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第九章 9.1


§ 9.1

直线的方程

1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,把 x 轴所在的直线绕着交点按 逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.当直线 l 与 x 轴 平行或重合时,规定它的倾斜角为 0° . (2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角 α 的

正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示, 即 k=tan_α,倾斜角是 90° 的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 y2-y1 经过两点 P(x1,y1),Q(x2,y2)如果 x1≠x2,那么直线的斜率公式为 k= (x ≠x ). x2-x1 1 2 2.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b 适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1 (x1≠x2)和直线 y=y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax+By+C=0(A2+B2≠0)

平面直角坐标系内的直线都适用

3.过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 (1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴,方程为 x=x1; (2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴,方程为 y=y1; (3)若 x1=x2=0,且 y1≠y2 时,直线即为 y 轴,方程为 x=0; (4)若 x1≠x2,且 y1=y2=0 时,直线即为 x 轴,方程为 y=0. 4.线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y),则 x ?x=x + 2 ? y +y ?y= 2
1 1 2

,此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.

2

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置. (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率. (3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大. (4)直线的斜率为 tan α,则其倾斜角为 α. (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等. (6)经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示. x y (7)不经过原点的直线都可以用 + =1 表示. a b ( √ ( × ( × ( × ( × ( × ( × ) ) ) ) ) ) )

(8)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x- x1)(y2-y1)表示. 2.如果 A· C<0,且 B· C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过第________象限. 答案 三 C C 解析 由已知得直线 Ax+By+C=0 在 x 轴上的截距- >0,在 y 轴上的截距- >0,故直 A B 线经过一、二、四象限,不经过第三象限. 3.若直线斜率的绝对值等于 1,则直线的倾斜角为__________________________. 答案 45° 或 135° 解析 由|k|=|tan α|=1,知: k=tan α=1 或 k=tan α=-1.又倾斜角 α∈[0° ,180° ), ∴α=45° 或 135° . ( √ )

4.直线 l 经过 A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点.则直线 l 的倾斜角的取值范围为____________. π? ?π ? 答案 ? ?0,4?∪?2,π? m2-1 解析 直线 l 的斜率 k= =1-m2≤1. 1-2 若 l 的倾斜角为 α,则 tan α≤1. π? ?π ? 又∵α∈[0,π),∴α∈? ?0,4?∪?2,π?. 5.过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________________. 答案 x+y+1=0 或 4x+3y=0 4 解析 ①若直线过原点,则 k=- , 3 4 ∴y=- x,即 4x+3y=0. 3 x y ②若直线不过原点.设 + =1,即 x+y=a. a a ∴a=3+(-4)=-1,∴x+y+1=0.

题型一 直线的倾斜角与斜率 例1 经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连结 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直

线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________,________________. 思维启迪 本题考查斜率求解公式以及 k 与 α 的函数关系,解题关键是在求倾斜角时要对 其分锐角、钝角的讨论. 答案 [-1,1] π 3π [0, ]∪[ ,π) 4 4

解析 如图所示,结合图形:为使 l 与线段 AB 总有公共点,则 kPA≤k≤kPB,而 kPB>0,kPA<0,故 k<0 时,倾斜角 α 为钝角,k=0 时, α=0,k>0 时,α 为锐角. 又 kPA= kPB= -2-?-1? =-1, 1-0

-1-1 =1,∴-1≤k≤1. 0-2

π 又当 0≤k≤1 时,0≤α≤ ; 4 3π 当-1≤k<0 时, ≤α<π. 4

π 3π 故倾斜角 α 的取值范围为 α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4 思维升华 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据

π? ?π ? 斜率求倾斜角的范围时,要分? ?0,2?与?2,π? 两种情况讨论 .由正切函数图象可以看出当 π? π ?π ? α∈? ?0,2?时,斜率 k∈[0,+∞);当 α=2时,斜率不存在;当 α∈?2,π?时,斜率 k∈(- ∞,0). (1)若直线 l 与直线 y=1, x=7 分别交于点 P, Q, 且线段 PQ 的中点坐标为(1, -1),则直线 l 的斜率为________. (2)直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是________. π 5π 1 0, ?∪? ,π? 答案 (1)- (2)? ? 6? ? 6 ? 3 解析 (1)依题意,设点 P(a,1),Q(7,b),
? ?a+7=2 则有? ,解得 a=-5,b=-3, ?b+1=-2 ?

-3-1 1 从而可知直线 l 的斜率为 =- . 3 7+5 (2)由 xcos α+ 3y+2=0 得直线斜率 k=- ∵-1≤cos α≤1,∴- 3 3 ≤k≤ . 3 3 3 3 ≤tan θ≤ . 3 3 3 cos α. 3

设直线的倾斜角为 θ,则-

π? ?π ? 结合正切函数在? ?0,2?∪?2,π?上的图象可知, π 5π 0≤θ≤ 或 ≤θ<π. 6 6 题型二 求直线的方程 例2 根据所给条件求直线的方程: 10 ; 10

(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为

(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5. 思维启迪 本题考查直线方程的三种形式,解题关键在于设出正确的方程形式. 解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为 α,则 sin α= 10 (0<α<π), 10

3 10 1 从而 cos α=± ,则 k=tan α=± . 10 3 1 故所求直线方程为 y=± (x+4). 3 即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0. x y (2)由题设知截距不为 0,设直线方程为 + =1, a 12-a 又直线过点(-3,4), -3 4 从而 + =1,解得 a=-4 或 a=9. a 12-a 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为 x-5=0; 当斜率存在时,设其为 k, 则所求直线方程为 y-10=k(x-5), 即 kx-y+(10-5k)=0. |10-5k| 3 由点线距离公式,得 2 =5,解得 k= . 4 k +1 故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0. 思维升华 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条 件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线, 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类 讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况. 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍. 解 (1)设直线 l 在 x、y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3 x y 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, a a 3 2 ∵l 过点(3,2),∴ + =1, a a ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0. 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. (2)由已知,设直线 y=3x 的倾斜角为 α ,则所求直线的倾斜角为 2α.

2tan α 3 ∵tan α=3,∴tan 2α= =- . 4 1-tan2α 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0. 题型三 直线方程的综合应用 例3 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,如图所示,求

△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程. 思维启迪 先求出 AB 所在的直线方程,再求出 A,B 两点的坐标, 表示出△ABO 的面积,然后利用相关的数学知识求最值. x y 解 方法一 设直线方程为 + =1 (a>0,b>0), a b 3 2 将点 P(3,2)代入得 + =1≥2 a b 6 ,得 ab≥24, ab

1 3 2 b 2 从而 S△AOB= ab≥12,当且仅当 = 时等号成立,这时 k=- =- ,从而所求直线方程 2 a b a 3 为 2x+3y-12=0. 方法二 依题意知,直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y-2=k(x-3) (k<0), 2 ? 且有 A? ?3-k,0?,B(0,2-3k), 2? 1 ∴S△ABO= (2-3k)? ? 3- k ? 2 4 1 = ?12+?-9k?+?-k?? 2? ? 1? ≥ ?12+2 2? 4 ? ?-9k?· ? ?-k??

1 = ×(12+12)=12. 2 4 2 当且仅当-9k= ,即 k=- 时,等号成立. 3 -k 即△ABO 的面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2x+3y-12=0. 思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题:解决这类问题,一般是利用直线方程中的 x,y 的关系,将问题 转化为关于 x(或 y)的函数,借助函数的性质解决. (2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、

根的存在问题,不等式的性质、基本不等式等)来解决. 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程. (1)证明 直线 l 的方程是 k(x+2)+(1-y)=0,
?x+2=0 ?x=-2 ? ? 令? ,解得? , ? ? ?1-y=0 ?y=1

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). (2)解 1+2k 由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k, k

1+2k ? ?- ≤-2 k 要使直线不经过第四象限,则必须有? ,解之得 k>0; ? ?1+2k≥1 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0. 1+2k ? (3)解 由 l 的方程,得 A?- ,0 ,B(0,1+2k). k ? ? 1+2k ? ?- <0, k 依题意得? ? ?1+2k>0, 解得 k>0. 1 1 ?1+2k? ∵S= · OA· OB= · · |1+2k| 2 2? k ?
2 1 1 ?1+2k? 1? = · = ?4k+k+4? ? 2 k 2

1 ≥ ×(2×2+4)=4, 2 1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.

分类讨论思想在求直线方程中的应用

典例:(5 分)与点 M(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________. 思维启迪 解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等,分类设出直线的方程求解.

x y 解析 当截距不为 0 时,设所求直线方程为 + =1, a a 即 x+y-a=0, |4+3-a| ∵点 M(4,3)与所求直线的距离为 5,∴ =5, 2 ∴a=7± 5 2. ∴所求直线方程为 x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0. 当截距为 0 时,设所求直线方程为 y=kx,即 kx-y=0. 同理可得 |4k-3| 1+k
2=5,∴k=-3.∴所求直线方程为

4

4 y=- x,即 4x+3y=0. 3

综上所述,所求直线方程为 x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0 或 4x+3y=0. 答案 x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0 或 4x+3y=0 温馨提醒 在选用直线方程时常易忽视的情况有 (1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况; (2)选用截距式时,忽视截距为零的情况; (3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.

方法与技巧 1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟记斜率公式:k= y2-y1 ,该公式与 x2-x1

两点顺序无关,已知两点坐标(x1≠x2)时,根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当 x1 =x2,y1≠y2 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90° . 2.求斜率可用 k=tan α(α≠90° ), 其中 α 为倾斜角, 由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割, 牢记:“斜率变化分两段,90° 是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. 3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数,这种方法叫待 定系数法. 失误与防范 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都 存在斜率. 2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性. 3.利用一般式方程 Ax+By+C=0 求它的方向向量为(-B, A)不可记错, 但同时注意方向向量 是不唯一的.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、填空题 1.如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则 k1,k2,k3 的大小 关系为________.(用“<”连接) 答案 k1<k3<k2 解析 直线 l1 的倾斜角 α1 是钝角,故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角,且 α2>α3,所以 0<k3<k2,因此 k1<k3<k2. 2.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是________. 答案 -2 或 1 a+2 解析 由题意得 a+2= ,∴a=-2 或 a=1. a 3.已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直线绕点 P 顺时针旋转 60° 所得的直线的斜率为________. 答案 3

解析 直线 PQ 的斜率为- 3, 则直线 PQ 的倾斜角为 120° , 所求直线的倾斜角为 60° , tan 60° = 3. x y x y 4.两条直线 l1: - =1 和 l2: - =1 在同一直角坐标系中的图象可以是________.(填序号) a b b a

答案 ① x y x y 解析 化为截距式 + =1, + =1. a -b b -a 假定 l1,判断 a,b,确定 l2 的位置,知①符合.

5.设直线 l 的方程为 x+ycos θ+3=0 (θ∈R),则直线 l 的倾斜角 α 的范围是________. π 3π? 答案 ? ?4, 4 ? π 解析 当 cos θ=0 时,方程变为 x+3=0,其倾斜角为 ; 2 当 cos θ≠0 时,由直线方程可得斜率 k=- 1 . cos θ

∵cos θ∈[-1,1]且 cos θ≠0,∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 即 tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又 α∈[0,π), π π? ?π 3π? ∴α∈? ?4,2?∪?2, 4 ?. π 3π? 综上知,倾斜角的范围是? ?4, 4 ?. 6.直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点是(1,-1),则 l 的斜率是________. 2 答案 - 3 解析 设 P(m,1),则 Q(2-m,-3), ∴(2-m)+3-7=0,∴m=-2,∴P(-2,1), 1+1 2 ∴k= =- . 3 -2-1 7.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45° ,则 a 的取值范围是________________. 1 答案 (-∞,- )∪(0,+∞) 2 解析 当 a=-1 时,直线 l 的倾斜角为 90° ,符合要求; a a a 当 a≠-1 时,直线 l 的斜率为- ,只要- >1 或者- <0 即可, a+1 a+1 a+1 1 解得-1<a<- 或者 a<-1 或者 a>0. 2 1 综上可知,实数 a 的取值范围是(-∞,- )∪(0,+∞). 2 8.若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为________. 答案 16 -2 x y 解析 根据 A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为 + =1,又 C(-2,-2)在该直线上,故 a b a -2 + =1,所以-2(a+b)=ab.又 ab>0,故 a<0,b<0. b 根据基本不等式 ab=-2(a+b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍去)或 ab≥4,故 ab≥16,当且仅 当 a=b=-4 时取等号.即 ab 的最小值为 16.

二、解答题 9.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方程: 1 (1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6 4 解 (1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴上的截距分别是- -3,3k+4, k 4 ? 由已知,得(3k+4)? 6, ?-k-3?=± 2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程是 1 y= x+b,它在 x 轴上的截距是-6b, 6 由已知,得|-6b· b|=6,∴b=± 1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 10.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、 1 OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,求直 2 线 AB 的方程. 解 由题意可得 kOA=tan 45° =1,kOB=tan(180° -30° )=- 所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以 AB 的中点 C? 3 x. 3 3 , 3

?m- 3n m+n?, ? ? 2 , 2 ?

1 由点 C 在 y= x 上,且 A、P、B 三点共线得 2 m+n 1 m- 3n ? ? 2 =2· 2 , ?m-0 n-0 ?m-1=- 3n-1, ?

解得 m= 3,所以 A( 3, 3).

又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2

3+ 3 3 = , 2 3-1

即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0.

B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1.直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原来位置,那 么 l 的斜率为________. 1 答案 - 3 1 解析 结合图形可知 k=- . 3 2.直线 2x-my+1-3m=0,当 m 变动时,所有直线都通过定点________. 1 - ,-3? 答案 ? ? 2 ? 解析 ∵(2x+1)-m(y+3)=0 恒成立, ∴2x+1=0,y+3=0, 1 1 ∴x=- ,y=-3,定点为(- ,-3). 2 2 3. 经过点 P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为 ________. 答案 2x+y-6=0 x y 解析 设所求直线方程为 + =1(a>0,b>0), a b 1 4 将(1,4)代入得 + =1, a b 1 4 b 4a a+b=(a+b)( + )=5+( + )≥9, a b a b 当且仅当 b=2a,即 a=3,b=6 时,截距之和最小, x y ∴直线方程为 + =1, 3 6 即 2x+y-6=0. 4.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________. 答案 3 x y 解析 直线 AB 的方程为 + =1, 3 4 3 设 P(x,y),则 x=3- y, 4 3 3 ∴xy=3y- y2= (-y2+4y) 4 4 3 = [-(y-2)2+4]≤3. 4 3 ? 即当 P 点坐标为? ?2,2?时,xy 取最大值 3.

5.设点 A(-1,0),B(1,0),直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交,则 b 的取值范围是________. 答案 [-2,2] 解析 b 为直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距,

如图,当直线 y=-2x+b 过点 A(-1,0)和点 B(1,0)时 b 分别取得最小值和最大值. ∴b 的取值范围是[-2,2]. 6.与两坐标轴正方向围成面积为 2 平方单位的三角形,并且在两轴上截距之差为 3 的直线方 程为________. 答案 x+4y-4=0 或 4x+y-4=0 x y 解析 设直线方程为 + =1(a>0,b>0), a b 1 ? ?a=4, ?a=1, ?2ab=2, ? ? 由题意知? 解得? 或? ? ? ?b=1, ?b=4. ? ?|a-b|=3, x y ∴直线方程为 +y=1 或 x+ =1. 4 4 7.直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A、B 两点. (1)当 PA· PB 最小时,求 l 的方程; (2)当 OA+OB 最小时,求 l 的方程. 解 依题意,l 的斜率存在,且斜率为负. 设 l:y-4=k(x-1)(k<0). 4 令 y=0,可得 A(1- ,0);令 x=0,可得 B(0,4-k). k (1)PA· PB= 4 4 1 ? ?2+16· 1+k2=- (1+k2)=-4( +k)≥8.(注意 k<0) k k k

1 ∴当且仅当 =k 且 k<0 即 k=-1 时, k PA· PB 取最小值. 这时 l 的方程为 x+y-5=0. 4 4 (2)OA+OB=(1- )+(4-k)=5-(k+ )≥9. k k 4 ∴当且仅当 k= 且 k<0,即 k=-2 时,OA+OB 取最小值. k 这时 l 的方程为 2x+y-6=0.


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