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2015届高考数学(文、理)新一轮复习考点详细分类题库:考点23 等差数列及其前n项和(含详解,13高考题)]


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考点 23 等差数列及其前 n 项和
一、选择题 1. ( 2013 ·新课标Ⅰ高考理科·T 7 )设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若
S m?1 ? ?2 , S m ? 0 , S m?1

? 3 ,则 m ? (

) D. 6

A. 3

B. 4

C. 5

【解题指南】利用 an ? S n ? S n?1 ,求出 am 及 am?1 的值,从而确定等差数列 {an } 的 公差,再利用前 n 项和公式求出 m 的值 . 【解析】选 C.由已知得, am ? S m ? S m?1 ? 2 , am?1 ? S m?1 ? S m ? 3 ,因为数列 {an } 为 等差数列,所以 d ? am?1 ? am ? 1,又因为 S m ?
m(a1 ? a m ) ? 0 ,所以 m(a1 ? 2) ? 0 , 2

因为 m ? 0 ,所以 a1 ? ?2 ,又 am ? a1 ? (m ? 1)d ? 2 ,解得 m ? 5 . 2. ( 2013 · 安徽高考文科· T 7) 设 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和, S8 =4a3 , a7 = - 2, 则 a9=( A.-6 ) B.-4 C.-2 D.2

【解题指南】利用等差数列的前 n 项和公式及通项公式求出首项及公差。
8? 7 【解析】选 A。由 S8 =4a3 ? 8a d = 4 ? (a 2d ),由7 a = - 2 ? 1a 6d = - 2 ,联立解得 1 1 2

a1 = 10,d = - 2,所以 a9 = a1 +8d = 10 - 16 = - 6 。

3. ( 2013 ·辽宁高考文科·T 4)与( 2013 ·辽宁高考理科·T 4 )相同 下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ?an ? 的四个命题:
p1 : 数列 ?an ? 是递增数列; p2 : 数列 ?nan ? 是递增数列;

?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; p4 : 数列 ?an ? 3nd? 是递增数列; ?n?

其中的真命题为(
A. p1, p2 B. p3 , p4


C. p2 , p3 D. p1, p4

【解题指南】借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列 【解析】选 D. 命题
p1 : 数列 ?an ? 是递增

判断过程 由 an?1 ? an ? d ? 0, 知数列 ?an ? 是递增数列 由 (n ? 1)an?1 ? nan

结论 真命题

数列

p2 : 数 列 ?nan ? 是 递

? (n ? 1)(a1 ? nd ) ? n[a1 ? (n ? 1)d ]

增数列

? a1 ? 2nd ,仅由 d ? 0 是无法判断 a1 ? 2nd 的正负的,因而不能判定 (n ? 1)an?1 , nan 的大小关系

假命题

a ?a ? ?a ? p3 : 数 列 ? n ? 是 递 显然,当 an ? n 时, n ? 1, 数列 ? n ? 是常数数列, n ?n? ?n?

假命题

增数列

不是递增数列, 数 列 的 第 n ?1 项 减 去 数 列 的 第 n 项

p4 : 数列 ?an ? 3nd? 是

[an ?1 ? 3(n ? 1)d ] ? (an ? 3nd ) ? (an ?1 ? an ) ? [3(n ? 1)d ? 3nd ]
? d ? 3d ? 4d ? 0. 所以 an?1 ? 3(n ? 1)d ? an ? 3nd

递增数列

真命题

即数列 ?an ? 3nd? 是递增数列 二、填空题 4. ( 2013 ·重庆高考文科·T 12 )若 2、 a 、 b 、 c 、 9 成等差数列,则
c?a ?



【解题指南】可根据等差数列的性质直接求解 . 【解析】因为 2、a 、b 、c 、9 成等差数列,所以公差 d ? 【答案】
7 2

9?2 7 7 ? , c ? a ? 2d ? . 4 4 2

5.( 2013 ·上海高考文科· T2 )在等差数列 ?an ? 中,若 a1 + a2+ a3+ a 4=30, 则 a2+ a3= .

【解析】 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2(a2 ? a3 ) ? 30 ? a2 ? a3 ? 15 【答案】 15 6. ( 2013 ·广 东 高 考 理 科 ·T 12 ) 在 等 差 数 列 {a n} 中 , 已 知 a3+a 8=10, 则 3a5+a7= 【解题指南】本题考查等差数列的基本运算 ,可利用通项公式和整体代换的 思想求解 . 【解析】设公差为 d,则 a3+a8=2a1 +9d=10,3a5+a7=4a 1+18d=2(2a 1+9d)=20. 【答案】 20 7.(2013 ·新课标全国Ⅱ高考理科·T16) 等差数列 {a n}的前 n 项和为 Sn, 已知 S10=0,S15=25,则 n Sn 的最小值为 .

【解题指南】求得 Sn 的表达式 ,然后表示出 nSn,将其看作关于 n 的函数 , 借 助导数求得最小值 .
10 ? 9d ? 10a1 ? ?0 ? 2 ? 2 【解析】由题意知 : ? 解得 d= , 3 ?15a ? 15 ? 14d ? 25 1 ? ? 2
n ? n ? 1? 2 n 2 ? 10n ? ? , a1=-3,所以 Sn ? ?3n ? 2 3 3

即 nSn=

n3 ? 10n 2 n3 ? 10n 2 , , 令 f(n)= ,, 3 3

则有 f ? ? n ? ? n 2 ?

20n 20 20 , 令 f'(n)>0, 得 n ? ,令 f'(n)<0, 得 0 ? n ? , 又因为 n 为正 3 3 3

整数 ,所以当 n=7 时 , f ? n ? ? 【答案】 -49

n3 ? 10n 2 取得最小值 ,即 nSn 的最小值为 -49. 3

8. ( 2013 ·安徽高考理科·T 14 ))如图,互不相同的点 A1,A2,…,An ,… 和 B1,B2,…,Bn,… 分 别 在 角 O 的 两 条 边 上 , 所 有 An Bn 相 互 平 行 , 且 所 有 梯 形
AnB n Bn+1An+1 的 面 积 均 相 等 。 设 OAn = an . 若 a 1 =1 , a 2 =2 则 数 列 {an } 的 通 项 公 式 是

_______ 。
O A1 A2 A3 B1 B2 B3

【解题指南】利用三角形的面积比等于相似比的平方得到等式关系化简求 解. 【解析】

由题意可得 :

S0 a = ( n- 1 )2 S0 + S an

① ②
an- 12 + an+12 ,所以数列 {an 2 } 是公差为

S0 + S a S +2S a = ( n )2 即 0 = ( n +1 )2 S0 + 2 S an+1 S0 + S an

①②两式相加得 2 =

an- 12 an+12 + 2 ? 2an 2 an 2 an

a22 -a12 = 3 的等差数列 . 故 an2 = a12 +( 3 n-1)=3n-2 ,即 an = 3n - 2

【答案】 an = 3n - 2 三、解答题 9. ( 2013 ·大纲版全国卷高考文科·T 17)等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , ( I)求 ?an ? 的通项公式; ( II)设 bn ?
1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

【解题指南】( I )根据条件中给出的特殊项求出等差数列的首项和公差, 再根据等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d 求出 ?an ? 的通项公式 . ( II)将( I)中 的通项公式代入到 bn ?
1 nan

中 ,采用裂项相消法求和 .

【解析】( I)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 an ? a1 ? (n ? 1)d . 因为 ?
?a 7 ? 4 ?a ? 6d ? 4 1 ,所以 ? 1 ,解得 a1 ? 1, d ? . 2 ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d ) ?a19 ? 2a9
n ?1 . 2

所以 {an } 的通项公式为 a n ? ( II)因为 bn ?
1 2

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) nan n(n ? 1) n n ?1
1 2 1 3 1 n
2n 1 )? . n ?1 n ?1

所以 S n ? 2[1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

10.( 2013 ·大纲版全国卷高考理科·T 17)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为
Sn . 已知S3 =a22 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,求 ?an ? 的 通项式 .

【解析】设 {an } 的公差 为 d ,由 S3 = a22 ,得 3a2 = a22 ,故 a2 ? 0 或 a2 ? 3 . 由 S1 , S2 , S4 成等差数列得 S22 = S1S4 . 又 S1 ? a2 ? d , S2 ? 2a2 ? d , S4 ? 4a2 ? 2d . 故 (2a2 ? d ) 2 ? (a2 ? d ) (4a2 ? 2d ) . 若 a2 ? 0 ,则 d 2 ? ?2d 2 ,解得 d ? 0 ,此时 Sn ? 0 ,不符合题意 .

若 a2 ? 3 ,则 (6 - d )2 = (3 - d )(12 + 2d ) ,解得 d ? 0 或 d ? 2 . 因此 {an } 得通项公式为 an ? 3 或 an ? 2n ? 1 . 11.( 2013 ·安徽高考文科·T 19 ) 设数列 {an }满足 a1 = 2, a2 + a4 = 8,且对任意 n∈ N * ,函数 f ( x) = (an - an+1 + an+2 ) x + an+1 cos x - an+2 sin x ,满足 f ' ( ) = 0 。 ( 1)求数列 {an }的通项公式;
1 ) 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n 。 2 an p 【解题指南】( 1 )由 f ?( ) = 0 证得 {an } 是等差数列;( 2)求出 {bn } 的通项 2
p 2

( 2)若 bn = 2(an +

公式 ,利用等差、等比数列的求和公式计算。 【解析】( 1)由题设可得, f ? ( x) = an - an+1 + an+2 - an+1 sin x - an+2 cos x ,对任意 n ∈
p N* , f ? ( ) = an - an +1 + an +2 - an +1 =0 ,即 an +1 - an = an+ 2 - an+ 1 ,故{ an}为等差数列 . 由 2

a1 = 2, a2 + a4 = 8 解得 {an } 的公差 d=1 ,所以 an =2+1·( n-1 )=n+1.

( 2)由 bn = 2(an +

1 1 1 )=2 (n+1+ n +1 )=2n+ n + 2知, an 2 2 2 1 1 n [1 - ( ) ] n(n +1) 2 2 = n 2 + 3n +1 - 1 。 Sn = b1 + b2 +... + bn = 2n + 2 + 1 2 2n 12

12. ( 2013 ·湖北高考文科·T19 )已知 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和,S4 ,S2 ,
S 3 成等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ?18 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2013 ?若存在,求出符合条件的所有 n 的 集合;若不存在,说明理由. 【解题指南】 (Ⅰ)由条件 S4 ,S2 ,S 3 成等差数列和 a2 ? a3 ? a4 ? ?18 列出方程组, 解 出首项和公比,运用等比数列通项公式得出 {an } 的通项公式。(Ⅱ)假设 存在正整数 n ,使得 Sn ? 2013 ,解不等式,求 n 的解集。

【解析】 Ⅰ ? ? 设数列?an ?的公比为q, 则a1 ? 0, q ? 0.由题意得
2 3 2 ? ? S 2 ? S 4 ? S3 ? S 2 , ?a ? 3, ??a1q ? a1q ? a1q , 即? 解得 ? 1 ? 2 ?q ? ?2. ?a2 ? a3 ? a4 ? ?18, ? ?a1q ?1 ? q ? q ? ? ?18,

故数列?an ?的通项公式为an ? 3 ? ?2 ?
n 3 ?1 ? ? ?2 ? ? ? ? ? 1 ? ?2 n . ?Ⅱ?由?Ⅰ? 有Sn ? ? ? 1 ? ? ?2 ?

n ?1

.

若存在n, 使得S n ? 2013,则1- ? ?2 ? ? 2013, 即? ?2 ? ? ?2012.
n n

当n为偶数时, ? ?2 ? ? 0, 上式不成立;
n n

当n为奇数时, ? ?2 ? ? ?2n ? ?2012,即2n ? 2012, 则n ? 11. 综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为

?n n ? 2k ? 1, k ? N , k ? 5?.
13. ( 2013 ·新课标全国Ⅱ高考文科·T 17)已知等差数列 {an } 的公差不为 零, a1 ? 25 ,且 a1, a11, a 13成等比数列。 ( 1)求 {an } 的通项公式; ( 2)求 a1 ? a4 +a7 ? ??? ? a3n?2 ; 【解题指南】(1) 设出公差 d, 利用 a1, a11, a 13成等比数列,求得 d ,可得通项公 式 ( 2)发现 ?a3n?2 ? 构成新的等差数列,确定新数列的公差与项数,然后利用公 式求和 . 【解析】 (1)设 ?an ? 的公差为 d .由题意, a112 ? a1a13,
2 即 ? a1 ? 10d ? ? a1 ? a1 ? 12d ? .

于是 d ? 2a1 ? 25d? ? 0. 又 a1 ? 25, 所以 d ? 0 (舍去), d ? ?2. 故 an ? ?2n ? 27. ( 2)令 Sn ? a1 ? a4 ? a 7 ? ? a 3n? 2, 由( 1)知 a3n?2 ? ?6n ? 31, 故 ?a3n?2 ? 是首项为 25,公差为 -6 的等差数列 . 从而

Sn ?

n n ? a1 ? a3n?2 ? ? ? ?6n ? 56 ? ? ?3n2 ? 28n. 2 2

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