当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

奥数竞赛讲座20-排列、组合、二项式定理


教学视频网-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)

竞赛讲座 20 -排列、组合、二项式定理
基础知识 1.排列组合题的求解策略 (1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除, 这是解决排列组合题的常用策略. (2)分类与分步 有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的

交集为空集,所有各 类的并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的 方法数,这是乘法原理. (3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数. (4)插空:某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好 没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间. (5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素” ,然后与其它“普通 元素”全排列,然后再“松绑” ,将这些特殊元素在这些位置上全排列. (6)隔板模型:对于将不可辨的球装入可辨的盒子中,求装的方法数,常用隔板模 型.如将 12 个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的 11 个缝隙中任意插入 3 块隔 板,把球分成 4 堆,分别装入 4 个不同的盒子中的方法数应为 C11 ,这也就是方程
3

a ? b ? c ? d ? 12 的正整数解的个数.
2.圆排列

(1)由 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } 的 n 个元素中,每次取出 r 个元素排在一个圆环上, 叫做一个圆排列(或叫环状排列) . (2)圆排列有三个特点: (i)无头无尾; (ii)按照同一方向转换后仍是同一排列; (iii)两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同,但元素之间的顺序不同,才是不 同的圆排列. (3)定理:在 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } 的 n 个元素中,每次取出 r 个不同的元素进行

Pnr 圆排列,圆排列数为 . r
3.可重排列 允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列. 在 m 个不同的元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那 么第一、第二、?、第 n 位是的选取元素的方法都是 m 种,所以从 m 个不同的元素中, 每次取出 n 个元素的可重复的排列数为 m .
教学视频网(http://www.sp910.com/)
n

教学视频网-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)

4.不尽相异元素的全排列 如果 n 个元素中,有 p1 个元素相同,又有 p 2 个元素相同,?,又有 p s 个元素相同 ( p1 ? p2 ? ? ? ps ? n ) ,这 n 个元素全部取的排列叫做不尽相异的 n 个元素的全排 列,它的排列数是 5.可重组合 (1)从 n 个元素,每次取出 p 个元素,允许所取的元素重复出现 1,2, ?, p 次的组合 叫从 n 个元素取出 p 个有重复的组合.
r (2)定理:从 n 个元素每次取出 p 个元素有重复的组合数为: H np ? Cn?( p?1) .

n! p1!? p 2 !?? ? p s !

6.二项式定理 (1)二项式定理 (a ? b) ?
n

?C
k ?0

n

k n

. a n ?k b k ( n ? N * )

(2)二项开展式共有 n ? 1 项.
r (3) Tr ?1 ? Cn a n?r b r ( 0 ? r ? n )叫做二项开展式的通项,这是开展式的第 r ? 1

项. (4)二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等.
n

(5)如果二项式的幂指数 n 是偶数,则中间一项的二项式系数 C n2 最大;如果 n 是
n ?1 n ?1

奇数,则中间两项的二项式系数 C n 2 与 C n 2 最大. (6)二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和,即
0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?

7.数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法 二项式定理,由于结构复杂,多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位,而数 学竞赛的命题者却对其情有独钟. (1)利用二项式定理判断整除问题:往往需要构造对偶式; (2)处理整除性问题:构造对偶式或利用与递推式的结合; (3)求证不等式:通过二项式展开,取展开式中的若干项进行放缩; (4)综合其他知识解决某些综合问题:有些较复杂的问题看似与二项式定理无关, 其实通过观察、分析题目的特征,联想构造合适的二项式模型,便可使问题迅速解决. 例题分析 例 1.数 1447,1005,1231 有某些共同点,即每个数都是首位为 1 的四位数,且每个四 位数中恰有两个数字相同,这样的四位数共有多少个?
教学视频网(http://www.sp910.com/)

教学视频网-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)

例 2.有多少个能被 3 整除而又含有数字 6 的五位数? 例 3.有 2 n 个人参加收发电报培训,每两人结为一对互发互收,有多少种不同的结 对方式? 例 4.将 n ? 1 个不同的小球放入 n 个不同的盒子中,要使每个盒子都不空,共有多 少种放法? 例 5.在正方体的 8 个顶点,12 条棱的中点,6 个面的中心及正方体的中心共 27 个 点中,共线的三点组的个数是多少个? 例 6.用 8 个数字 1,1,7,7,8,8,9,9 可以组成不同的四位数有多少个? 例 7. A, B, C , D, E 五种颜色给正方体的各个面涂色, 用 并使相邻面必须涂不同的颜 色,共有多少种不同的涂色方式? 例 8.某种产品有 4 只次品和 6 只正品(每只产品可区分) ,每次取一只测试,直到 4 只次品全部测出为止.求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种? 例 9.在平面上给出 5 个点,连结这些点的直线互不平行,互不重合,也互不垂直, 过每点向其余四点的连线作垂线,求这此垂线的交点最多能有多少个? 例 10。.8 位政治家举行圆桌会议,两位互为政敌的政治家不愿相邻,其入坐方法有 多少种? 例 11.某城市有 6 条南北走向的街道,5 条东西走向的街道.如果有人从城南北角 (图 A 点)走到东南角中 B 点最短的走法有多少种? 例 12.用 4 个 1 号球,3 个 2 号球,2 个 3 号球摇出一个 9 位的奖号,共有多少种可 能的号码? 例 13.将 r 个相同的小球,放入 n 个不同的盒子( r ? n ) . (1)有多少种不同的放法? (2)如果不允许空盒应有多少种不同的放法? 例 14.8 个女孩和 25 个男孩围成一圈,任意两个女孩之间至少站着两个男孩. (只 要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的) 例 15. n ? 1990 , 设 求 值. 例 16.当 n ? N 时, (3 ? 7 ) 的整数部分是奇数还是偶数?证明你的结论.
*

1 2 4 6 4 1 9 (1 ? 3C n ? 3 2 C n ? 33 C n ? ? ? 39 C n8 n 2

5 1 9 ? 39 C n0 ) 的

例 17.已知数列 a0 , a1 , a2 , a3 ,?( a0 ? 0 )满足: ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai (i ? 1,2,3,?) 求证:对于任意正整数 n ,
0 1 n n p( x) ? a0Cn (1 ? x) n ? a1Cn x(1 ? x) n?1 ? ? ? an?1Cn ?1 x n?1 (1 ? x) ? an Cn x n 是一次

多项式或零次多项式. 例 18.若 ( 5 ? 2) 2r ?1 ? m ? a ( r, m ? N ,0 ? a ? 1 ) ,求证: a(m ? a) ? 1 .
*

教学视频网(http://www.sp910.com/)

教学视频网-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)

例 19.设 x ? (15 ? 220)19 ? (15 ? 220)82 的整数部分,求 x 的个数数字. 例 20.已知 (1 ? 2 )100 ? a ? 2b ( a, b ? N )求 ab 的个位数字. 例 21.试证大于 (1 ? 3) 2n 的最小整数能被 2
n ?1

整除( n ? N ) .

例 22.求证:对任意的正整数 n ,不等式 (2n ? 1) n ? (2n) n ? (2n ? 1) n . 例 23.设 a, b ? R ? ,且

1 1 ? ? 1 .求证对于每个 n ? N ,都有 a b

(a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1

[文章来源:教学视频网 http://www.sp910.com/ 转载请保留出处。]

教学视频网(http://www.sp910.com/)


相关文章:
高中数学竞赛专题讲座之七 排列 组合 二项式定理和概率
高中数学竞赛专题讲座之七 排列 组合 二项式定理和概率_教学案例/设计_教学研究_教育专区。数学高中数学竞赛专题讲座排列组合 二项式定理和概率 排列组合二项式定理...
高中数学竞赛专题讲座之七:排列、组合、二项式定理和概...
高中数学竞赛专题讲座之七:排列组合二项式定理和概率[1]_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛专题讲座之七排列组合 一、排列组合二项式定理 1.(2005 年浙...
高中数学竞赛专题练习——排列组合
高中数学竞赛专题讲座排列组合 二项式定理和概率 一. 排列组合二项式定理 1 ...100 243 。 ...20 分 (说明:第 2,3 关的基本事件数也可以列举出来) 10...
初中竞赛很全19-27
八年级 奥数 专题 超级资料... 91页 免费 初中数学竞赛专题培训 123页 2财富...竞赛讲座 19 -排列组合二项式定理基础知识 1.排列组合题的求解策略 (1)排除...
辅导讲座数学七讲:排列组合 二项式定理和概率
辅导讲座数学七讲:排列组合 二项式定理和概率_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。高中数学竞赛专题讲座之七排列组合一、排列组合二项式定理 2 1. (2005 年浙江...
高考数学复习排列组合二项式定理
高考数学复习排列组合二项式定理_从业资格考试_资格...(讲座 39)—排列组合二项式定 理一.课标要求:...(3) ①学生可以选择项目, 而竞赛项目对学生无条件...
高三数学排列、组合和二项式定理易错题总结
高三数学一轮复习讲座十--... 8页 2财富值 排列...高三数学排列组合二项式定理易错题总结高三数学排列...则运动员 A 比运动员 F 先到终点的比赛结果共有...
高中数学排列,组合,二项式定理,概率,统计2010年及近几...
(分值) 10 20 总计(分值) 30 年高考试题: 08 年高考试题:湖北卷(理 湖北卷 理) 内容 排列,组合,二项式定理 概率与统计 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅰ(理) 内容 ...
08届高考数学排列组合二项式定理
《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座排列组合二项式定理一.课标要求: 1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例,总结出分类加法计数原理、分步乘法计数...
竞赛讲座9排列组合与概率
竞赛讲座9排列组合与概率_高三数学_数学_高中教育_...m?1 . 8.二项式定理:若 n∈N+,则(a+b) = ...? ? 20 Cn ? Cn??1 ? Cn?12 ? ?+ C n ...
更多相关标签: