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2012年浙江省高中数学竞赛试题及答案


1
2012 年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题(本大题共有 10 小题,每小题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号 内,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1.已知 i 为虚数单位,则复数 (A)i (B) ?i
2

10.设

f ( x) ? x 2 ? bx ? c

,若方程 f ( x) ? x 无实根,则 f ( f ( x)) ? x 方程(



(A)有四个相异实根(B)有两个相异实根(C)有一个实根(D)无实数根 二、填空题(本大题共有 7 个小题,将正确的答案填入 题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分)

1 ? 2i ?( i?2



(C) ?

4 3 ? i 5 5

(D) ? )

4 3 ? i 5 5

2.下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的函数为( (A)

y ? x ? x (B) y ? x ? 2sin x (C) y ? x3 ? x (D) y ? tan x ? ? ? ? ? 5? 3.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,则命题 p :| a ? b |? 1 ,是命题 q : ? ? [ , ) 的( 2 6
4.已知集合 P 值范围是( )



y ? ax ? 4 与 y ? 8x ? b 关于直线 y ? x 对称,则 a ? _____, b ? _______. 1? | cos x | 12.已知 ? sin x ,则 x ? ________ . 1? | cos x | 13.已知 x ? R ,则
11.设直线

x( x ? 1) ? arcsin x 2 ? x ? 1 的值为
__________. 14.已知实数 a, b, c, c 满足 (a ? c) 的最小值为__________. 15.设 {an } 为等比数列,且每项都大于 1,则
2

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充分且必要条件(D)非充分非必要条件

? {x |1 ? x ? 2}, M ? {x | 2 ? a ? x ? 1 ? a} ,若 P ? M ? P ,则实数 a 的的取

? (b ? d )2 ,则

(A) (??,1] (B) [1, ??) (C) [?1,1] (D) [?1, ??) 5.函数

3 ? ? sin( x ? ) ? cos( ? x) 的最大值为( 2 2 6 13 13 13 (A) (B) (C) (D) 13 4 2 4 y?



6.如图,四棱锥 S-ABCD 的地面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下了结 论中不正确的是( ) (A)AB⊥SA (B)BC∥平面 SAD (C)BC 与 SA 所成的角等于 AD 与 SC 所成单调角 (D)SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 7.程序框图如图所示,若

1 的值为_______. i ?1 log ai lg ai ?1 1 1 ( x ? )4 ? ( x 4 ? 4 ) x x 的最小值为__________. 16.设 x ? 0 ,则 f ( x) ? 1 3 1 3 (x ? ) ? (x ? 3 ) x x 17.如图是一个 3 ? 3 残缺的幻方,此幻方每一行及每一条对角线上的三个数之和 lg a1 lg a2012 ?
有相等的值,则 x 的值为_____

2011

f ( x) ? x , g ( x) ? log 2 x ,输入 x 的值为 0.25,则输出结果为(
2

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) ) 18.已知实数 x1 , x2 , x3 ,...x10 满足
2 2

(A)0.24(B)-2(C)2(D)-0.25 ? ? 8.设 i, j 分别为平面直角坐标系 x,y 轴上的单位向量,且 ? ? ? ? ? ? | a ? i | ? | a ? 2 j |? 5 ,则 | a ? 2i | 取值范围为( (A) [2

?| xi ? 1|? 4, ?| xi ? 2 |? 6 ,求 x1, x2 , x3 ,...x10 的平均值 x .
i ?1 i ?1

10

10



19.设 P 为椭圆

6 5 6 5 , 2 2] (C) [ 5,4] (D) [ ,3] 5 5 x2 y 2 9 135 ) ,则的平分线 ? ? 1 的左、右焦点,点 A 的坐标为 ( , 9.已知 F1 , F2 分别为双曲线 C : 2 2 9 27
2,3]
(B) [ 与 x 轴交点 M 的坐标为( ) (C) (4,0) (D) (?4,0) (A) (2,0) (B) (?2,0)

x y ? ? 1 长轴上一个动点,过 P 点斜率为 k 的直线交椭圆与 A,B 两点.若 25 16 | PA |2 ? | PB |2 的值仅依赖于 k 而与 P 无关,求 k 的值.
p, q ? Z ? ,且 q ? p 2 .试证对 n ? Z ? ,存在 N ? Z ? ,使
p 2 ? q )n ? N ? N 2 ? q n
, 且(p ?

20.设

(p ?

p 2 ? q )n ? N ? N 2 ? q n

.

2
2012 年浙江省高中数学竞赛试题解答
1~5 11. BCBBC 6~10 C B D A D 12. 16.

1 , ? 32 8

k? 或 2k? ?
17. 4016

?
2

?k ? Z ?

13.

? 2

14.

3-2 2

15. 2011

7 3

3


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