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函数的最值


函数的最值
湖南长沙市雅礼中学 刘锡萍

求函数的最值
⊙ ⊙ ⊙

一、函数最值的定义 二、函数最值的常见求法 三、举例
⊿ 第3例 ⊿第4例 ⊿练习题

⊿ 第1例 ⊿第2例

⊿ 例2
⊙ 四、小结

一、函数最值的有关概念

/>1、函数最小值的定义:
定义:已知函数y=f(x),其定义域为D,存在常数m,如 果对任意x∈D,均有f(x)≥m 成立且必须存在x0∈D,使得 f(x0)=m,则称m是函数f(x)的最小值。
特别注意的是f(x)≥m中等号一定能够成立。

2、函数最大值的定义:
定义:已知函数y=f(x),其定义域为D,存在常数m,如 果对任意x∈D,均有f(x) ≤m 成立且必须存在x0∈D,使 得f(x0)=m,则称m是函数f(x)的最小值。
特别注意的是f(x) ≤ m中等号一定能够成立。

二、求函数最值的常见方法
1、配方法:
主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别 注意自变量的范围。

适用由y=f(x)可化为关于x的二次方程a(y)?x2+b(y) ?x+c(y)=0 2、判别式法: 的函数。利用方程有实根的充要条件<=>⊿≥0且a(y) ≠0,求 出y的最值后,要检验这个最值在定义域内是否有相应的 x 值。

3、不等式法:利用基本不等式或均值不等式求最值时,一 定要注意等号成立的条件。
4、换元法: 主要有代数换元、三角换元、复数代换、二元代换、 5、数形结合法。 6、单调性法。
整体代换等。用换元法时,一定要注意新变量的取 值范围。

三、举
? 例1、求下列函数的最值
1、y = 2 - √ -x2-6x-5



2、y =
3、y=2x+4√1 - x 4、y=x- √1- x2

1、求y=2-√ -x -6x-5 的最值
2

分析一

∵ -x2-6x-5≥0 ∴ -5 ≤ x ≤ -1

∵ -x2-6x-5=-(x+3) 2 +4 ≤ 4 , ∴ √ -x2-6x-5 ∈ [0, 2]

∴ y ∈[0, 2] ∴ y min=0, y max=2
分析二:(判别式法) 可化为:x2 + 6x + 9 - 4y + y2 =0 (- ≤ x ≤ -1)
它是关于x为元的一元二次方程且方程有实根, 利用⊿=36-4(9-4y+y2 )=-4(y2-4y)≥0

即可得: 0 ≤ y ≤ 4 又y-2=- √ -x2-6x-5 ≤0 ∴ y min=0, y max=2

2、求y=

的最值

分析一: (判别式法) ∵x2+2x+2=(x+1)2+1≥1 可化为:y·2+(2y-1)x+2y-1=0 且 x∈R x

当y=0时,x= -1 当y≠0,它是关于x为元的一元二次方程且方程有实 根,利用⊿=(2y-1)2 - 4y(2y-1)=- (2y-1)(2y+1)≥ 0 ∴ y min=-1/2, y max=1/2 有-1/2≤y ≤1/2且y≠0

分析二:∵1/y = (x+1) + 1/(x+1)(均值不等式) ∵1/y=(x+1) + 1/(x+1) ≥ 2 这样对吗?
当x+1 >0 时,1/y ≥2 即x+1=1即x=0时,y有最大值为1/2 当x+1< 0 时, -1/y = -(x+1) + 1/[-(x+1)] ≥2 即x+1=-1即x=-2时, y有最小值为-1/2

3、求 y= 2x+4√1 – x 的最值
是否转化关于x为元的一元二次方程,利用方程有 ? 分析一: 实根的充要条件去解呢?即化为:(y-2x)2 = 16(1-x)

∴ 4x2+(16-4y)x+y2-16=0 分析二:(代数换元法)

由⊿=32-8y ≥0有y≤4

令√ 1- x =t (t≥0) ,即x= 1- t2 (t ≥0) y = 2(1- t2 )+4t=-2(t-1)2 + 4 (t ≥0)

图1

故可得 y∈(- ∞,4〕 问题1:原题改为:求y= 2x+4√1 + x 的最值。 (y ≥-2) (y≤3) 问题2:求函数y= -√2x -1 + log 0.5 (2x+7)的最值。

4、求 y=x - √1- x2 的最值
? 分析一:联想到平方亦可求解。化为(y-x)2=1-x2 即2x2-2yx+y2-1=0,利用⊿=4y2-8(y2-1)=8-4y2≥0 ∴y ∈ [- √ 2, √ 2 ] 又y<x ∈[-1,1] ∴ y∈ [- √ 2 ,1] 分析二:若利用代数换元法: 令√ 1- x2 =t 时,有x2=1-t2 ∴ y=± √1- t2 - t 因此考虑到 1- x2 ≥0 即-1≤x ≤1的特点, 令x=cos α(0≤ α ≤π) ∴ y=cos α - sin α = √2 cos(α + π/4) ∴ y∈ [- √ 2 ,1] ∴ - 1≤ cos(α + π/4) ≤ √ 2 问题:求 y= x - √1+ x2 的最值 令x=tg α (α ∈( -π/2< α <π/2) ) y= tg α -| sec α|
图2

∴ y=(sin α -1)/cos α 利用三角函数有界性求解

练习题(同学们自已动手做)
? 求下列函数的最大值或最小值。
1、y=
2、y= arcsin(x2+x) 3、当1≤x ≤3时, y=2x2 -6x+c 4、已知x2+x ≤0, y=2x+2-3·x 4 y max= 5 y max= π/2 , y min= - arcsin(1/4) y max=f(3) =c, y min=f(3/2)=c - 9/2 x=1-log23 y max=4/3 x=0时 y min=1

例2、求y=
? 分析一: (分离常数法)

的最大值和最小值 ∵ y= -1+4/(2 + sin α)

又 1≤ 2+sin α ≤ 3 ∴ 1/3 ≤ y ≤ 3 ∴ y min=1/3, y max=3 分析二:(方程法) ∵2y+y· α =2-sin α sin

由原式有 sin α=2(1-y)/(1+y) 且y+1≠0 由|sin α| ≤1 即2|1-y| ≤|1+y|有 1/3 ≤ y ≤ 3 分析三:(几何法)联系到直线斜率的几何意义 y=(2-sinα)/[2-(-sin α)]
表示连结两点(2,2)与( sinα,-sinα)所在直线段斜 图3 率的最大值和最小值.

即为连结点(2,2)与直线段y=-x(-1≤ x ≤1) 的点斜率的最值.

承上例2、求函数y=

的最值

? 若将原式改为 y=(2 - sin α)/(2- cos α) ,求其最值。 解法一:(利用三角函数的有界性) 由原式可化为:sin α -y cos α =2-2y 即sin(α -β)=(2-2y)/√1+y2 其中tg β=y
由|sin(α -β)| ≤ 1可得3y2-8y+3 ≤0 ∴(4-√7)/3 ≤y≤( 4+√7 )/3
解法二:利用万能置换公式化成关于tg(α/2)为元的一元二 次方程且有实根的充要条件去求解。 化为(2-y)tg2(α /2)-2tg(α /2)+2-3y=0且tg(α/2)为实数,利用 ⊿≥0即可得最值。

解法三:(几何法)它可理解为连结点(2,2)和点 (cos α.,sin α)的直线斜率的最值,即点(2,2)和单位圆周上
任一点连线斜率的最值。
图4

本节课小结
1、在求最值的问题中,转化与变换、及数形 结合的思想有着重要的运用。 2、在最值问题的求解过程中,应充分注意 题设的限制条件,特别是字母的取值范围对最 值的约束。

完!

2001年10月8日


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