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2013-2014上学期镇江高一数学期末试卷


高 一 数 学 试 卷
2014.1

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程, 请把答案直接填在答题卡相应位置上 . ........ 1. 设集合A ? ?lg1,1? , B ? ??1,0? , 则A B ? 2.求值: 2lg 4 ? lg ?
5 8



. .
1? ?

3.函数 f ? x ? ? tan x ? 1 的定义域是
? ?

4.若幂函数 y ? x? 的图象经过点 ? 2, ? ,则 ? = 2 5.已知半径是 6,圆心角是 60 的扇形的弧长是 6.函数 f ? x ? ? x2 ? cos x 的奇偶性是 奇非偶” )

.



.(填“奇函数” 、 “偶函数”或“非

7. 设a ? log2 3, b ? cos 2, c ? 0.32 ,把 a, b, c 从小到大用“ ? ”连接排列是
π 6



8.函数 y ? cos( x ? ) 在 [0, 2 π] 上的单调递减区间是
?1 ? x , x ? 0, 9.设 f ? x ? ? ? 则不等式 f ? x ? ? 2 的解集为 ?1 , x ? 0, ? ?x

. . .

10.函数 y ? log2 ? x2 ? 2x ? 3? 的递增区间是 11.用区间表示 函数 f ? x ? ?
sin x 的值域为 sin x ? 2



12.若关于 x 的方程 x2 ? 2 ?1 ? m? x ? m2 ? 0 有两个不等实根 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 的取值范 围用区间表示为 . .

13.若 ? ? R,不等式 2m cos ? ? 1 ? m ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是

14.函数 f ? x ? ? ? x ? 1? sin πx ? 1 在 ? ?3,1? 内所有零点的和是



1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答 ....... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) 设全集 U ? R, 集合 A ? x y ? 1 ? log 2 x , B ? x ?3 x ? 3 ? ? ?3 x ? 9 ? ? 0 . (1)求集合 A, B ; (2)求 A

?

?

?

?

?? B? .
U

? 16.(14 分)已知 ? ? (0, π) , sin( π ? ? ) ? sin ? ? ?? ? ? . ?2 ? 3 3 3 求: (1) sin ? ? cos ? ; (2) sin ? ? cos ? . π 1

π 17.(14 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ) (? ? 0) 的图象上两个相邻最高点间距 6 离是 π .

(1)求函数 f ( x) 的表达式;并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象;
π? (2) 当x ? ? ?0, ? 时,求函数f ? x ? 的值域. ? 4?

y

O

x

(第 17 题图)

2

18.(16 分)某农科所计划在院内围建一块面积为 200 m2 的矩形基地搞新品种蔬 菜种植试验,根据规划要求基地一面靠围墙,其余用栅栏围成,设矩形基地的长 为 x m,栅栏长是 y m. (1)写出 y关于x的函数关系式; (2) 由于实际需要基地的长不少于 25m,且不超过 40m,问如何设计所用栅栏 长最小?最小值是多少?

(第 18 题图)

ax ?1 ? a ? 0且a ? 1? 的图象关于原点对称. 10x ? 1 (1)求实数 a 的值,并判断 f ? x ? 在定义域内的单调性;

19.(16 分)设函数 f ? x ? ?

?? 4 2 ? 4 (2) 当? ?? 有f? ? cos ? ? 4m tan ? 1 ? sin ? ? ? f ?2m ? 2 ? sin ? ? 0 恒成立, ? 0, ? 时,
? 2?

?

?

?

?

求实数 m 的取值范围.

3

20.(16 分)设函数 f ? x ? ? ln x 的定义域为 (0,e) (e为自然对数的底数) . (1)过原点 O 的直线 l 与函数 y ? f ( x ) 的图象从左到右依次交于点 A, B 两点,如 果 A 为 OB 中点,求 A 点坐标; (2) 若关于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? (k ? 2) f ( x) ? 2k ? 1 ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围.

4

高一数学期末检测答案及评分标准
一、填空题(每题 5 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题 15.解: (1)由已知可得: 1 ? log 2 x ? 0, ??2 分
B ? x ? 3x ? 3 ? ? ? 3x ? 9 ? ? 0

答案

试题来源 必修 1P12 例 1 改编 必修 1P806(2) 必修 4P332 改编 必修 1P893 改编 必修 4P108 改编 必修 4P5012(1) 必修 1P1107 必修 4 P5114 改编 必修 1P543 改编 必修 1P853 改编 衔接教材 P85 例 2 改编 衔接教材 P71 例 2 改编 衔接教材 P49 例 2 原创 改编

考查知识与方法 集合的运算 对数的运算 正切函数的定义域 幂函数的解析式 扇形弧长公式 函数奇偶性的判断 函数性质 三角函数图象平移 解不等式 单调区间的求法 一次分式函数求值域, 判别式与韦达定理 一次函数的保号性 对称中心,零点概念,数 形结合

要求 A A A A A A B B B B B B C C

??1,0,1?
1
? π ? ? x x ? kπ+ , k ? Z ? 2 ? ?

?2 2π
偶函数 b?c?a
? ? 7? ? ?6 , 6 ? ? ?

? ??, ?1?

? 1? ? 0, ? ? 2?

? 3, ?? ?
? 1? ? ?1, 3 ? ? ?

?1, ?? ?
1 ? ? m ?1 3

?4

?0 ? x ? 2 , ? A ? ? 0 ? , ?? 2 . 4分

?

?

, ? 令3x ? t ,??5 分

?3 ? t ? 9

从而 3 ? 3x ? 9 ??6 分

?1 ? x ? 2, ? B ? ?1, 2 ? ??8 分

(2) B ? ?1,2? , ??U B ? ? ??,1?

?2, ???. ??11 分

? A ? U B ? ?x 0 ? x ? 1, 或x ? 2? .??14 分
【说明】本题考查集合的运算、对数函数的定义域,一元二次不等式、简单指数(对数) 不等式解法;考查换元法和转化化归思想.

5

1 ?? ? 1 16. 解: (1) sin(? ? ? ) ? sin ? ? ? ? ? , ? sin ? ? cos? ? ,??2 分 3 ?2 ? 3

上式两边平方可得: sin 2 ? ? cos2 ? ? 2sin ? ? cos? ?

1 ,??3 分 9

4 ? sin ? cos? ? ? .??6 分 9
(2) ? ? ? 0, π ? ,

sin ? ? 0,

4 sin ? cos? ? ? ? 0 ,? cos ? ? 0 ,??8 分 9

? sin ? ? cos ? ? 0 ,??9 分

?sin ? ? cos? ?

2

? 1 ? 2sin ? cos? ?

17 ,??10 分 9

? sin ? ? cos ? ?

17 .??11 分 3

sin3 ? ? cos3 ? ? ?sin ? ? cos? ? (sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos? ) .??13 分
? sin 3 ? ? cos3 ? ? 5 17 .??14 分 27

【说明】本题来源必修四课本 P2320 改编,考查诱导公式,同角基本关系,立方差公式;考 查代数变形能力. 17. 解: (1)由已知可得: T ? π ?



?

,

?? ? 2 .??1 分
2

y

?? ? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? .??2 分 6? ?
2x ? π 6
0

π 2

π
5π 12
0

3π 2



? ? 12
?2

O 2? 5? 12 12

8? 12

11? 12

x

x

?

π 12
0

2π 12

8π 12

11π 12
0

y


2

?2

? ??9 分

?

5

(说明: ①列表 3 分(每一行得 1 分) ;②作图 4 分:坐标系轴名称、轴上单位确定较合理 1 分;正确标 出五个关键点坐标 1 分;曲线圆滑美观 1 分;图象在一个周期内 1 分.)

? 2? ? ? 2? (2)由图象可知函数在 ? 0, ? 上单调递增; ? 12 ? ? ? 12 ? 2? ? ? f ? x ?max ? f ? f ? 0? ? 1 ? ? 2 .?11 分 ? 12 ?

,

3? ? 上单调递减. ??10 分 12 ? ? 3? , f? ?x ? m i n 0 ?f ? ? 113 分 .?

?? ? ; f? ? ? ?4?

? 函数的值域是 ?1, 2? .??14 分
另解:

? ? ?? ? ? 2? ? ? ? 2? ? x ? ?0, ? , 2 x ? ? t ? ? , ? , ?10 分? f ? x ? ? g ? t ? ? 2sin t , t ? ? , ? . ?11 分 6 ? 4? ?6 3 ? ?6 3 ?
f

?? ? 由 y ? 2sin t 图象可知: f ? x ?max ? g ? ? ? 2 .?12 分 ?2?

? x?m i n?

?? ? g ? ? ? 1 .??13 分 ?6?

? 函数的值域是 ?1, 2? .??14 分

6

【说明】本题由必修四课本 P37 例 1 改编,考查三角函数的周期性和单调性;考查五点法作 图法等作图技能;考查运用函数图象分析解决问题能力. 18. 解: (1)可得矩形基地的宽为

200 ,??2 分 x
定义域是 ? 0, ?? ? ??7 分

? y ? f ( x) ? x ?

400 .??6 分 x

(2)设 25 ? x1 ? x2 ? 40 .??8 分
f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ( x2 ? ? x x ? 400 ? 400 400 ) ? ( x1 ? ) ? ? x2 ? x1 ? ? 1 2 ? .??12 分 x2 x1 ? x1 x2 ?

25 ? x1 ? x2 ? 40 , ? x2 ? x1 ? 0, ? 625 ? x1 x2 从而 x1 x2 ? 400 ? 0 .??13 分

? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 0,

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ,? 该函数在 ? 25, 40? 内递增. ??14 分

? f ? x ?min ? f ? 25? ? 41 .??15 分

答:当基地长是 25 m 时,所用栅栏长最小是 41 m. ??16 分 【说明】本题由《必修一》P5512,14 题改编而成,考查函数的单调性判断证明、应用;考查 阅读理解能力、数学建模能力、运算能力. ax ?1 19.解: (1)函数 f ? x ? ? x 是定义在 R 上的奇函数,? f ? ? x ? ? ? f ? x ? 恒成立 . 10 ? 1

?

a? x ? 1 1 ? a x ? , ??1 分 10? x ? 1 10x ? 1

(a? x ? 1 ) 10x 1 ? a x .??2 分 ? ? x 10x ? 1 10 ? 1

??1 ? a x ??10x ? a x ? ? 0 对任意 x ? R 恒成立.??3 分
1 ? a x 不恒等于 0,?10 x ? a x ? 0 恒成立, ? a ? 10 ??4 分

另解:函数 f ? x ? ?

ax ?1 是定义在 R 上的奇函数. ? f ?1? ? f ? ?1? ? 0 ,??1 分 10x ? 1

得? a 2 ? 11a ? 10 ? 0 ,? a ? 10, a ? 1 (舍) ,??2 分 当 a ? 10 时, f ? ? x ? ? 函数. ?4 分 (2)
10? x ? 1 (10? x ? 1)10 x 1 ? 10? x ? ? ? ? f ( x) ,? 当 a ? 10 时, f ? x ? 是奇 10? x ? 1 (10? x ? 1)10 x 10? x ? 1

f ? x? ?

10x ? 1 2 ax ?1 . ? 5 分 函数 是增函数. ??6 分 ? =1 ? f x ? ? ? 10x ? 1 10x ? 1 10x ? 1

f cos4 ? ? 4m tan ? 1 ? sin 2 ? ? f ? ?2m ? 2 ? sin 4 ? ? ? 0 ,

?

?

? f cos4 ? ? 4m tan ? 1 ? sin 2 ? ? ? f ? ?2m ? 2 ? sin 4 ? ? ,
4 2 4

? ? f ? cos ? ? 4m tan ?

? 1 ? sin ? ? ? f ? 2m+2+sin ? ? .
7

f ( x) 是奇函数,

f ( x) 是增函数 ?cos4 ? ? 4m tan ? 1 ? sin 2 ? ? 2m+2+sin 4 ? . ??7 分

化简得: 2sin 2 ? ? 4msin ? ? 2 m ?1 ? 0 , ?8 分
2 2 2

? ?? ? ? ? 0, ? ,设 sin ? ? t ? ? 0,1?, ? 2?

则 g (t ) ? 2t ? 4mt ? 2m ? 1 ? 2(t ? m) ? 2m ? 2m ? 1 ? 0 对 t ? ? 0,1? 恒成立. ??9 分 ① 当对称轴 t ? m ? 0 时, g (t ) 在 ? 0,1? 为增函数, ??10 分

1 g ( x) ? g (0) ? 2m ? 1 ? 0 ,∴ ? ? m ? 0 . ??11 分 2 ② 当对称轴 t ? m ? [0,1] 时, g ( x)min ? g ? m? ? ?2m2 ? 2m ? 1 ? 0, ??12 分
1? 3 1? 3 ?m? , ? 0 ? m ? 1 .??13 分 2 2 ③对称轴 t ? m ? 1 时, g (t ) 在 ? 0,1? 为增函数, ??14 分 ?

3 1 3 综上可得 ? ? m ? .??16 分 g ( x) ? g ?1? ? 3 ? 2m ? 0, ?1 ? m ? ??15 分 2 2 2 【说明】本题根据《必修一》P7114 题改编.考查函数奇偶性、单调性判断方法;考查函数奇 偶性和单调性应用;考查二次函数恒成立问题、同角三角函数关系变形,三角函数值域; 考查整体思想、分类讨论思想.
20.
图1
O A B
1

图2

解: (1)作出函数 y ? f ( x) 的草图(如图 1) ,??2 分(只要能作出一个草图得 2 分) 设点 A 横坐标是 a ? 0 ? a ? 1? ,则点 B 横坐标是 2a ?1 ? 2a ? , ??4 分
? 2 ln a ? ln(2a) , ??2ln a ? ln(2a) ,??5 分
? a ?2 ? 2a ,
a =2 3 , 满足 0 ? a ? 1 , 1 ? 2 a ?6 分
1

? -1 1 ? ? A ? 2 3 , ln 2 ? .??7 分 3 ? ?

(2)如图 2,设 f ? x ? ? t ? (0,1) ,??8 分

原方程有三个不等的实根等价于方程:

g (t ) ? t 2 ? (k ? 2)t ? 2k ? 1 ? 0 (☆)??9 分 +?? ,或 t1 ? 0, t2 ? (0,1) .??10 分 有两个不等的实数根 t1 ? ? 0,1? 且 t2 ??1,
? g (0) ? 2k ? 1 ? 0, ① 当 t1 ? ? 0,1?,t2 ? (1, ??) 时, ? ??12 分 ? g (1) ? 3k ? 2 ? 0,

1 2 ? ? k ? .??13 分 2 3

当 t2 ? 1 ,代入方程(☆) ,解得 k ?
? g (0) ? 2k ? 1 ? 0, (如果直接写 ? ? g (1) ? 3k ? 2 ? 0,

2 1 1 2 , t1 ? 满足,? ? k ? .??14 分 2 3 3 3 1 2 ? k ? ,不验证 t2 ? 1 扣 1 分) 2 3

8

② 当 t1 ? 0, t2 ? (0,1) 时,把 t1 ? 0 代入方程(☆) ,解得 k ? 综上,

1 3 , t1 ? 不满足.?15 分 2 2

1 2 ? k ? .??16 分 2 3 【说明】本题根据《必修一》第 111 页 14 题、18 题,113 页 14 题改编而成,考查函数和图 象的概念、图象函数变换、简单的对数方程;考查二次方程的零点分布问题;考查化归思 想、分类讨论思想;考查运用函数图象分析问题解决问题的能力.

9


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