当前位置:首页 >> 数学 >>

【解析版】广东省惠州市2013届高三第三次调研数学试卷(理科)


广东省惠州市 2013 届高三第三次调研数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 分) (5 (2013?惠州模拟)复数 A.﹣3+i B.﹣3﹣i 的共轭复数是( C.3+i ) D.3﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分

析: 把 的分子、分母同时乘以复数 i,得到 a+bi,由此能求出复数 z 的共轭复数.
.

解答: 解:

=(1﹣3i)i=3+i,

所以复数的共轭复数是 3﹣i. 故选 D. 点评: 本题考查复数的代数运算, 是基础题. 解题时要认真审题, 熟练掌握共轭复数的概念.

2. 分) (5 (2013?惠州模拟)已知向量 =(2,﹣3) =(x,6) , ,且 为( A. ) B. C.5 D.13

,则| + |的值

考点: 平行向量与共线向量;向量的模;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两个向量平行的坐标表示求出 x 的值, 然后运用向量的坐标加法运算求出两个和 向量的坐标,最后利用求模公式求模. 解答: 解:由向量 =(2,﹣3) =(x,6) , ,且 ,
.

则 2×6﹣(﹣3)x=0,解得:x=﹣4. 所以 则 所以 = , =(﹣2,3) . .

故选 B. 点评: 本题考查了两个平行的坐标表示, 考查了平面向量的坐标运算, 考查了向量模的求法, 是基础题.

3. 分) (5 (2013?惠州模拟)已知集合 A={﹣1,1},B={x|ax+1=0},若 B?A,则实数 a 的 所有可能取值的集合为( ) A.{﹣1} B.{1} C.{﹣1,1} D.{﹣1,0,1} 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题中条件:“B?A”,得到 B 是 A 的子集,故集合 B 可能是?或 B={﹣1},或{1}, 由此得出方程 ax+1=0 无解或只有一个解 x=1 或 x=﹣1.从而得出 a 的值即可. 解答: 解:由于 B?A, ∴B=?或 B={﹣1},或{1}, ∴a=0 或 a=1 或 a=﹣1, ∴实数 a 的所有可能取值的集合为{﹣1,0,1} 故选 D. 点评: 本题主要考查了集合的包含关系判断及应用,方程的根的概念等基本知识,考查了分 类讨论的思想方法,属于基础题.
.

4. 分) (5 (2013?惠州模拟)已知幂函数 y=f(x)的图象过点( , 值为( A. ) B. ﹣ C.2

) ,则 log4f(2)的

D.﹣2

考点: 幂函数图象及其与指数的关系;对数的运算性质;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式, 再将 x 用 2 代替求出函数 值. 解答: a 解:由设 f(x)=x ,图象过点( , ) ,
.

∴( ) =

a

,解得 a= ,

∴log4f(2)=log42

= .

故选 A. 点评: 本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值. 5. 分) (5 (2009?陕西)”m>n>0”是”方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 椭圆的应用. 专题: 常规题型.
2 2



.

分析: 2 2 将方程 mx +ny =1 转化为 解答: 2 2 解:将方程 mx +ny =1 转化为

,然后根据椭圆的定义判断.



根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上必须满足 反之,当 m>n>0,可得出

,且

,即 m>n>0

>0,此时方程对应的轨迹是椭圆
2 2

综上证之,”m>n>0”是”方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件 故选 C. 点评: 本题考查椭圆的定义,难度不大,解题认真推导. 6. 分) (5 (2013?济宁一模)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每 场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别为( )

A.19、13

B.13、19

C.20、18

D.18、20

考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题: 计算题;图表型. 分析: 把两列数据按照从小到大排列,数据有 11 个.最中间一个数字就是中位数,把两列 数据的中位数找出来. 解答: 解:由茎叶图知甲的分数是 6,8,9,15,17,19,23,24,26,32,41, 共有 11 个数据,中位数是最中间一个 19, 乙的数据是 5,7,8,11,11,13,20,22,30,31,40 共有 11 和数据,中位数是最中间一个 13, 故选 A. 点评: 本题考查茎叶图和中位数,解题的关键是把数据按照从小到大排列,最中间一个或最 中间两个数据的平均数就是中位数.
.

7. 分) (5 (2013?惠州模拟)已知 x、y 满足约束条件

,则 Z=2x+4y 的最小值为

( ) A.﹣15

B.﹣20

C.﹣25

D.﹣30

考点: 简单线性规划的应用.

.

专题: 计算题;数形结合. 分析: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件

的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入 2x+4y 中,求出 2x+4y 的 最小值即可. 解答: 解:满足约束条件 的平面区域如图:

有图得当位于点 B(﹣ ,﹣ )时, 2x+4y 有最小值 2× 故选 A. )+4×(﹣ )=﹣15.

点评: 在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域 ?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证, 求出最优解. 8. 分) (5 (2013?惠州模拟)数列{an} 中,an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则数列{an}前 12 项和 等于( ) A.76 B.78 C.80 D.82 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a2﹣a1=1, 3+a2=3, 4﹣a3=5, 5+a4=7, 6﹣a5=9, 7+a6=11, 12﹣a11=21, a a a a a …a 变形可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a11=2,a12+a10=40,利用数列的 结构特征,求出{an}的前 12 项和. n 解答: 解:∵an+1+(﹣1) an=2n﹣1, ∴a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5,a5+a4=7,a6﹣a5=9.a7+a9=11,…a11+a10=19,a12﹣ a11=21 ∴a1+a3=2,a4+a2=8…a12+a10=40
.

n

∴从第一项开始,依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2,从第二项开始,依次取 2 个 相邻偶数项的和构成以 8 为首项, 以 16 为公差的等差数列. 以上式子相加可得,S12=a1+a2+…+a12 =(a1+a3)+(a5+a7)+(a9+a11)+(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)=3×2+8+24+40=78 故选 B. 点评: 本题主要考查数列求和的方法,等差数列的求和公式,注意利用数列的结构特征,属 于中档题. 二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分)(必 做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答,选做题:14~15 题,考生只能从中选 做一题) 9. 分) (5 (2013?惠州模拟)在等比数列{an}中,a1=1,公比 q=2,若{an}前 n 项和 Sn=127, 则 n 的值为 7 . 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由等比数列的前 n 项和公式可得,127=
.

解方程可求 n

解答: 解:由等比数列的前 n 项和公式可得,127= 解可得,n=7 故答案为:7 点评: 本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式的 简单运用,属于基础试题. 10. 分) (5 (2013?济宁二模)阅读如图的程序框图.若输入 n=5,则输出 k 的值为 3 .

考点: 循环结构. 专题: 操作型. 分析: 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果;直到满足判断框中的条件,执行输出. 解答: 解:经过第一次循环得到的结果为 k=0,n=16,此时不满足退出循环的条件, 经过第二次循环得到的结果为 k=1,n=49,此时不满足退出循环的条件, 经过第三次循环得到的结果为 k=2,n=148,此时不满足退出循环的条件, 经过第四次循环得到的结果为 k=3,n=445,满足判断框中的条件,执行“是”输出的 k 为3 故答案为:3 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次的循环结果找规律.
.

11. 分) (5 (2013?惠州模拟)已知双曲线



=1 的一个焦点与抛线线 y =4

2

x 的焦

点重合,且双曲线的离心率等于

,则该双曲线的方程为



考点: 双曲线的简单性质;双曲线的标准方程;圆锥曲线的共同特征. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 求出抛物线的焦点坐标,利用双曲线的一个焦点与抛物线 y =4 双曲线的离心率等于 解答: 解:抛线线 y =4 ∴c =a +b =10,e= ∴a=3,b=1. 则该双曲线的方程为 故答案为: . .
2 2 2 2

.

x 的焦点重合,且

,建立方程组,求出几何量,即可求得双曲线的标准方程. x 的焦点( = . ,0)

点评: 本题考查抛物线的性质、双曲线的标准方程,考查学生的计算能力,属于基础题. 12. 分) (5 (2013?惠州模拟)已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列 命题中正确的有 ④ . ①若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ③若 m∥α,m∥β,则 α∥β; ④若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n. 考点: 命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置 关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据空间线面、面面的平行,垂直关系,结合线面、面面的平行,垂直的判定定理、 性质定理解决. 解答: 解:∵m∥α,n∥α,m 与 n 的位置关系是相交、平行或异面∴故①不正确;
.

∵α⊥γ,β⊥γ,α 与 β 的位置关系是相交或平行,故②不正确; ∵m∥α,m∥β,α 与 β 的位置关系是相交或平行,故③不正确; ∵垂直于同一平面的两条直线平行,∴④正确; 故答案是④ 点评: 本题考查线面平行关系的判定,要注意直线、平面的不确定情况.

13. 分) (5 (2013?惠州模拟)已知函数 f(x)=

.若 f(x)在(0,+∞)

上单调递增,则实数 a 的取值范围为 1<a≤2 . 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: x 由 f(x)在(0,+∞)上单调递增,得 y=a ﹣a 递增,且
.

a ﹣a,由此

1

可得关于 a 的不等式组,解出即可. 解答: x 解:因为 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 y=a ﹣a 递增,且 ﹣a, 由 y=a ﹣a 递增,得 a>1①,由
x

a

1

a ﹣a,得 a≤2②,

1

综合①②得 1<a≤2. 故答案为:1<a≤2. 点评: 本题考查函数单调性的性质,考查二次函数、指数函数的单调性,注意体会数形结合 思想在分析本题中的应用. 14. 分) (5 (2013?梅州二模)如图,PA 切⊙O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1, OA 绕点 O 逆时针旋转 60°到 OD,则 PD 的长为 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 综合题;压轴题;综合法. 分析: 解法一:如图根据题设条件可求得角 DOP 的大小,由于 OD=1,OP=2,由余弦定理 求长度即可. 解法二:由图形知,若能求得点 D 到线段 OC 的距离 DE 与线段 OE 的长度,在直角 三角形 PED 中用勾股定理求 PD 即可. 解答: 解:法一:∵PA 切⊙O 于点 A,B 为 PO 中点,∴AB=OB=OA, ∴∠AOB=60°,∴∠POD=120°,
.

在△ POD 中由余弦定理, 得:PD =PO +DO ﹣2PO?DOcos∠POD= ∴ . 法二:过点 D 作 DE⊥PC 垂足为 E, ∵∠POD=120°, ∴∠DOC=60°, 可得 , ,
2 2 2



在 Rt△ PED 中,有 .

点评: 本题考点是与圆有关的比例线段,本题考查求线段的长度,平面几何中求线段长度一 般在三角形中用正弦定理与余弦定理求解,本题中法一的特征用的是余弦定理求长 度,法二在直角三角形中用勾股定理求长度,在三角形中求长度时应该根据题意选取 适当的方法求解,做题后要注意总结方法选取的规律.

15. (2013?惠州模拟)在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为(3, 则△ AOB(其中 O 为极点)的面积为 3 . 考点: 点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 应用题;压轴题;选作题;转化思想. 分析: 首先由极坐标与直角坐标系转换公式
.

)(4, ,

) ,

,把点 A、B 的极

坐标转化为直角坐标,再在直角坐标系下求三角形的面积. 解答: 解:由极坐标与直角坐标系转换公式

又 A、B 的极坐标分别为(3, 可得到 A,B 的直角坐标分别为

)(4, ,

) , ,

O 的坐标不变,则可求的△ AOB 的面积为 3. 故答案为 3. 点评: 此题主要考查极坐标与直角坐标系的转化公式的记忆与应用,有一定的计算量,在做 题时需要很好的理解题意以便解答.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (12 分) (2013?惠州模拟)已知函数 f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中 x∈R,0<φ<π) , 且函数 y=f(2x+ (1)求 φ 的值; (2)若 f(a﹣ )= ,求 sin2a 的值. )的图象关于直线 x= 对称.

考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;二分法求方程的近似解;两角和与差的正弦函 数. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用两角和的正弦公式合并可得 f(2x+ )=sin(2x+ +φ) ,再用三角函数对
.

称轴方程的公式建立关于 φ 的等式,结合题意可解出 φ= (2)将 a﹣

; )= ,结合两

代入(1)中求出的表达式,化简整理可得 sin(a+

角和的正弦公式可得 sina+cosa= ,再将此式平方,并结合二倍角公式和同角三角函 数基本关系,即可算出 sin2a 的值. 解答: (1)∵f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ=sin(x+φ) 解: ,…(2 分) ∴函数 f(x)的最小正周期为 2π.…(3 分) ∵函数 y=f(2x+ 且函数 y=sin(2x+ ∴x= 代入得 满足 2x+ + +φ= )=sin[(2x+ )+φ]=sin(2x+ +φ) ,

+φ)图象关于直线 x= +φ= +kπ,k∈Z

对称,…(5 分)

+2kπ, …(7 分) + )=sin(a+ ) ,…(9 分)

结合 0<φ<π 取 k=1,得 φ= (2)∵f(a﹣ ∴sin(a+ )= )=sin(a﹣

(sina+cosa)=
2

,可得 sina+cosa= ,…(11 分)
2 2

两边平方,得(sina+cosa) = ,即 sin a+2sinacosa+cos a= ∵sin2a=2sinacosa ∴1+sin2a= ,解之可得 sin2a=﹣ …(14 分) 点评: 本题给出三角函数图象关于直线 x= 对称,求 φ 的值并通过函数解析式求另一个角

的正弦值.着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识,属于中档题. 17. (12 分) (2013?惠州模拟)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中 考试数学成绩 (满分 100 分, 成绩均为不低于 40 分的整数) 分成六段: [40, , 50) [50, , 60) …, [90,100]后得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这 两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图;用样本的频率分布估计 总体分布. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据图中所有小矩形的面积之和等于 1 建立关于 a 的等式,解之即可求出所求; (2)根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率,然后根据频数=频率×总数可求 出所求; (3)成绩在[40,50)分数段内的人数,以及成绩在[90,100]分数段内的人数,列出 所有的基本事件,以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的基本事件,最 后利用古典概型的概率公式解之即可. 解答: (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.…(1 分) 解得 a=0.03.…(2 分) (2) 根据频率分布直方图, 解: 成绩不低于 60 分的频率为 1﹣10× 0.005+0.01) ( =0.85. … (3 分) 由于该校高一年级共有学生 640 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级 数学成绩不低于 60 分的人数约为 640×0.85=544 人. …(5 分) (3)解:成绩在[40,50)分数段内的人数为 40×0.05=2 人,分别记为 A,B.…(6 分) 成绩在[90,100]分数段内的人数为 40×0.1=4 人,分别记为 C,D,E,F.…(7 分) 若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则 所有的基本事件有: (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(B,C)(B, , , , , , , D)(B,E)(B,F)(C,D)(C,E)(C,F)(D,E)(D,F)(E,F)共 , , , , , , , ,
.

15 种.…(9 分) 如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这 两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在[40,50)分数段 内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定 大于 10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M,则事件 M 包含的基本 事件有: (A,B)(C,D)(C,E)(C,F)(D,E)(D,F)(E,F)共 7 种.… , , , , , , (11 分) 所以所求概率为 .…(12 分)

点评: 本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识,考查数形结合、化归与转化的数学 思想方法,以及运算求解能力. 18. (14 分) (2005?江西)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为 .

考 点、线、面间的距离计算;与二面角有关的立体几何综合题. 点: 分 解法(一) : 析: (1)通过观察,根据三垂线定理易得:不管点 E 在 AB 的任何位置,D1E⊥A1D 总是成 立的. (2)在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、 平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离. 本题可采用“等积法”: 即利用三棱锥的换底法,通过体积计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特
.

殊功效,减少了推理,但计算相对较为复杂.根据

=



可以求得点 E 到面 ACD1 的距离. (3) 二面角的度量关键在于找出它的平面角, 构造平面角常用的方法就是三垂线法. 过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE, 则∠DHD1 为二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角. 解法(二) : 以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE=x,则 A1(1,0,1) 1(0,0,1) ,D ,E(1,x,0) ,A(1,0,0)C(0,2,0) .这

种解法的好处就是: (1)解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位 置的有关定理,因为这些可以用向量方法来解决. (2)即使立体感稍差一些的学生也可 以顺利解出,因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可. (1) (2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0) ,从而 , 的法向量为 ,从而 , 设平面 ACD1 ,所以点 E 到平面 AD1C 的距离 .





(3)设平面 D1EC 的法向量 面角 D1﹣EC﹣D 的大小为 ﹣D 的大小为 .

,可求得 ,所以根据余弦定理可得 AE=

. ,因为二 时,二面角 D1﹣EC

解 解法(一) : 答: (1)证明:∵AE⊥平面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E (2)设点 E 到面 ACD1 的距离为 h,在△ ACD1 中,AC=CD1= 故 .∴ , ∴ ,∴ .

,AD1=



(3)过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE,∴∠DHD1 为二面角 D1﹣EC ﹣D 的平面角. 设 AE=x,则 BE=2﹣x 在 Rt△ D1DH 中,∵ ∵ ,∴DH=1.

,∴在 Rt△ DHE 中,EH=x, .

∴ ∴

. .

解法(二) : 以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE=x,则 A1(1,0,1) 1(0,0,1) ,D ,E(1,x,0) ,A(1,0,0)C(0,2,0)

(1) 因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0) ,从而 , 的法向量为 ,

. (2)

, 设平面 ACD1



也即

,得

,从而

,所以点 E 到平面

AD1C 的距离为 (3)设平面 D1EC 的法向量 ∴



, ,



令 b=1,∴c=2,a=2﹣x,





依题意



∴ ∴AE=

(不合,舍去) ,

. .

时,二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为

点 本小题主要考查棱柱,二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识,同时考查空间 评: 想象能力和推理、运算能力.
x

19. (14 分) (2013?惠州模拟)已知点(1, )是函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象 上一点,等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)﹣c,数列{bn}(bn>0)的首项为 c,且前 n 项 和 Sn 满足:Sn﹣Sn﹣1= + (n≥2) .

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列{cn}的通项 cn=bn (3)若数列{ ,求数列{cn}的前 n 项和 Rn; 的最小正整数 n 是多少?

}前 n 项和为 Tn,问 Tn>

考 等比数列的通项公式; 等差数列的通项公式; 数列的求和; 等差数列与等比数列的综合. 点: 专 等差数列与等比数列. 题: 分 x (1)由点(1, )是函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象上一点,求出函数解析式, 析:
.

根据等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)﹣c,依次求出 a1,a2,a3,然后由



出 c,则首项和公比可求,所以通项公式可求,再由数列{bn}(bn>0)的首项为 c,且 前 n 项和 Sn 满足: n﹣Sn﹣1= S + (n≥2) 展开等式左边约分后可得数列{ . }

为首项为 1 公差为 1 的等差数列,求出 Sn 后,由 bn=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)求数列{bn}的通项 公式; (2)把数列{bn}的通项公式代入数列{cn}的通项 cn=bn 求数列{cn}的前 n 项和; (3)运用裂项相消法求出数列{ }前 n 项和为 Tn,代入 Tn> 进行求解. ,然后运用错位相减法

解 x 解: (1)因为点(1, )是函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象上一点, 答: 所以 ,所以, .

因为等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)﹣c, 所以 , ,

a2=[f(2)﹣c]﹣[f(1)﹣c]=

a3=[f(3)﹣c]﹣[f(2)﹣c]=



又数列{an}成等比数列,所以,

,所以 c=1.

所以



又公比 q=

所以 由数列{bn}的前 n 项和满足 Sn﹣Sn﹣1= 则 又 bn>0, 所以,数列{ 则 当 n≥2 时, 满足 b1=c=1. 所以, (2)由 所以 Rn=c1+c2+c3+…+cn= ; ,所以

. + (n≥2) . (n≥2) , .

}构成一个首项为 1 公差为 1 的等差数列, ,所以 . ,



① 两边同时乘以 得: +…+ ② ①式减②式得:

化简得:

=

所以 (3) = = = 由



; ,得 n> ,所以,满足 的最小正整数为 112.

点 本题考查了等差和等比数列的通项公式,考查了错位相减法和裂项相消法求数列的前 n 评: 项的和,比较综合考查了学生分析问题和解决问题的能力,考查了学生的计算能力,特 别是(1)中求解两个数列的通项公式,需要有一定的灵活变化技巧,此题属于难题.

20. (14 分) (2013?惠州模拟) (理科)设椭圆

的右焦点为 F1,

直线

与 x 轴交于点 A,若

(其中 O 为坐标原点)

(1)求椭圆 M 的方程; 2 2 (2) 设点 P 是椭圆 M 上的任意一点, 线段 EF 为圆 N: + x (y﹣2) =1 的任意一条直径 (E、 F 为直径的两个端点) ,求 的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的性质及其运算律;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)确定 A,F 的坐标,利用 建立方程,从而可求椭圆 M 的方程;
.

1

(Ⅱ)利用向量的数量积运算,将求 方法可求.

的最大值转化为求

的最大值,利用配

解答: 解: (1)由题设知,

,F1(



∵ ∴a =6
2

,∴

∴椭圆 M 的方程为
2 2



(2)∵圆 N:x +(y﹣2) =1 的圆心为点 N ∴ 从而将求 = 的最大值转化为求 = 的最大值 =

P 是椭圆 M 上的任一点,设 P(x0,y0) ,则有 又 N(0,2) ,∴ ∵ ∴ =x0 +(y0﹣2) =﹣2(y0+1) +12 ,∴当 y0=﹣1 时, 的最大值为 11. 取最大值 12
2 2 2

,即 x0 =6﹣3y0 ,

2

2

点评: 本题以向量为载体,考查椭圆的标准方程,考查向量的数量积,考查配方法求函数的 最值,综合性强,属于中档题

21. (14 分) (2013?惠州模拟)已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+

﹣x ﹣2ax(a∈R) .

2

(1)若 x=2 为 f(x)的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 a=﹣ 时,方程 f(1﹣x)= 有实根,求实数 b 的最大值.

考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)先对函数求导,由 x=2 为 f(x)的极值点,可得 f'(2)=0,代入可求 a
.

(2)由题意可得

在区间[3,

+∞)上恒成立,①当 a=0 时,容易检验是否符合题意,②当 a≠0 时,由题意可得必 2 2 须有 2ax+1>0 对 x≥3 恒成立,则 a>0,从而 2ax +(1﹣4a)x﹣(4a +2)≥0 对 x∈[3, 2 2 +∞0 上恒成立.考查函数 g(x)=2ax +(1﹣4a)x﹣(4a +2) ,结合二次函数的性质

可求 (3)由题意可得
2 2 3

.问题转化为 b=xlnx﹣x(1﹣x)
2 3

+x(1﹣x)=xlnx+x ﹣x 在(0,+∞)上有解,即求函数 g(x)=xlnx+x ﹣x 的值 域. 方法 1:构造函数 g(x)=x(lnx+x﹣x ) ,令 h(x)=lnx+x﹣x (x>0) ,对函数 h (x)求导,利用导数判断函数 h(x)的单调性,进而可求 2 2 方法 2:对函数 g(x)=x(lnx+x﹣x )求导可得 g'(x)=lnx+1+2x﹣3x .由导数知 2 识研究函数 p(x)=lnx+1+2x﹣3x ,的单调性可求函数 g(x)的零点,即 g'(x0)=0, 从而可得函数 g(x)的单调性,结合 ,可知 x→0 时,lnx+ <0,则 g(x)<0,又 g(1)=0 可求 b 的最大值 解答: (1) 解: = 分) 因为 x=2 为 f(x)的极值点,所以 f'(2)=0.…(2 分) 即 ,解得 a=0.…(3 分) .…(1
2 2

又当 a=0 时,f'(x)=x(x﹣2) ,从而 x=2 为 f(x)的极值点成立.…(4 分) (2)因为 f(x)在区间[3,+∞)上为增函数, 所以 在区间[3,+∞)上恒成

立.…(5 分) ①当 a=0 时,f'(x)=x(x﹣2)≥0 在[3,+∞)上恒成立,所以 fx)在[3,+∞上为增 函数,故 a=0 符合题意.…(6 分) ②当 a≠0 时,由函数 f(x)的定义域可知,必须有 2ax+1>0 对 x≥3 恒成立,故只能 a >0, 2 2 所以 2ax +(1﹣4a)x﹣(4a +2)≥0 对 x∈[3,+∞0 上恒成立.…(7 分) 令 g(x)=2ax +(1﹣4a)x﹣(4a +2) ,其对称轴为 因为 a>0 所以
2 2

,…(8 分)

,从而 g(x)≥0 在[3,+∞)上恒成立,只要 g(3)≥0 即

可, 2 因为 g(3)=﹣4a +6a+1≥0, 解得 因为 a>0,所以 综上所述,a 的取值范围为 .…(9 分) . .…(10 分)

(3)若

时,方程 .

x>0 可化为,

问题转化为 b=xlnx﹣x(1﹣x) +x(1﹣x)=xlnx+x ﹣x 在(0,+∞)上有解, 2 3 即求函数 g(x)=xlnx+x ﹣x 的值域.…(11 分) 以下给出两种求函数 g(x)值域的方法: 2 2 方法 1:因为 g(x)=x(lnx+x﹣x ) ,令 h(x)=lnx+x﹣x (x>0) , 则


2

2

3

,…(12 分)

所以当 0<x<1,h (x)>0,从而 h(x)在(0,1)上为增函数, ′ 当 x>1,h (x)<0,从而 h(x')在(1,+∞上为减函数,…(13 分) 因此 h(x)≤h(1)=0. 而,故 b=x?h(x)≤0, 因此当 x=1 时,b 取得最大值 0.…(14 分) 方法 2:因为 g(x)=x(lnx+x﹣x ) ,所以 g'(x)=lnx+1+2x﹣3x . 设 p(x)=lnx+1+2x﹣3x ,则 当 当 时,p'(x)>0,所以 p(x)在 时,p'(x)<0,所以 p(x)在 , 又
2 2 2



上单调递增; 上单调递减;

因为 p 1) 故必有 ( =0,



因此必存在实数

使得 g'(x0)=0,

∴当 0<x<x0 时,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,x0)上单调递减; 当 x0<x<1,g′(x)>0,所以,g(x)在(1,+∞)上单调递减; 又因为 当 x→0 时,lnx+ <0,则 g(x)<0,又 g(1)=0. 因此当 x=1 时,b 取得最大值 0.…(14 分) 点评: 本题主要考查了利用函数的导数求解函数极值的应用, 及利用函数的导数研究函数的 单调性及函数的最值的求解,解答本题要求考生具备较强的逻辑推理与运算的能力 ,


相关文章:
【解析版】广东省惠州市2013届高三第三次调研数学试卷(理科)
暂无评价|0人阅读|0次下载 【解析版】广东省惠州市2013届高三第三次调研数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。小升初 小升初 中高考 中高考 高二会考 高二...
【解析版】广东省惠州市2013届高三第三次调研数学试卷(理科)
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 【解析版】广东省惠州市2013届高三第三次调研数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。广东省惠州市 2013 届高三第三次调研...
广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷(理科)
+g(am)<g(am+1)成立,求 m 的最大 值. 广东省惠州市 2015 届高三第三次调研数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 ...
惠州市2014届高三第三次调研考试理科数学
惠州市2014届高三第三次调研考试理科数学_数学_高中教育_教育专区。-1- -2- ...1 B 2 D 3 C 4 B 5 A 6 C 7 D 8 A 1.【解析】1.由 a 2 ? ...
【解析版】广东省惠州市2012-2013学年高三第三次调研数学试卷(文科)
暂无评价|0人阅读|0次下载 【解析版】广东省惠州市2012-2013年高三第三次调研数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课...
广东省惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(理科)-解析
惠州市2013届高三第三次调研考试 数学试题(理科)本试卷共4页,21小题,满分150...a ? 2 .(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14. 【解析】∵...
广东省惠州市2013届高三第三次调研考试理科数学试题详细解析
惠州市 2013 届高三第三次调研考试理科数学试题详细解析一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合...
广东省惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题理科
广东省惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题理科_数学_高中教育_教育专区。惠州市2013届高三第三次调研考试 数学试题(理科) 本试卷共4页,21小题,满分150分。...
【解析版】广东省惠州市2012-2013学年高三第三次调研数学试卷(文科)
【解析版】广东省惠州市2012-2013年高三第三次调研数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。2012-2013年广东省惠州市高三第三次调研数学试卷(文科)参考答案...
更多相关标签:
广东省惠州市 | 广东省惠州市区号 | 广东省惠州市惠东县 | 广东省惠州市博罗县 | 广东省惠州市邮编 | 广东省惠州市地图 | 广东省惠州市惠阳区 | 广东省惠州市社保查询 |