) .
(1) 不难证明 AC 1 为平面 BC1 D 的法向量,

cos A1C, D1 E ?

A1C AB A1C D1E

?

3 , 9
78 ; 9

? D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为

(2) AC AB 分别为平面 BC1D , BC1C 的法向量, 1 ,

cos A1C, AB ?

A1C AB A1C AB

?

3 , 3
3 . 3

? 二面角 D ? BC1 ? C 的余弦值为

7

17、(13 分) 解:由 a1 ? 2 ? a1 , a1 ? 1 , 由 a1 ? a2 ? 2 ? 2 ? a2 ,得 a2 ?

3 , 2 7 , 4

由 a1 ? a2 ? a3 ? 2 ? 3 ? a3 ,得 a3 ?

由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2 ? 4 ? a4 ,得 a4 ? 猜想 an ?

15 . 8

2n ? 1 . 2n ?1

下面用数学归纳法证明猜想正确:

2n ? 1 21 ? 1 (1) n ? 1 时,左边 a1 ? 1 ,右边 ? n ?1 ? 1?1 ? 1 , 2 2
猜想成立.

2k ? 1 (2)假设当 n ? k 时,猜想成立,就是 ak ? k ?1 , 2
此时 Sk ? 2k ? ak ? 2k ?

2k ? 1 . 2k ?1

则当 n ? k ? 1 时,由 Sk ?1 ? 2(k ? 1) ? ak ?1 , 得 Sk ?1 ? ak ?1 ? 2(k ? 1) ? 2ak ?1 ,

1? 2k ? 1 ? 2k ?1 ? 1 1 ? ak ?1 ? [2(k ? 1) ? S k ] ? k ? 1 ? ? 2k ? k ?1 ? ? ( k ?1)?1 . 2 2? 2 ? 2
这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知, an ?

2n ? 1 对 n ? N? 均成立. n ?1 2

8

18、(13 分) 解:(1)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为

w ? 2000 t ? st .
由 w? ?

1000 1000 ? s t , ?s ? t t
2

? 1000 ? 令 w? ? 0 ,得 t ? t0 ? ? ? , ? s ?
当 t ? t0 时, w? ? 0 ;当 t ? t0 时, w? ? 0 , 所以 t ? t0 时, w 取得最大值.

? 1000 ? 因此乙方取得最大年利润的年产量 t 0 为 ? ? (吨); ? s ?
(2)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t 2 . 将t ? ?

2

? 1000 ? ? 代入上式, ? s ?

2

得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式

v?

106 2 ? 4 ?109 . s s 106 ? (8000 ? s 3 ) , s5

又 v? ?

令 v? ? 0 ,得 s ? 20 . 当 s ? 20 时, v? ? 0 ;当 s ? 20 时, v ? ? 0 , 所以 s ? 20 时, v 取得最大值. 因此甲方应向乙方要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获最大净 收入.

9

19、(15 分) 解:(1)因为 | AB | ? | AF2 | ? | BF2 |? 8 , 即 | AF 1 |?| F 1B | ? | AF 2 | ? | BF 2 |? 8 而 | AF1 | ? | AF2 |?| F1B | ? | BF2 |? 2a ,所以 4a ? 8 ? a ? 2 , 而 e ? ? ? c ? a ? 1 ? b2 ? a 2 ? c2 ? 3

c 1 a 2

1 2

x2 y 2 ? ?1 所求椭圆方程为 4 3
(2)

AF1 、 F1F2 、 AF2 成等比数列,? AF1 ? AF2 ? 4

又 AF1 ? AF2 ? 4 ,? AF1 ? AF2 ? 2 , ?AF 1F 2 是等边三角形

? 直线 AB 的倾斜角为

?
3



2? , 3

? 直线 AB 的方程为 3x ? y ? 3 ? 0或 3x ? y ? 3 ? 0
? y ? kx ? m ? (3)由 ? 2 ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 x y2 ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64k 2m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ?12) ? 0 ? 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0
4km 4k 3 4k 3 ? ? , y0 ? ,? P (? , ) ,由 2 4k ? 3 m m m m ? ? y ? kx ? m ? Q(4, 4k ? m) ? x ? 4 ? ? x0 ?
设存在 M ( x1 ,0) ,则由 MP ? MQ ? 0 可得

?

16k 4kx1 12k ? ? 4 x1 ? x12 ? ?3? 0 m m m

k ? x12 ? 4 x1 ? 3 ? 0 ,由于对任意 m, k 恒成立,所以 m 联立解得 x1 ? 1 . ? (4 x1 ? 4)
故存在定点 M (1,0) ,符合题意.

10

20、(15 分)
2 x 解:(1)① H ( x) ? f ( x) g ( x) ? mx e ,则

H ?( x) ? mxex ( x ? 2) ? 0 得 x ? 0 或 x ? ?2 ,所以 H ( x) ? f ( x) g ( x) 的单调增区间为 (0, ??),(??, ?2) .
② 当 m ? 0 时, 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 的公共点个数即 方程 e x ? mx 2 根的个数. 由 e x ? mx 2 得

1 x2 x2 ? x 设 h( x ) ? x , m e e 2 x (2 ? x) x h?( x) ? , 所以在 R 上不间断的函数 h( x) ? x 在 x e e (??, 0) 上递减,在 (0, 2) 上递境,在 (2, ??) 上递减,
又因为 m ? 0, h(0) ? 0, h(2) ?

4 16 , h(4) ? 4 , h(?2) ? 4e 2 2 e e

所以当 h(2) ?

1 e2 1 ? h(?2) 时一公共点,解得 2 ? m ? m 4e 4

当0 ?

e2 e4 1 1 ? h(4) 或 ? h(2) 时两公共点,解得 m ? 或 m ? m m 4 16

当 h(4) ?

e2 e4 1 ? h(2) 时三公共点,解得 ? m ? m 4 16

(2)设 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))( x1 ? x2 ) 则
k AB ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x , kD ? f ?( 1 2 ) , x2 ? x1 2
x2 ? x1

x1 ? x2 x2 ? x1 x1 ? x2 a x2 ? a x1 2 2 k ? k ? ? a ? ln a ? a 2 2 则 AB D [ a ? a ? ( x2 ? x1 ) ln a] x2 ? x1 x2 ? x1



x2 ? x1 ? t ? 0 , L( x) ? at ? a?t ? 2t ln a ,则 2 ? L ( x) ? ln a(at ? a?t ? 2)

11

①当 a ? 1 时, at ? 1 , ln a ? 0 ,则 L?(t ) ? (ln a)(at ? a?t ? 2) ? 0 ,所以 L(t ) 在 (0, ??) 递增,则

L(t ) ? L(0) ? 0 ,又因为

x2 ? x1 x1 ? x2 a a 2 ? 0 ,所以 ? [a 2 ? a 2 ? ( x2 ? x1 ) ln a] ? 0 ,,所以 x2 ? x1 x2 ? x1

x1 ? x2 2

x1 ? x 2

k AB ? kD ? 0 ;
②当 0 ? a ? 1 时, 0 ? at ? 1 , ln a ? 0
t ?t 则 L?(t ) ? ln a(a ? a ? 2) ? 0 ,所以 L(t ) 在 (0, ??) 递减,则 L(t ) ? L(0) ? 0 又因为 a

x2 ? x1 2

x2 ? x1

? 0 ,所

以 a

x2 ? x1 2

x2 ? x1

[a

x2 ? x1 2

?a

x1 ? x2 2

? ( x2 ? x1 ) ln a] ? 0 ,所以 k AB ? kD ? 0

综上:当 a ? 1 时 k AB ? kD ;当 0 ? a ? 1 时 k AB ? kD .

12

江苏省盐城中学 2013—2014 学年度第一学期期末考试 高二年级数学(文科)试题
命题人:蔡广军 盛维清

2014.1

审核人:徐瑢

试卷说明:本场考试时间 120 分钟,总分 150 分. 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的 指定位置上) 1.“如果 x ? 1 ,那么 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的逆命题是 2. i 是虚数单位,复数 (1 ? i) ? (1 ? i) = ▲ . ▲ .

开始

3.一个工厂有若干车间,现采用分层抽样的方法从全厂某天的 2000 件 产品中抽取一个容量为 200 的样本进行质量检查.已知某车间这一天生 产 250 件产品,则从该车间抽取的产品件数为 ▲ .

k =1

S ?0
k ≤ 10?



4.一组数据的平均数是 3,将这组数据中的每一个数据都乘以 2, 所得到的一组数据的平均数是 ▲ . ▲ .

? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

k ? k ?1

5. 如果执行右边的程序框图,那么输出的 S ?

6. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...的第 15 项 是 ▲ .

7.一个容量为 20 的样本数据,分组后,组距和频数如下: [10,20),2;[20,30),3;[30,40),4;[40,50),5; [50,60),4;[60,70],2.则样本数据在区间[50,+∞)上的频率为 ▲ .

13

8.曲线 y ? ln x 上在点 P(1, 0) 处的切线方程为



.

9. 试通过圆与球的类比,由“半径为 R 的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为 2 R 2 ” 猜测关于球的相应命题是“半径为 R 的球内接长方体中,以正方体的体积为最大,最大值 为 ▲ ”. ▲ .

x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点,则 ON 等于 10. 椭圆 25 9
11. 复数 z 满足 z ? 3 ? 4i ? 1(i 是虚数单位),则 z 的最大值为 ▲ .

12. 已知函数 f ( x) ? 2 x 3 ? ax2 ? 36x ? 24在 x ? 2 处有极值,则该函数的极小值是 13. 如图,双曲线





x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两顶点为 A1 、 A2 ,虚轴 a 2 b2

两端点为 B1 、 B2 ,两焦点为 F1 、 F2 ,若以 A1 A2 为直径的圆内切于 菱形 F1B1F2 B2 ,切点分别为 A 、 B 、 C 、 D ,则双曲线的离心 率 e= ▲ .

14. 已知 a ? 1 ,若 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 6ax ? ?4a2 在 x ?[0,2 a ] 上恒成立,则实数 a 的取值范 围是 ▲ .

二、解答题:(本大题共 6 小题,计 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请 把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题 12 分) 已知复数 z ? m2 (1 ? i) ? (m ? i) ,当实数 m 分别取何值时, (1) z 是实数? (2) z 对应的点位于复平面的第一象限内?

14

16.(本小题 12 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F , A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点, A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B , OB 的中点为 M . (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN ⊥ FA ,垂足为 N ,求直线 MN 的方程.

17.(本小题 13 分)

已知函数 f ( x) ? lg(

2a ? 1) (其中 a ? 0 ). 1? x

求证:(1)用反证法证明:函数 f ( x) 不能为偶函数; (2)函数 f ( x) 为奇函数的充要条件是 a ? 1 .

18.(本小题 13 分)

15

甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补 经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x (元)与年产量 t (吨) 满足函数关系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格). (1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002t 2 (元),在乙方按照获得最大利润的产 量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少?

19.(本小题 15 分)

如图,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 , 离 a 2 b2

心率 e ?

1 .过 F1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点,点 A 在 x 轴上方,且 2

?ABF2 的周长为 8.

(1)求椭圆 E 的方程;

(2)当 AF1 、 F1F2 、 AF2 成等比数列时,求直线 AB 的方程;

16

(3)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q .试探究:在 坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 说明理由.

20.(本小题 15 分)
x 已知函数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) .

2 (1)当 a ? e 时, g ( x) ? mx (m ? 0, x ? R) ,

①求 H ( x) ? f ( x) g ( x) 的单调增区间; ②当 x ? [?2, 4] 时,讨论曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的交点个数. (2)若 A, B 是曲线 y ? f ( x) 上不同的两点,点 C 是弦 AB 的中点,过点 C 作 x 轴的垂线交曲线

y ? f ( x) 于点 D , k D 是曲线 y ? f ( x) 在点 D 处的切线的斜率,试比较 k D 与 k AB 的大小.

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盐城中学 2013-2014 高二年级期末考试 数学(文科)答题纸 2014、1
一、填空题(14×5=70 分)

1、若 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,则
x ?1

2、2 4、6 6、5 8、 x ? y ? 1 ? 0 10、4 12、3 14、 (1, 7] (??, ?1)

3、25 5、110 7、 9、
3 10
8 3R 3 9

11、6 13、 5 ? 1
2

二、解答题(共 90 分)

15、(12 分) 解: z ? (m2 ? m) ? (m2 ?1)i . (1)由 m2 ? 1 ? 0 ,解得 m ? 1 或 ?1 ,

? m ? 1 或 ?1 时, z 是实数;
2 ? ?m ? 1或m ? 0, ?m ? m ? 0, 解得 ? 2 ? ?m ? 1或m ? ?1, ?m ? 1 ? 0,

(2)由 ?

即 m ? 1 或 m ? ?1 ,

? m ? 1 或 m ? ?1 时, z 对应的点位于复平面的第一象限

18

16、(12 分) 解:(1) y 2 ? 4 x ; (2) F (1, 0) , A(4, 4) , B(0, 4) , M (0, 2)

k AF ?

4 3 , k MN ? ? , 3 4

所以直线 MN 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 0) 即 3x ? 4 y ? 8 ? 0 .

3 4

17、(13 分) 解:(1)假设函数 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) = f ( x) ,

2a 2a 2a 2a ? 1) = lg( ? 1) ,即 ?1 = ?1, ? lg( 1? x 1? x 1? x 1? x
化简得:

4ax ?0, 1 ? x2

? a ? 0 ,与条件 a ? 0 矛盾.? 函数 f ( x) 不能为偶函数.
(2)充分性:

由 a ? 1 ,函数 f ( x) ? lg(

2 1? x ? 1) = lg , 1? x 1? x

1? x ? 0,? ?1 ? x ? 1 , 1? x
又 f ( x) ? f (? x) = lg

1? x 1? x + lg = lg1 ? 0 , 1? x 1? x

? 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 为奇函数.
必要性: 由函数 f ( x) 为奇函数,即 f ( x) ? f (? x) =0,19

? lg(

2a

? 1) + lg(

2a

? 1)

18、(13 分) 解:(1)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为 w ? 2000 t ? st . 由 w? ?

1000 1000 ? s t , ?s ? t t
2

? 1000 ? 令 w? ? 0 ,得 t ? t0 ? ? ? . ? s ?
当 t ? t0 时, w? ? 0 ;当 t ? t0 时, w? ? 0 , 所以 t ? t0 时, w 取得最大值.

? 1000 ? 因此乙方取得最大年利润的年产量 t 0 为 ? ? (吨); ? s ?
(2)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t 2 .

2

? 1000 ? 将t ? ? ? 代入上式, ? s ?
得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式 v ? 又 v? ?

2

106 2 ? 4 ?109 . s s

106 ? (8000 ? s 3 ) , s5

令 v? ? 0 ,得 s ? 20 . 当 s ? 20 时, v? ? 0 ;当 s ? 20 时, v ? ? 0 , 所以 s ? 20 时, v 取得最大值. 因此甲方应向乙方要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获最大净收入.

20

19、(15 分) 解:(1)因为 | AB | ? | AF2 | ? | BF2 |? 8 , 即 | AF 1 |?| F 1B | ? | AF 2 | ? | BF 2 |? 8 而 | AF1 | ? | AF2 |?| F1B | ? | BF2 |? 2a ,所以 4a ? 8 ? a ? 2 , 而 e ? ? ? c ? a ? 1 ? b2 ? a 2 ? c2 ? 3

c 1 a 2

1 2

所求椭圆方程为 (2)

x2 y 2 ? ?1 4 3

AF1 、 F1F2 、 AF2 成等比数列,? AF1 ? AF2 ? 4

又 AF1 ? AF2 ? 4 ,? AF1 ? AF2 ? 2 , ?AF 1F 2 是等边三角形

? 直线 AB 的倾斜角为

?
3



2? , 3

? 直线 AB 的方程为 3x ? y ? 3 ? 0或 3x ? y ? 3 ? 0
? y ? kx ? m ? (3)由 ? 2 ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 x y2 ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64k 2m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ?12) ? 0 ? 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0
x0 ?

? 4km 4k 3 4k 3 ? y ? kx ? m ? ? , y ? ? P ( ? , ) ? Q(4, 4k ? m) , , 由 ? 0 4k 2 ? 3 m m m m x ? 4 ? ?
16k 4kx1 12k ? ? 4 x1 ? x12 ? ?3? 0 m m m

设存在 M ( x1 ,0) ,则由 MP ? MQ ? 0 可得 ?

? (4 x1 ? 4)

k ? x12 ? 4 x1 ? 3 ? 0 ,由于对任意 m, k 恒成立,所以联立解得 x1 ? 1 . m

故存在定点 M (1,0) ,符合题意.

21

20、(15 分)
2 x x 解:(1)① H ( x) ? f ( x) g ( x) ? mx e ,则 H ?( x) ? mxe ( x ? 2) ? 0 得 x ? 0 或

x ? ?2 ,所以 H ( x) ? f ( x) g ( x) 的单调增区间为 (0, ??),(??, ?2) .
② 当 m ? 0 时, 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 的公共点个数即方程 e x ? mx 2 根的个 数. 由 e x ? mx 2 得 函数 h( x) ?

x (2 ? x) 1 x2 x2 , 所以在 R 上不间断的 ? x 设 h( x) ? x , h?( x) ? ex m e e

x 2 (??, 0) 在 上递减,在 (0, 2) 上递境,在 (2, ??) 上递减, ex
4 16 , h(4) ? 4 , h(?2) ? 4e 2 2 e e

又因为 m ? 0, h(0) ? 0, h(2) ?

所以当 h(2) ?

1 e2 1 ? h(?2) 时一公共点,解得 2 ? m ? m 4e 4

当0 ?

e2 e4 1 1 ? h(4) 或 ? h(2) 时两公共点,解得 m ? 或 m ? m m 4 16

e2 e4 1 当 h(4) ? ? h(2) 时三公共点,解得 ? m ? m 4 16
(2)设 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))( x1 ? x2 ) 则 k AB ?
x2 ? x1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x , kD ? f ?( 1 2 ) , x2 ? x1 2

则 k AB ? kD ?

x1 ? x2 x2 ? x1 x1 ? x2 a x2 ? a x1 2 ? a 2 ? ln a ? a 2 2 [ a ? a ? ( x2 ? x1 ) ln a] x2 ? x1 x2 ? x1



x2 ? x1 ? t ? 0 , L( x) ? at ? a?t ? 2t ln a ,则 L?( x) ? ln a(at ? a?t ? 2) 2

22

①当 a ? 1 时, at ? 1 , ln a ? 0 ,则 L?(t ) ? (ln a)(at ? a?t ? 2) ? 0 ,所以 L(t ) 在 (0, ??) 递增,则

L(t ) ? L(0) ? 0 ,又因为

x2 ? x1 x1 ? x2 a a 2 ? 0 ,所以 ? [a 2 ? a 2 ? ( x2 ? x1 ) ln a] ? 0 ,,所以 x2 ? x1 x2 ? x1

x1 ? x2 2

x1 ? x 2

k AB ? kD ? 0 ;
②当 0 ? a ? 1 时, 0 ? at ? 1 , ln a ? 0
t ?t 则 L?(t ) ? ln a(a ? a ? 2) ? 0 ,所以 L(t ) 在 (0, ??) 递减,则 L(t ) ? L(0) ? 0 又因为 a

x2 ? x1 2

x2 ? x1

? 0 ,所

以 a

x2 ? x1 2

x2 ? x1

[a

x2 ? x1 2

?a

x1 ? x2 2

? ( x2 ? x1 ) ln a] ? 0 ,所以 k AB ? kD ? 0

综上:当 a ? 1 时 k AB ? kD ;当 0 ? a ? 1 时 k AB ? kD .

23


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