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第十章第2节圆与方程


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1.圆心为点C(8,-3),且过点A(5,1)的圆 的标准方程为( D ) A.(x+8)2+(y-3)2=5
C.(x+8)2+(y-3)2=25

B.(x-8)2+(y+3)2=5
D.(x-8)2+(y+3)2=25

半径 r ? CA ? (8 ? 5)2 ? ( ?3 ? 1)2 ? 5,
所以所求的圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2

=25.选D.
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2.方程y= ? 4 ? x 2 对应的曲线是( A )

原曲线方程可化为x2+y2=4 (y≤0),表示下半圆,选A.

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3.半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相 切,则圆的方程为( B ) A.x2+y2+10y=0
B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0

C.x2+y2-10y=0
D.x2+y2+10x=0或x2+y2-10x=0

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设圆心为(0,b),由题意, 则圆的方程为x2+(y-b)2=b2.

因为半径为5.所以 b =5,b=±5.
故圆的方程为x2+y2+10y=0或x2+y210y=0.选B. 易错点:圆心的位置可能在y轴上半 轴或下半轴.

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4.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与 圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程 (x-2)2+(y+2)2=1 . 为 设圆C2的圆心为(a,b),则依

题意,


a ?1 b?1 ? ?1? 0 a=2 2 2 ,解得: b?1 b=-2. ? ?1 a?1

对称圆的半径不变,为1,故填(x-2)2+ (y+2)2=1.
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5.若圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0关于直线 x-y+1=0对称,则实数a= 3 .
依题意直线x-y+1=0,过已知圆的
2 a2 ? 1 a ?1 圆心 (? , ? a 所以 ? ), ? a ? 1 ? 0, 2 2

解得a=3或a=-1,当a=-1时,方程x2+y2+ (a2-1)x+2ay-a=0不能表示圆,所以只能取 a=3.填3.
易错点:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0仅在 D2+E2-4F>0时才表示圆,因此需检验不等式 是否成立.

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1.圆的定义:平面内到一个定点的距离 等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆,定 点叫做圆心,定长叫做圆的半径. 2.圆的方程

(1)标准方程:以(a,b)为圆心,r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+ (y-b)2=r2.
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(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0.
当D2+E2-4F>0时,表示圆的一般方程
1 半径 ? r 2

,其圆心的坐标为 D , ? E), (? 2 2 D 2 ? E 2 ? 4F ;
E2);

当D2+E2-4F=0时,只表示一个点(-D2,-

当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形.
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3.点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x-a) 2+(y-b) 2=r2 , 圆心C(a,b),半径r, 若点M(x0,y0 )在圆C上,则(x0-a) 2+ (y0-b)2=r2; 若点M(x0,y0 )在圆C外,则(x0-a) 2+ (y0-b)2>r2; 若点M(x0,y0 )在圆C内,则(x0-a) 2+ (y0-b)2<r2.
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4.对称问题 圆(x-a)2+(y-b)2=r2关于直线x=0的对 称圆的方程为(x+a)2+(y-b)2=r2;关于直线 y=0的对称圆的方程为(x-a) 2+(y+b) 2=r2 ; 关于直线y=x的对称圆的方程为(x-b)2+(ya ) 2=r2 ; 关 于 直 线 y=-x 的 对 称 圆 的 方 程 为 (x+b)2+(y+a)2=r2. 5.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分这条弦所对的两段弧.若AB为圆O的 弦,圆心O到弦AB的距离为d,圆半径为r,则
AB ? 2 r 2 ? d 2 .
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重点突破:圆的方程
例1 (Ⅰ)求过两点A(1,4),B(3,2),且

圆心在直线y=0上的圆的标准方程,并判断点P (2,4)与圆的位置关系. (Ⅱ)求过A(4,1),B(6,-3)C(-3,0) 三点的圆的方程,并求这个圆半径长和圆心C 坐标.
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(Ⅰ)欲求圆的标准方程,只 需求出圆心坐标和圆的半径,而要判断点P 与圆的位置关系,只需看点P与圆心的距离 和圆的半径的大小关系.(Ⅱ)设出圆的方 程,解方程组即可.

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(Ⅰ)解法1:(待定系数法)设 圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 因为圆心在y=0上,故b=0,

所以圆的方程为(x-a)2+y2=r2
又因为该圆过A(1,4),B(3,2)两点,则

(1-a)2+16=r2
(3-a)2+4=r2

,解得a=-1,r2=20.

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解法2:(直接求出圆心坐标和半径)

因为圆过A(1,4),B(3,2)两点,
所以圆心必在线段AB的中垂线l上,又因
4?2 为kAB= =-1,故l的斜率为1, 1? 3

又AB的中点为(2,3),故线段AB的中

垂线l的方程为x-y+1=0.

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又知圆心在直线y=0上,故圆心为C(-1,0), 所以半径 r ? AC ? 圆的方程为(x+1)2+y2=20. 又点P(2,4)到圆心(-1,0)的距离为
d ? PC ? 2 ? 1? ? 42 ? 25 ? r, ?
2

? 1 ? 1?

2

? 4 ? 20 故所求
2

所以点P在圆外.
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(Ⅱ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

因为三点A(4,1),B(6,-3),C(-3,0)都 在圆上, 所以它们的坐标都是方程的解,将它们 的坐标代入方程得,
42+12+4D+E+F=0 (-3)2+02-3D+0· E+F=0 D=-2 F=-15.
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62+(-3)2+6D-3E+F=0 ,解得 E=6

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所以圆的方程为x2+y2-2x+6y-15=0,
即(x-1)2+(y+3)2=25,

所以圆心坐标为(1,-3),半径为r=5.
“待定系数法”是求圆的方程的 常用方法.一般的,在选用圆的方程形式时, 若问题涉及圆心和半径,则选用标准方程比 较简便,否则选用一般方程方便些.
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变式练习1

根据下列条件求圆的方程.

(Ⅰ)圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且 在y轴上截得的线段长为4 3 . (Ⅱ)已知圆的半径为 10 ,圆心在直线 y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为4 2 .

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(Ⅰ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. ① 4D-2E+F=-20 将P,Q点的坐标代入①式得 D-3E-F=10, 令x=0,由①得y2+Ey+F=0. ② 由已知 y1 ? y2 ? 4 3,其中y1,y2是方程②的 两根, (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48, 联立方程解得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=8,F=4, 故所求的圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y210x-8y+4=0.
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(Ⅱ)解法1:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10, 由圆心在直线y=2x上,得b=2a, ① 由圆在直线x-y=0截得的弦长为4 , 将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10. 2 整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0. 由弦长公式得 化简得a-b=±2. (a ? b)2 ? 2(a 2 ? b2 ? 10) ? 4 2, ② 2 解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4, 所以所求圆方程为(x-2)2+(y-4)2=10或 (x+2)2+(y+4)2=10.
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解法2:根据图形的几何性质:半径,弦 长的一半,弦心距构成直角三角形,由勾股 定理,
4 2 2 ( 可得弦心距 d ? r ? 2 ) ? 10 ? 8 ? 2
2

因为弦心距等于圆心(a,b)到直线x-y=0 的距离, a?b ? 2, 又已知b=2a, 所以 d ?
2

解得a=2,b=4或a=-2,b=-4. 所以所求圆方程为(x-2)2+(y-4)2=10 或(x+2)2+(y+4)2=10.
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重点突破:与圆有关的最值问题
例2 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0

(Ⅰ)求y-x的最大值和最小值, (Ⅱ)求x2+y2的最大值和最小值. 根据代数式的几何意义,借助 于平面几何知识,数形结合求解.

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方程x2+y2-4x+1=0变形为(x-2)2+y2=3,

所表示的图形是圆.
(Ⅰ)y-x看作是直线y=x+b在y轴上的截距, 当直线y=x+b与圆相切时, 纵截距b取得最大值和最小值,此时
2?0?b 2 ? 3,

解得b=-2± 6 ,
所以y-x的最大值为-2+ 6 ,最小值为-2- 6.
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(Ⅱ)x 2 +y 2 表示圆上一点与原点距离的 平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连 线和圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为( ? 0 2 ? 0 ? 0 2 ? 2, 2 )( ) 所以x2+y2的最大值是(2+ 3 )2=7+4 3 ;最 小值是(2- 3 )2=7-4 3 . 涉及与圆有关的最值,可以借助 圆的几何性质,依照数形结合思想进行求解; 联想过两点的直线的斜率公式,两点间距离 公式,过定点的直线系或平行线系等知识的 应用.
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变式练习2 已知实数x,y满足方程x 2 +y 2 -

y 4x+1=0,求 的最大值与最小值. x y 设 =k,即y=kx,当直线y=kx与 x

圆相切时,斜率k取得最大值和最小值.因为 圆心(2,0)到直线y=kx的距离为 3 ,所以
2k ? 0 ? 3, 得k=± 3 . 2 k ?1 y y ( max 所以 ) ? 3,( ) ? ? 3. min x x
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重点突破:直线与圆的方程的应用 例3 图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图, 该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造 时每隔4 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的 高度(精确到0.01). 先建立直角 坐标系,只需求出P2的纵 坐标,就可得支柱A2P2的 高度.
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建立如图所示 的直角坐标系,设圆心坐标 是(0,b),圆的半径是r,则圆 的方程是x2+(y-b)2=r2 ,下 面确定b和r的值. 因为P,B都在圆上,所以它们的坐标 (0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2, 02+(4-b)2=r2 于是得到方程组 102+(0-b)2=r2, 解得:b=-10.5,r2=14.52.
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所以圆的方程为x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程,

得(-2)2+(y+10.5)2=14.52.
因为y>0,

所以
m

y ? 14.52 ?-10.5≈14.36-10.5=3.86 (? 2 2 )

答:支柱A2P2的长度约为3.86 m.
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直线与圆的方程在实际生活以 及平面几何中有着广泛的应用,用坐标方 法解决几何问题时,先用坐标和方程表示 相应的几何元素:点、直线、圆,将几何 问题转化为代数问题;然后通过代数运算 解决代数问题;最后解释代数运算的结果 的几何含义,得到几何问题的结论.
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变式练习3 一艘轮船在沿直线返回港

口的途中,接到气象台的台风预报:台风 中心O位于轮船A正西70 km处,受影响的 范围是半径为30 km的圆形区域.已知港口B 位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船 不改变航线,那么它是否会受到台风的影 响?
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以台风中心为原 点O,东西方向为x轴,建 立如图所示的直角坐标系, 其中,取10 km为单位长度. 则受台风影响的圆形区域对 应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9;轮船航 线所在直线l的方程为4x+7y-28=0;因为圆心 28 O d? ? 3, 到直线的距离
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所以这艘轮船不改
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变航线,不会受到台风的影响.

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例4 已 知 圆 x 2 +y 2 +x-6y+m=0和 直 线

x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为 坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径. 利用OP⊥OQ得到O点在以PQ 为直径的圆上,在利用勾股定理求解.

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设已知圆的圆心为C,弦PQ中点

为M,
因为CM⊥PQ,所以kCM=2, 即:y=2x+4. 由方程组

1 所以CM所在直线的方程为y ? 3 ? 2 x ? ), ( 2

y=2x+4
x+2y-3=0,

解得M的坐标为(-1,2).
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则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2 , 因为OP⊥OQ所以点O在以PQ为直径的圆上. 所以(0+1)2+(0-2)2=r2,即r2=5,MQ2=5. 在Rt△CMQ中,因为CQ2=CM2+MQ2, 所以
1 1 ? ? 6 ? 4m ( ) 2 (? ? 1 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? ) ( ) . 2 所以m=3.所以半径为 ,圆心为(-4 ,3). 5 1 在解决与圆有关的问题中.借助与圆 2 2
2

的几何性质,往往会使得思路简洁明了,简化 运算.

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1.求圆的方程常用待定系数法,步 骤大致是: ①根据题意,选择标准方程或一般 方程; ②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的 方程组; ③解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或 一般方程.
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2.研究与圆有关的最值问题时,可借助图 形的性质,利用数形结合求解,一般地 为动直线的斜率的最值问题; 动直线的截距的最值问题; ③形如v=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问 题,可转化为动点到定点的最值问题.
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y?b ①形如 u ? 形式的最值问题,可转化 x?a

②形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为

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3.点与圆的位置关系可利用点与圆心的距 离和半径r的大小来判断. 4.圆的问题的解题技巧:处理有关圆的问 题,要特别注意圆心半径及平面几何知识的 应用,如弦心距,半径,弦长的一半构成的 直角三角形经常用到,利用圆的一些特殊几 何性质解题,往往使问题简化.

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1.(2009· 辽宁卷)已知圆C与直线x-y=0及 x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为( B ) A. (x+1)2+(y-1)2=2 B. (x-1)2+(y+1)2=2 C. (x-1)2+(y-1)2=2 D. (x+1)2+(y+1)2=2 圆心在x+y=0上,排除C、D,再结合图 象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于 2 半径 即可.选B. 本小题考查圆的标准方程,直线与 圆的位置关系,属于基础题. 41

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2.(2009· 广东卷)以点(2,-1)为圆心且与直

线x+y=6相切的圆的方程是? x ? 2 ? ? ? y ? 1?
2

2

将直线x+y=6化为x+y-6=0,则易知圆
5 ? , 所以圆的方程为(x的半径 r ? 1?1 2 25 2+(y+1)2= 25 .故填(x-2)2+(y+1)2= 2) . 2 2 2?1? 6

25 ? . 2

本小题主要考查直线与圆的位置关 系,圆的标准方程及点到直线的距离公式.
42

本节完,谢谢聆听
立足教育,开创未来


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