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导数知识点总结及例题讲解


高二数学复习讲义—导数及其应用 知识归纳
1.导数的概念
函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f(x 0 + ?x )

4.两个函数的和、差、积的求导法则法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个 函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ? u ? v . 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函 数的导数乘以第二个函数,加上第一个函 数 乘 以 第 二 个 函 数 的 导 数 , 即 : ' ' ' (uv) ? u v ? uv .
若 C 为常数, (Cu)
'

-f(x ),比值
0

?y

'

'

'

到 x
?y =
?y

处 0 ?x 可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处 的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x?x0 。
有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x

x

+ ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即 0 f (x0 ???x) ? f (x0 ) 。如果当 ?x ? 0 时,
?x

?x

叫做函数 y=f(x)在 x

0

? C u ? Cu

'

'

? 0 ? Cu

'

? Cu

'

.

即 f(x )= lim
0 ?x?0

?y

= lim f (x0 ???x) ? f (x0 ) 。 ?x
0

即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数 ' ' 的导数: (Cu) ? Cu . 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的 导数与分母的积,减去分母的导数与分子的
积再除以分母的平方: ??

说明:(1)函数 f(x)在点 x

?x?x?0

? u ?? ? v ??

? y ? y ?x ? 0 时, ? x 有极限。如果 ? x 不存在极
0

处可导,是指

??‘ =

u' v ? uv' v2

(v ? 0)。
形如 y=f ??(x ) ?的函数称为复合函数。复合

限,就说函数在点 x

处不可导,或说无导数。
0

(2)?x 是自变量 x 在 x

处的改变量,?x ? 0

时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤:(1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ); (2)求平均变化率

函数求导步骤:分解——求导——回代。法 x x

?y
?x

=

f (x

???x) ? f (x )
0

0



?x
0

(3)取极限,得导数 f’(x

)= lim
?x?0

?y



?x

2.导数的几何意义
函数 y=f(x)在点 x
0

处的导数的几何意义是
0

曲线 y=f(x)在点 p(x
(x ,f(x

,f(x

0

))处的
)。 )。

切线的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p
0 0

))处的切线的斜率是 f’(x
/

0 0

相应地,切线方程为 y-y

3.几种常见函数的导数:

0

=f(x

0

)(x-x

② ?x n ? ? nxn?1; ① C??? 0; (sin x )??? cos x ;④ (cos x )?????sin x ; ⑤ (e x )??? ex ; ⑥ ( a x )??? a x ln a ; ⑦ ?ln x? ?? 1 ;

?



?

⑧ ?l o g

a

x

? ? ?? 1 loga e .

则:y'| X = y'| U ·u'| X 5.单调区间:一般地,设函数 y ? f (x) 在 ' 某个区间可导,如果 f (x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数; ' 如果 f (x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数;如 ' 果在某区间内恒有 f (x) ? 0 ,则 f (x) 为常数; 6.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值 点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线 的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左 侧切线的斜率为负,右侧为正; 7.最值:
一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f (x) 在

[a,b]上必有最大值与最小值。 ①求函数 ? (x) 在(a,b)内的极值; ②求函数 ? (x) 在区间端点的值 ?(a)、 ?(b);
③将函数 ? 较,
(x) 的各极值与 ?(a)、?(b)比

其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。

高考题型 1.导数定义的应用 例 1 (北京高考)如图,函数 f ( x) 的图象是 折线段 ABC ,其中 A,B,C 的坐标分别为 (0,4),(2,0),(6,4) ,

解 : y

/

? ( x ? a) ( 3 x? 2a? ,b) 由 y/ ? 0 得

x ? a , x ??
0 ,当 x ?

2a ? b
3

,∴当 x ? a 时, y 取极大值
时 y 取极小值且极小值为

2a ? b
3

负.故选 C.或当 x ? b 时 y ? 0 ,当 x ? b 时,

lim f ?1 ???x ?? f ?1????_________.
?x ?0

?x

y

4 3 2 1

A

y ? 0 选 C.
C

B O 1 2 34 5 6

点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也 是考试的热点题型. 3.利用导数解决函数的单调性问题
x

?? 2x ? 4 0 ? x ? 2 解:由图可知 f ?x? ???? 据导数的定义

,根

例 5 ( 全 国 高 考 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? x ?1, a ?R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x) 在区间

?x ? 2

2?x?3

知 lim f ?1 ???x ?? f ?1?? ? f ??1? ???2 . ?x ? x ?0 例 2 ( 重 庆 高 考 ) 已 知 函 数 2 x f ?x? ? ?x ? bx ? c?e ,其中 b, c ? R ,(Ⅰ)略, 2 (Ⅱ)若 b ? 4?c ?1?, 且 lim f ?x?? c ? 4 ,试
证: ? 6 ? b ? 2 .
x?0

? ?

2 1 ? ?? ,?? ? 内是减函 ?? 3 3 ??
2

数,求 a 的取值范围.
解 :( 1 ) f ( x ) ? x
2 3

? ax

? x ?1 求 导 得

x

解 : ?? f ?0? ? c .故
f ? x ??
? x

2

?

? ?b ? 2?x ? b ? c?e x

, 易 知 ,
?b?c

f ?( x )?? 3 x ? 2a ?x 1 当 a ?3 递增; 当 a ?3
2 2

时,

f ?x?? f ?0?? f ?x?? c ?? x x?0 x?0 x?0 ?b ? c ? 4, 解得 ? 6 ? b ? 2 . 所以 ??
lim
? lim
? f ?0??

??? 0



?? , 在 上 f ( x) ?? 0 f ( x) R



?? 2. 利用导数研究函数的图像 例 3 ( 安 徽 高 考 ) 设 a < b, 函 数 y ? ( x ? a) ( x? 的 b)图像可能是
2

b

2

? 4?c ?1?,

?? f ( x) ? 0

求 得 两 根 为

2 x ??? a ?? a ? 3 , 3

即 f ( x)
2



??
??

?? ??,

? a ? a ? 3 ??
3
??

2

?

递 增 ,

?? ??? a ? a ? 3 ? a ? a2 ? 3 ?? ?? , ?? 3 3 ?? ?? ?? ?? 2 ??? a ?? a ? 3 ?? ?? ,???? 递增。 3 ?? ?? ?? ?? (2)因为函数 f ( x) 在区间

?? 递 减 ,

?

??

?? ??2 ,??1 ? 内是减

?? 3

3 ??

函数,所以当 x ? ????

?? 2 ?? 3

,??

1 ?? 3 ??
?

时 f ??x? ? 0 恒成

f ??x? ? 0 ,得 x1 ? a, x2 ??? ??1 ? a ? 1, ?? a?2 ?? 解
?a ????

?

a? 2 3 。从而
3

立,结合二次函数的图像可知 ??

?? ?? 2 ?? ? f ????? ??? 0 ?? ?? 3 ?? ?? ?? 1 ??
?? ?? 3 ??
??
f ???

??

??

?0

得 a ? 2 . 点评:函数在某区间上单调转化为导函数 f ??x? ? 0 或 f ??x? ? 0 在区间上恒成立问题, 是解决这类问题的通法.本题也可以由函数 ??? a ? a ? 3 ? a ? a ? 3 ?? , ? 上递减,所以 3 3 ?? ?? ?? ?? 2 ??? a ?? a ? 3 2 ???? ?? 3 3 求解. ??
在 ??
??

解 得 a?2 ?? ?? 3 . 3 ?? ??1 ? a ? 1, ?? 5 ? a ? 1, ?? ?? 1 1 ?? 或 ?? a , ? ???? , ?a ???? ?? 2 ?? 2 ?? 1 ?? ?? 1 ?? 所以 a 的取值范围是 ??? 5,?? ?? ???? ,1?. ?? 2 ?? ?? 2 ??
,
??
?a ????



??

?1 ????a ? 2 ? 1,

2

2

点评:这种逆向设问方式是今后高考命题的 一种趋势,充分体现高考“能力立意”的思 想,高考中应高度重视。 (4)利用导数的几何意义研究曲线的切线问 题
例 6 (江西高考)若存在过点 (1, 0) 的直线与

??? a ?? a2 ? 3 1 ???? ?? ?? 3 3 【 变 式 1 】( 全 国 高 考 ) 若 函 数
f ?x ? ?

曲线 y ? x3 和 y ? ax 于 A . ?1 或 - 25 64 C. ??7 或 - 25 64 4

2

??

15 x ? 9 都相切,则 a 等 4 B . ?1 或 21 4 D. ?? 7 或 7 4
3

1 3 1 2 3 x ? 2 ax ? ?a ?1?x ?1 在区间 ?1,4??

上是减函数,在区间 ?6,???上是增函数,求 实数 a 的取值范围.
解: f ?x? ? x
2

? ax ? ?a ?1? ,令 f ??x? ? 0 得

解:设过 ( 1, 0 )的直线与 y ? x

相切于点

x ? 1 或 x ? a ?1,结合图像知 4 ? a ?1 ? 6 , 故 a ??5,7?.
点评:本题也可转化为 f ??x?? 0,x ??1,4?恒

( x0 , x03 ) 为

, 所 以 切 线 方 程

y ? x0 3 ? 3 x0 2 ( x ? x0 )
即 y ? 3 x0 x ? 2x0 ,又 (1, 0)在切线上,则
2 3

成立且 f ??x?? 0,x ??6,???恒成立来解. 【 变 式 2 】( 浙 江 高 考 ) 已 知 函 数
( a, b ? R) .若函数 f ( x) 在区间 ( ?1,1) 上不

f ( x ) ? x 3 ? (1 ? a ) x 2 ? a ( a ? 2)x ? b


x0 ? 0 或 x0 ???

3 2,
2

当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax

?

单调,求 a 的取值范围. ..
解:函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

15


4

x ? 9 相切可得 a ???

64

25



?? 根. 又

f ?x? ? 0

(?1,1)

f x ? 3x

在区间 上有实数解,且无重 ? 2?1 ? a?x ? a?a ? 2?? ?? 2 ?? , 由

x
0

3 ????2 时 , 由

27 2 7 y ?? 4 x ?? 4 与

y ? ax 2 ?

15

4 x ? 9 相切可得 a ???1 ,

所以选 A .

点评:函数的切线问题,切点是关键,因 为它是联结曲线和其切线的“桥梁”, 在做题中往往需要设出切点. 【变式】( 辽宁高考)设 P 为曲线 C :
y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切
2

4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 成立,即有 ??? 9a2 ? 64 ? 0 .
解不等式,得 ?

8 8 3 ? a ? 3 .这时, f (0) ? b 是

唯一极值.因此满足条件的 a 的取值范围是 [?

???? 线倾斜角的取值范围为 ?? 0, ?? 4 ??
?

8 8 3 , 3] .

?

,则点 P 横坐

6.利用导数解决实际问题 例 8 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体 形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少 时,其体积最大?最大体积是多少? 解:设长方体的宽为 x(m),则长为 2x (m), 高为 h ?? 18 ?12x ? 4.5 ? 3x(m)
4
?0<x<

标的取值范围为( A. ?1,?? 1 ??
??

) B. ???1,0
??

?

?? ??
C.

2 ??

??

??
0,1 D.

? 1 ??
?? ??

?? ??

3 ?? 2 ??

? .

? 2 ??

,1

解:由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范 ????? ??
围为


V ?x? ? 2x


2


?4.5 ? 3x??




? 9x


3 6x ?m 3
??

积 ??
?0


?x ??

2

??

3 ?? 2 ??
??

? 4 ?? ?0 1?? y ? 2x ? 2 P 率范围为 ,,又 ?? ,设点 的横坐

?

0,

?

,可得曲线 C 在点 P 处切线的斜

??

从而 V ?(x) ?18x ?18x

2

(4.5 ? 3x) ?18x(1 ? x).

标 为 x0 , 则 0 ? 2x0 ? 2 ? 1 , 解 得 ?1 ? x0 ???

令 V '?x? ? 0 ,解得 x ? 0(舍去)或 x ? 1,因

1

2 ,故选 A .

此 x ? 1.
当 0 ? x ? 1 时, V '?x? ? 0 ;当 1 ? x ?

5. 利用导数求函数的极值与最值 例 7 ( 天 津 高 考 ) 已 知 函 数
f ( x ) ? x ? ax ? 2x ? b ( x ? R ), 其 中
4 3 2

3

2 时,

V '?x?? 0 ,故在 x ? 1 处 V ?x?取得极大值,并 且这个极大值就是 V ?x?的最大值,从而最大
体积 V ? V '?x? ? 9 ?1
2

a, b ? R .若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,

求 a 的取值范围.
解: f ?( x ) ? x (4 x 2
2

? 6 ?1

3

?m3 ?,此时长方

? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是

体的长为 2 m,高为 1.5 m

方程 4 x
为 使

? 3ax ? 4 ? 0 的根.

f ( x) 仅 在 x ? 0 处 有 极 值 , 必 须

导数及其应用
一、选择题

[基础训练 A 组]
f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ? h) h h?0 D. 0

1.若函数 y ? f ( x) 在区间 ( a , b) 内可导,且 x0 ?( a, b) 则 lim 的值为( A. f ( x )
0

B ) B. 2 f ' ( x )
0

'

C. ? 2 f ' ( x )
0

lim f (x0 ? h ) ? f (x0 ? h ) ? lim 2[ f (x0 ? h ) ? f (x0 ? h) ] h 2h h?0 h?0 ' ? 2lim f (x0 ? h ) ? f (x0 ? h) ? 2 f (x ) 0 2h h?0 2 2.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒, 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是(C A. 7 米/秒 C. 5 米/秒 B. 6 米/秒 D. 8 米/秒 )

s ' (t ) ? 2t ? 1, s' (3) ? 2? 3 ? 1 ? 5 3.函数 y = x 3 + x 的递增区间是(C ) A. (0,??) C. (??,??) B. (??,1) D. (1,??)

y ' = 3x2 + 1> 0 对于任何实数都恒成立 4. f (x ) ? ax 3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于(D ) A. 19 3 C. 13 3 B. 16 3 D. 10 3 10 3 D)

f ' (x ) ? 3ax 2 ? 6x, f ' (?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ??

5.函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的( A.充分条件 C.充要条件
对于 f (x ) ? x
3

B.必要条件 D.必要非充分条件
'

, f

(x ) ? 3x

2

, f

'

(0) ? 0, 不能推出 f (x) 在 x ? 0 取极值,反之成立


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