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21.2.1配方法解一元二次方程同步练习题


解一元二次方程练习题(配方法) 多套习题
1.用适当的数填空: ①、x2+6x+ ②、x2-5x+ ③、x2+ x+ ④、x2-9x+ =(x+ =(x- =(x+ =(x- )2 ; )2 ; )2; )2

2.将二次三项式 2x2-3x-5 进行配方,其结果为_________. 3.已知 4x2-ax+1 可变为(2x-b)2 的形式,则 a

b=_______. 4.将一元二次方程 x2-2x-4=0 用配方法化成(x+a)2=b 的形式为_______,?所以方程的根为_________. 5.若 x2+6x+m2 是一个完全平方式,则 m 的值是( A.3 B.-3 C.±3 )

D.以上都不对 ) D. (a-2)2-1

6.用配方法将二次三项式 a2-4a+5 变形,结果是( A. (a-2)2+1 B. (a+2)2-1 ) C. (x-2)2=1 ) C.-2+ 10 C. (a+2)2+1

7.把方程 x+3=4x 配方,得( A. (x-2)2=7

B. (x+2)2=21

D. (x+2)2=2

8.用配方法解方程 x2+4x=10 的根为( A.2± 10 B.-2± 14

D.2- 10 )

9.不论 x、y 为什么实数,代数式 x2+y2+2x-4y+7 的值( A.总不小于 2 C.可为任何实数 10.用配方法解下列方程: (1)3x2-5x=2. (2)x2+8x=9 B.总不小于 7 D.可能为负数

(3)x2+12x-15=0

(4)

1 2 x -x-4=0 4

11.用配方法求解下列问题 (1)求 2x2-7x+2 的最小值 ; (2)求-3x2+5x+1 的最大值。

1

一元二次方程解法练习题
一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、 4 x ? 1 ? 0
2

2、 ( x ? 3) 2 ? 2

3、 ?x ? 1? ? 5
2

4、 81?x ? 2? ? 16
2

二、

用配方法解下列一元二次方程。 2、 3x 2 ? 2 ? 4 x 3、 x 2 ? 4 x ? 96

1、. y 2 ? 6 y ? 6 ? 0

4、 x 2 ?4 x ? 5 ? 0

5、 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0

6、 3x 2 ? 2 x ? 7 ? 0

7、 ? 4 x 2 ? 8 x ? 1 ? 0

8、 x 2 ? 2mx ? n 2 ? 0

9、 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 0?m ? 0?

三、

用公式解法解下列方程。 2、 4 y ? 1 ?
3 2 y 2

1、 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0

3、 3 y 2 ? 1 ? 2 3 y

4、 2 x 2 ? 5 x ? 1 ? 0

5、 ? 4 x 2 ? 8 x ? ?1

6、 2x 2 ? 3x ? 2 ? 0

2

四、

用因式分解法解下列一元二次方程。 2、 ( x ? 1) 2 ? (2x ? 3) 2 ? 0 3、 x 2 ? 6 x ? 8 ? 0

1、 x 2 ? 2 x

4、 4( x ? 3) 2 ? 25( x ? 2) 2

5、 (1 ? 2 ) x 2 ? (1 ? 2 ) x ? 0

6、 (2 ? 3x) ? (3x ? 2) 2 ? 0

五、用适当的方法解下列一元二次方程。 1、 3x?x ? 1? ? x?x ? 5?

2、 2 x 2 ? 3 ? 5 x

3、 x2 ? 2 y ? 6 ? 0

4、 x 2 ? 7 x ? 10 ? 0

5、 ?x ? 3??x ? 2? ? 6

6、 4?x ? 3? ? x?x ? 3? ? 0
2

7、 ?5x ? 1? ? 2 ? 0
2

8、 3 y 2 ? 4 y ? 0

9、 x 2 ? 7 x ? 30 ? 0

10、 ? y ? 2?? y ? 1? ? 4

11、 4 x?x ? 1? ? 3?x ? 1?

12、 ?2x ? 1? ? 25 ? 0
2

13、 x ? 4ax ? b ? 4a
2 2

2

14、 x 2 ? b 2 ? a?3x ? 2a ? b?

15、 x 2 ? x ? a ? a 2 ? 0

3

16、 x 2 ?

5 31 x? 3 36

17、 ? y ? 3?? y ? 1? ? 2

18、 ax2 ? (a ? b) x ? b ? 0(a ? 0)

19、 3x 2 ? (9a ? 1) x ? 3a ? 0

20、 x 2 ? x ? 1 ? 0

21、 3x 2 ? 9 x ? 2 ? 0

22、 x 2 ? 2ax ? b 2 ? a 2 ? 0

23、 x +4x-12=0

2

24、 2 x 2 ? 2 x ? 30 ? 0

25、 5 x 2 ? 7 x ? 1 ? 0

26、 5x 2 ? 8 x ? ?1

27、 x 2 ? 2mx ? 3nx ? 3m 2 ? mn ? 2n 2 ? 0

28、3x2+5(2x+1)=0

29、 ( x ? 1)(x ? 1) ? 2 2 x

30、 3x 2 ? 4 x ? 1

31、 y 2 ? 2 ? 2 2 y

32、 x 2 ? 4 ? 5x

33、 2 x 2 ? 5x ? 4 ? 0

34、 x?x ? 6? ? 112.

35、 2 x 2 ? 2 x ? 30 ? 0

36、x2+4x-12=0

4

37、 x 2 ? x ? 3 ? 0

38、 x 2 ? x ? 1

39、 3 y 2 ? 1 ? 2 3 y

40、 t 2 ?

2 1 t? ?0 2 8

41、 5 y ? 2 y 2 ? 1

42、 2 x 2 ? 9 x ? 7 =0

六、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、 4 x ? 1 ? 0
2

2、 ( x ? 3) 2 ? 2

3、 ?x ? 1? ? 5
2

4、 81?x ? 2? ? 16
2

七、

用配方法解下列一元二次方程。 2、 3x 2 ? 2 ? 4 x 3、 x 2 ? 4 x ? 96

1、. y 2 ? 6 y ? 6 ? 0

4、 x 2 ?4 x ? 5 ? 0

5、 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0

6、 3x 2 ? 2 x ? 7 ? 0

7、 ? 4 x 2 ? 8 x ? 1 ? 0

8、 x 2 ? 2mx ? n 2 ? 0

9、 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 0?m ? 0?

八、

用公式解法解下列方程。 2、 4 y ? 1 ?
3 2 y 2

1、 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0

3、 3 y 2 ? 1 ? 2 3 y

5

4、 2 x 2 ? 5 x ? 1 ? 0

5、 ? 4 x 2 ? 8 x ? ?1

6、 2x 2 ? 3x ? 2 ? 0

九、

用因式分解法解下列一元二次方程。 2、 ( x ? 1) 2 ? (2x ? 3) 2 ? 0 3、 x 2 ? 6 x ? 8 ? 0

1、 x 2 ? 2 x

4、 4( x ? 3) 2 ? 25( x ? 2) 2

5、 (1 ? 2 ) x 2 ? (1 ? 2 ) x ? 0

6、 (2 ? 3x) ? (3x ? 2) 2 ? 0

十、用适当的方法解下列一元二次方程。 1、 3x?x ? 1? ? x?x ? 5?

2、 2 x 2 ? 3 ? 5 x

3、 x2 ? 2 y ? 6 ? 0

4、 x 2 ? 7 x ? 10 ? 0

5、 ?x ? 3??x ? 2? ? 6

6、 4?x ? 3? ? x?x ? 3? ? 0
2

7、 ?5x ? 1? ? 2 ? 0
2

8、 3 y 2 ? 4 y ? 0

9、 x 2 ? 7 x ? 30 ? 0

10、 ? y ? 2?? y ? 1? ? 4

11、 4 x?x ? 1? ? 3?x ? 1?

12、 ?2x ? 1? ? 25 ? 0
2

13、 x ? 4ax ? b ? 4a
2 2

2

14、 x 2 ? b 2 ? a?3x ? 2a ? b?

15、 x 2 ? x ? a ? a 2 ? 0

6

16、 x 2 ?

5 31 x? 3 36

17、 ? y ? 3?? y ? 1? ? 2

18、 ax2 ? (a ? b) x ? b ? 0(a ? 0)

19、 3x 2 ? (9a ? 1) x ? 3a ? 0

20、 x 2 ? x ? 1 ? 0

21、 3x 2 ? 9 x ? 2 ? 0

22、 x 2 ? 2ax ? b 2 ? a 2 ? 0

23、 x +4x-12=0

2

24、 2 x 2 ? 2 x ? 30 ? 0

25、 5 x 2 ? 7 x ? 1 ? 0

26、 5x 2 ? 8 x ? ?1

27、 x 2 ? 2mx ? 3nx ? 3m 2 ? mn ? 2n 2 ? 0

28、3x2+5(2x+1)=0

29、 ( x ? 1)(x ? 1) ? 2 2 x

30、 3x 2 ? 4 x ? 1

31、 y 2 ? 2 ? 2 2 y

32、 x 2 ? 4 ? 5x

33、 2 x 2 ? 5x ? 4 ? 0

34、 x?x ? 6? ? 112.

35、 2 x 2 ? 2 x ? 30 ? 0

36、x2+4x-12=0

7

37、 x 2 ? x ? 3 ? 0

38、 x 2 ? x ? 1

39、 3 y 2 ? 1 ? 2 3 y

40、 t 2 ?

2 1 t? ?0 2 8

41、 5 y ? 2 y 2 ? 1

42、 2 x 2 ? 9 x ? 7 =0

一元二次方程练习题
一.填空题: 1.关于 x 的方程 mx -3x= x -mx+2 是一元二次方程,则 m___________. 2.方程 4x(x-1)=2(x+2)+8 化成一般形式是____________________,二次项系数是____,一次项系数是____, 常数项是______. 3.方程 x =1 的解为______________. 4.方程 3 x =27 的解为______________. x +6x+____=(x+____)
2 2 2 2 2 2

,

a ± ____+
2 2

2

1 2 =(a±____ ) 4

5.关于 x 的一元二次方程(m+3) x +4x+ m - 9=0 有一个解为 0 , 则 m=______. 二.选择题: 6.在下列各式中 ①x +3=x;
2

②2 x - 3x=2x(x- 1) – 1 ;

2

③3 x - 4x – 5 ;

2

④x =-

2

1 +2 x

7.是一元二次方程的共有( ) A 0个 B 1个 C 2个 8.一元二次方程的一般形式是( ) A x +bx+c=0 C a x +bx+c=0
2 2 2 2

D 3个

B a x +c=0 (a≠0 ) D a x +bx+c=0 (a≠0) ) C 无实数根 ) D 0
8
2

9.方程 3 x +27=0 的解是( A x=±3
2

B x= -3

D 以上都不对

10.方程 6 x - 5=0 的一次项系数是( A 6 B 5 C -5

11.将方程 x - 4x- 1=0 的左边变成平方的形式是( A (x- 2) =1
2

2

) D (x- 1) =4
2

B (x- 4) =1

2

C (x- 2) =5

2

三.。将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 一般形式 t(t + 3) =28 2 x +3=7x x(3x + 2)=6(3x + 2) (3 – t) + t =9 四.用直接开平方法或因式分解法解方程: (1)x2 =64 (2)5x2 2 2 2

二次项系数

一次项系数

常数项

2 =0 5

(3) (x+5)2=16

(4)8(3 -x)2 –72=0

(5)2y=3y2

(6)2(2x-1)-x(1-2x)=0

(7)3x(x+2)=5(x+2)

(8) (1-3y)2+2(3y-1)=0

五. 用配方法或公式法解下列方程.: (1)x + 2x + 3=0
2

(2)x + 6x-5=0

2

(3) x -4x+ 3=0

2

(4) x -2x-1 =0

2

(5) 2x +3x+1=0

2

(6) 3x +2x-1 =0

2

(7) 5x -3x+2 =0

2

(8) 7x -4x-3 =0

2

9

(9) -x -x+12 =0

2

(10) x -6x+9 =0

2

韦达定理:对于一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,如果方程有两个实数根 x1 , x2 ,那么

b c x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? a a
说明: (1)定理成立的条件 ? ? 0 (2)注意公式重 x1 ? x2 ? ? 根系关系的三大用处 (1)计算对称式的值 例 若 x1 , x2 是方程 x ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值:
2

b 的负号与 b 的符号的区别 a

(1) x12 ? x22 ;

(2)

1 1 ? ; x1 x2

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ;

(4) | x1 ? x2 | .

解:由题意,根据根与系数的关系得: x1 ? x2 ? ?2, x1 x2 ? ?2007 (1) x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1 x2 ? (?2)2 ? 2(?2007) ? 4018 (2)

1 1 x1 ? x2 ?2 2 ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 ?2007 2007

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ? x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 25 ? ?2007 ? 5(?2) ? 25 ? ?1972 (4) | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?2) 2 ? 4(?2007) ? 2 2008

说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:

x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1 x2 ,

1 1 x1 ? x2 , ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 , ? ? x1 x2 x1 x2

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 , x1 x22 ? x12 x2 ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ,

x13 ? x23 ? ( x1 ? x2 )3 ? 3x1 x2 ( x1 ? x2 ) 等等.韦达定理体现了整体思想.
【课堂练习】 2 2 2 1.设 x1,x2 是方程 2x -6x+3=0 的两根,则 x1 +x2 的值为_________ 2 2.已知 x1,x2 是方程 2x -7x+4=0 的两根,则 x1+x2= ,x1·x2= 2 (x1-x2) = 1 2 3.已知方程 2x -3x+k=0 的两根之差为 2 ,则 k= 2
2 2



;

4.若方程 x +(a -2)x-3=0 的两根是 1 和-3,则 a= ; 2 2 5.若关于 x 的方程 x +2(m-1)x+4m =0 有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么 m 的值为 2 6. 设 x1,x2 是方程 2x -6x+3=0 的两个根,求下列各式的值:

;

10

(1)x1 x2+x1x2

2

2

(2)

1 1 - x1 x2

7.已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:

1 1 ? 2 2 x1 x 2

(2)构造新方程

理论:以两个数 例 解方程组 x+y=5

为根的一元二次方程是



xy=6 解:显然,x,y 是方程 z -5z+6=0 ① 的两根 由方程①解得 z1=2,z2=3 ∴原方程组的解为 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2 显然,此法比代入法要简单得多。 (3)定性判断字母系数的取值范围
2

例 一个三角形的两边长是方程

的两根,第三边长为 2,求 k 的取值范围。

解:设此三角形的三边长分别为 a、b、c,且 a、b 为 由题意知 △=k -4×2×2≥0,k≥4 或 k≤-4
2

的两根,则 c=2



为所求。
11

【典型例题】 例 1 已知关于 x 的方程 x ? (k ? 1) x ?
2

1 2 k ? 1 ? 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的值. 4

(1) 方程两实根的积为 5; (2) 方程的两实根 x1 , x2 满足 | x1 |? x2 . 分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是 x1 ? x2 ? 0 ,二是 ? x1 ? x2 ,所以要分类讨论. 解:(1) ∵方程两实根的积为 5

1 ? ? ? [?(k ? 1)]2 ? 4( k 2 ? 1) ? 0 ? 3 ? 4 ? k ? , k ? ?4 ∴ ? 2 ?x x ? 1 k 2 ? 1 ? 5 1 2 ? ? 4
所以,当 k ? 4 时,方程两实根的积为 5. (2) 由 | x1 |? x2 得知: ①当 x1 ? 0 时, x1 ? x2 ,所以方程有两相等实数根,故 ? ? 0 ? k ?

3 ; 2

②当 x1 ? 0 时, ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ? k ? 1 ? 0 ? k ? ?1 ,由于

3 ? ? 0 ?k ? ,故 k ? ?1 不合题意,舍去. 2 3 综上可得, k ? 时,方程的两实根 x1 , x2 满足 | x1 |? x2 . 2
说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母 应满足 ? ? 0 . 例 2 已知 x1 , x2 是一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根.
2

(1) 是否存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ? (2) 求使

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,请您说明理由. 2

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值. x2 x1
3 成立. 2

解:(1) 假设存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ?
2

∵ 一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根 ∴ ?

? 4k ? 0
2 ?? ? (?4k ) ? 4 ? 4k (k ? 1) ? ?16k ? 0
2

? k ? 0,

又 x1 , x2 是一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根

? x1 ? x2 ? 1 ? ∴ ? k ?1 x1 x2 ? ? 4k ?
∴ (2x1 ? x2 )( x1 ? 2x2 ) ? 2( x12 ? x22 ) ? 5x1 x2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 9x1 x2
12

? ?

k ?9 3 ? ? ? k 4k 2

9 ?,但 k ? 0 . 5 3 成立. 2

∴不存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ?

x1 x2 x12 ? x22 ( x1 ? x2 )2 4k 4 (2) ∵ ? ?2? ?2? ?4? ?4? ? x2 x1 x1 x2 x1 x2 k ?1 k ?1
∴ 要使其值是整数,只需 k ? 1 能被 4 整除,故 k ? 1 ? ?1, ?2, ?4 ,注意到 k ? 0 ,

要使

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值为 ?2, ?3, ?5 . x2 x1
4 为整数的分析方法. k ?1

说明:(1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在. (2) 本题综合性较强,要学会对

一元二次方程根与系数的关系练习题 A
2

组 )

1.一元二次方程 (1 ? k ) x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( A. k ? 2
2

B. k ? 2, 且k ? 1

C. k ? 2

D. k ? 2, 且k ? 1

2.若 x1 , x2 是方程 2 x ? 6 x ? 3 ? 0 的两个根,则 A. 2 B. ? 2

1 1 ? 的值为( x1 x2
1 2

)

C.

D.

9 2
2 2

3. 已知菱形 ABCD 的边长为 5, 两条对角线交于 O 点, 且 OA、 OB 的长分别是关于 x 的方程 x ? (2m ? 1) x ? m ? 3 ? 0 的根,则 m 等于( ) A. ? 3 B. 5 C. 5或 ? 3 D. ?5或3
2

2 2 4.若 t 是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根,则判别式 ? ? b ? 4ac 和完全平方式 M ? (2at ? b) 的关系是

(

) A. ? ? M

B. ? ? M

C. ? ? M

D.大小关系不能确定

2 2 5.若实数 a ? b ,且 a , b 满足 a ? 8a ? 5 ? 0, b ? 8b ? 5 ? 0 ,则代数式

b ?1 a ?1 ? 的值为( ) a ?1 b ?1

A. ?20
2

B. 2

C. 2或 ? 20

D. 2或20

6.如果方程 (b ? c) x ? (c ? a) x ? (a ? b) ? 0 的两根相等,则 a, b, c 之间的关系是 ______ 7 .已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 2 x ? 8 x ? 7 ? 0 的两个根,则这个直角三角形的斜边长是
2

13

_______ . 8.若方程 2 x2 ? (k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 的两根之差为 1,则 k 的值是 _____ . 9.设 x1 , x2 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两实根, x1 ? 1, x2 ? 1 是关于 x 的方程 x2 ? qx ? p ? 0 的两实根,则 p = _____ ,

q = _____ .
10.已知实数 a, b, c 满足 a ? 6 ? b, c2 ? ab ? 9 ,则 a = _____ , b = _____ , c = _____ . 11.对于二次三项式 x ? 10 x ? 36 ,小明得出如下结论:无论 x 取什么实数,其值都不可能等于 10.您是否同意他的
2

看法?请您说明理由.

2 12.若 n ? 0 ,关于 x 的方程 x ? (m ? 2n) x ?

1 m mn ? 0 有两个相等的的正实数根,求 的值. 4 n

13.已知关于 x 的一元二次方程 x ? (4m ? 1) x ? 2m ? 1 ? 0 .
2

(1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2) 若方程的两根为 x1 , x2 ,且满足

1 1 1 ? ? ? ,求 m 的值. x1 x2 2

14.已知关于 x 的方程 x ? (k ? 1) x ?
2

1 2 k ? 1 ? 0 的两根是一个矩形两边的长. 4

(1) k 取何值时,方程存在两个正实数根? (2) 当矩形的对角线长是 5 时,求 k 的值.

14

B



1.已知关于 x 的方程 (k ? 1) x2 ? (2k ? 3) x ? k ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 . (1) 求 k 的取值范围; (2) 是否存在实数 k ,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请您说明理由.

2 . 已 知 关 于 x 的 方 程 x ? 3x ? m ? 0 的 两 个 实 数 根 的 平 方 和 等 于 11 . 求 证 : 关 于 x 的 方 程
2

(k ? 3) x2 ? kmx ? m2 ? 6m ? 4 ? 0 有实数根.

3.若 x1 , x2 是关于 x 的方程 x2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 1 ? 0 的两个实数根,且 x1 , x2 都大于 1. (1) 求实数 k 的取值范围; (2) 若

x1 1 ? ,求 k 的值. x2 2

15

一元二次方程试题
一、选择题 1、一元二次方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的根的情况为(
2

)B

A.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根
2.

B.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 )C

2、若关于 z 的一元二次方程 x ? 2 x ? m ? 0 没有实数根,则实数 m 的取值范围是( A.m<l B.m>-1 C.m>l D.m<-1 3、一元二次方程 x2+x+2=0 的根的情况是( )C A.有两个不相等的正根 B.有两个不相等的负根 C.没有实数根 D.有两个相等的实数根 4、用配方法解方程 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,下列配方正确的是(
2

)A D. ( x ? 2) ? 6
2

A. ( x ? 2) ? 2
2 2

B. ( x ? 2) ? 2
2

C. ( x ? 2) ? ?2
2

5 、已知函数 y ? ax ? bx ? c的图象如图( 7 )所示,那么关于 x 的方程

y

ax2 ? bx ? c ? 2 ? 0 的根的情况是(
A.无实数根 C.有两个异号实数根
2

)D

B.有两个相等实数根 D.有两个同号不等实数根 )A

0
?3
图(7)

x

6、关于 x 的方程 x ? px ? q ? 0 的两根同为负数,则( A. p > 0 且 q > 0 C. p < 0 且 q > 0 B. p > 0 且 q < 0 D. p < 0 且 q < 0

7、若关于 x 的一元二次方程 x2 ? kx ? 4k 2 ? 3 ? 0 的两个实数根分别是 x1 , x2 ,且满足 x1 ? x2 ? x1 ?x2 .则 k 的值为( (A)-1 或

)C

3 4

(B)-1 (C)

3 4

(D)不存在

8、下列关于 x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )D (A)x2+4=0 (B)4x2-4x+1=0 (C)x2+x+3=0 (D)x2+2x-1=0 )B

9、某商品原价 200 元,连续两次降价 a%后售价为 148 元,下列所列方程正确的是( A:200(1+a%)2=148 C:200(1-2a%)=148 B:200(1-a%)2=148 D:200(1-a2%)=148 )C

10、下列方程中有实数根的是(

(A)x2+2x+3=0 (B)x2+1=0 (C)x2+3x+1=0 (D)
2

x 1 ? x ?1 x ?1
)A

11、已知关于 x 的一元二次方程 x ? m ? 2 x 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是( A. m>-1 B. m<-2 C.m ≥0 2 12、如果 2 是一元二次方程 x =c 的一个根,那么常数 c 是( A、2 B、-2 C、4 D、-4 D.m<0 ) 。C

16

二、填空题 1、已知一元二次方程 2 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根为 x1 、 x2 ,则 x1 ? x2 ?
2

3 2

2、方程 ?x ? 1? ? 4 的解为
2

。 x1 ? 3 , x2 ? ?1

2 3、阅读材料:设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x2 ,则两根与方程系数之间有如下关系: x1 ? x2 ? ?

b , a

x1 ?x2 ?

c .根据该材料填空: a
2

已知 x1 , x2 是方程 x ? 6 x ? 3 ? 0 的两实数根,则

x2 x1 ? 的值为______ 10 x1 x2
-3,2

4、关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个实数根分别为 1 和 2,则 b=______;c=______. 5、方程 x ? 2 x ? 0 的解是
2

. x1 =0, x2 =2

2 6、已知方程 x ? 3x ? k ? 0 有两个相等的实数根,则 k ?

9 4

7、方程 x2+2x=0 的解为
2

x1 =0, x2 =-2

8 、 已 知 方 程 x ? ?a ? 3?x ? 3 ? 0 在 实 数 范 围 内 恒 有 解 , 并 且 恰 有 一 个 解 大 于 1 小 于 2 , 则 a 的 取 值 范 围 是 .

?1 ? a ? ?

1 或a ? 3? 2 3 2 x?3 5 1 ? (x ? 2 ? ) 的值为____ 2 3x ? 6 x x?2 3

9、已知 x 是一元二次方程 x2+3x-1=0 的实数根,那么代数式
2 2

10、已知 x ? ?1 是关于 x 的方程 2 x ? ax ? a ? 0 的一个根,则 a ? _______. 11、若关于 x 的一元二次方程 x ? 2 x ? k ? 0 没有实数根,则 k 的取值范围是
2



12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程:__________________。 13、已知 2 ? 5 是一元二次方程 x ? 4 x ? c ? 0 的一个根,则方程的另一个根是
2



2? 5

三、解答题 1、解方程: x ? 4 x ? 1 ? 0 . 2、解方程:x2+3=3(x+1).
2

3、已知 x=1 是一元二次方程 ax ? bx ? 40 ? 0 的一个解,且 a ? b ,求
2

a 2 ? b2 的值. 2a ? 2b

4、已知关于 x 的一元二次方程 x2+4x+m-1=0。 (1)请你为 m 选取一个合适的整数,使得到的方程有两个不相等的实数根; (2)设 α、β 是(1)中你所得到的方程的两个实数根,求 α2+β2+αβ 的值。 5、据报道,我省农作物秸杆的资源巨大,但合理利用量十分有限,2006 年的利用率只有 30%,大部分秸杆被直接焚 烧了,假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变,且合理利用量的增长率相同,要使 2008 年的利用率提高到 60%,求 每年的增长率。(取 2 ≈1.41) 解:设我省每年产出的农作物秸杆总量为 a,合理利用量的增长率是 x,由题意得: 30%a(1+x)2=60%a,即(1+x)2=2????5 分 ∴x1≈0.41,x2≈-2.41(不合题意舍去)。??7 分 ∴x≈0.41。
17

即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为 41%。???8 分 6、黄金周长假推动了旅游经济的发展.下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图.

(1)根据图中提供的信息.请你写出两条结论; (2)根据图中数据,求 2002 年至 2004 年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率(精确到 0.1) 解: (1)①历年春节旅游收入低于“五一”和“十一”旅游收入; ②黄金周旅游收入呈上升趋势。┉┉ (2)设平均每年增长的百分率为 x,则 300(1+x)2=400,

2 2 3 , x2 =-1- 3 (不合题意,舍去) , 3 3 2 3 ≈0.155, 所以, x =-1+ 3
解得: x1 =-1+ 答:平均每年增长的百分率为 15.5%。 7、已知 x1,x2 是关于 x 的方程(x-2) (x-m)=(p-2) (p-m)的两个实数根. (1)求 x1,x2 的值; (2)若 x1,x2 是某直角三角形的两直角边的长,问当实数 m,p 满足什么条件时,此直角三角形的面积最大?并 求出其最大值. 解: (1) 原方程变为:x2-(m + 2)x + 2m = p2-(m + 2)p + 2m, ∴ x2-p2-(m + 2)x +(m + 2)p = 0, (x-p) (x + p)-(m + 2) (x-p)= 0, 即 (x-p) (x + p-m-2)= 0, ∴ x1 = p, x2 = m + 2-p.

(2)∵ 直角三角形的面积为 =?

1 1 1 1 x1 x 2 ? p(m ? 2 ? p) = ? p 2 ? (m ? 2) p 2 2 2 2

1 2 m ? 2 2 (m ? 2) 2 [ p ? (m ? 2) p ? ( ) ?( )] 2 2 4
18

1 m ? 2 2 (m ? 2) 2 ) ? =? (p ? , 2 2 8
∴ 当p?

m?2 ( m ? 2) 2 1 2 且 m>-2 时, 以 x1, x2 为两直角边长的直角三角形的面积最大, 最大面积为 或 p . 2 2 8

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