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2016自主招生模拟数学试题


2016 自主招生模拟数学试题
一、选择题 1.如果关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是()
2 2

A、 ? 2 ? a ? 2 B、 3 ? a ? 2 C、 ? 3 ? a ? 2 D、 ? 3 ? a ? 2 2.P 是凸四边形内的一点,P 与四个顶点连接得到的四条线段的长分别为 1,2,3,4。那么 这个四边形的面积的最大值为( ) A、10.5 B、12 C、12.5 D、15 3.设a,b,c分别为△ABC的三边的长,且

a a?b ? ,则它的内角∠A、∠B的 b a?b?c

关系是() (A)∠B>2∠A (B)∠B=2∠A (C)∠B<2∠A (D)不确定 4.满足 y ? ( x ? 3 ? x ? 2007的正整数数对(x,y) (B)恰有两对 (C)至少有三对 ) ) (D)不存在

(A)只有一对 5.已知

<cosA<sin80°,则锐角 A 的取值范围是(

(A)60°<A<80° (B)30°<A<80° (C)10°<A<60 (D)10°<A<30° 6.骰子是一个质量均匀的正方体,6 个面上分别刻有 1,2,3,4,5,6 点,现在桌面上有 3 个骰子 分别为木制,骨制,塑料制的。重复下面操作,直到桌子上没有骰子为止:将桌上的骰子全 部掷出,然后去掉那些奇数点的骰子,则完成以上操作的次数多于 3 次的概率为( ) A.

1 3

B.

1 4

C.

169 512

D.

119 216

7.若两个不同的自然数 a,b 组成的数对(a,b)满足他们的算术平均数 A 和几何平均数 G 均为两位数,且 A 和 G 中的一个可由另一个交换个位和十位数字得到,则称这样的自然数 对为“好数对” ,满足条件的“好数对”有 A 对.则 A ? ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

8.如图,已知圆心角为 120° 的扇形 AOB 半径为 1 ,C 为 ? AB 中点.点 D,E 分别在半径 OA, OB 上.若 CD2+CE2+DE2=

5 2

,设 m ? OD ? OE 则 m 的取值范围是( A B.

) C

A.

1? 5 2 ? 14 ?m? 4 5

2 ? m ?1 2

D O E B

C.

5 ?1 ?m?2 2

D.

1 ? m ?1 2

9.已知函数 f ( x) ? ax2 ? c(a, c为实数), 若 ? 4 ? f (1) ? ?1,?1 ? f (2) ? 2, 则 f(8)的最 大值是( A.120 ) B.121 C.122 D.123

10. 已 知 直 角 坐 标 平 面 内 有 两 个 定 点 M ( 0,4 ) ,N ( - 2 , - 2 ) , 抛 物 线

y ? ax2 ? 6ax ? 5a (a ? 0) 与 x 轴自左至右交于 A、B,当此抛物线左右平移时,AM+BN
的最小值是( A、 6 3 ) B、 6 2 C、 8
2

D、6

11.已知 a , b , c 是实常数,关于 x 的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个非零实根 x1 ,

x 2 ,则下列关于 x 的一元二次方程中,以
A. c2 x 2 ? (b2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0 C. c2 x 2 ? (b2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0 12. 已 知 正 实 数

1 1 , 2 为两个实根的是( 2 x1 x2



B. c2 x 2 ? (b2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0 D. c2 x 2 ? (b2 ? 2ac )x ? a 2 ? 0 满 足 关 系 式 : a+b+c+d=1 , 设 )

a , b , c , d

s ? 3a2 ?1 ? 3b2 ?1 ? 3c2 ?1 ? 3d 2 ?1 ,那么 s 与 2 的关系是(
s>2 13.计算: B.s<2 C.s≥2 D.s≤2 )

(34 ? 4)(7 4 ? 4)(114 ? 4)...(394 ? 4) =( (54 ? 4)(94 ? 4)(134 ? 4)...(414 ? 4)
B.

A.

1 353

1 354
2

C.

1 355

D.

1 356

二、填空题 14.已知函数 f ( x) ? ( x ? 2ax) x ? 2 的图象为轴对称图形,则实数 a 的值为_________. 15.将与 105 互质的所有正整数从小到大排成数列,则这个数列的 2013 项为_________. 16.已知 a, b, c 均为非负数,将 a, b, c 填入下面的数表中: a 1 0.5 b c 2

设竖排的数的和从左往右分别为 k1 , k2 , k3 ,横行的积从上往下分别为 s1 , s2 。若 k1k2 k3 ? 4 ,

s1 ? s2 ? m ,则 m 的最大值为________.
15.一些物体每个染上红色或蓝色中的一种,排在一条直线上,至少有一个物体染上红色, 同样至少有一个物体染上染上蓝色, 已知两物体之间有 10 个或 15 个另外的物体, 则这两个 物体是同色的,那么这些物体最多有________个。 16. 在△ ABC 中,∠ C= 90 ,斜边 AB=10 ,直角边 AC 、 BC 的长分别是关于 x 的方程
0

x2 ? mx ? 3m ? 6 ? 0 的两个实根,则 sinA+sinB+sinA ? sinB=。
17. 三角形的三边为 a, b, c, 若b ? 10, a, c为整数,且 a ? b ? c, 则该三角形是等边三角形 的概率是。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2 18.对于 x 的二次三项式 ax ? bx ? c ( a ? 0 )。

(1)当 c ? 0 时,求函数 y ? ?2 | ax2 ? bx ? c | ?1 的最大值; (2)若不论 k 为任何实数,直线 y ? k ( x ? 1) ? 一个公共点,求 a , b , c 的值。

k2 与抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 有且只有 4

19.如图,已知双曲线 C1 : y ?

1 、抛物线 C2 : y ? x2 ?12 ,直线 l : y ? kx ? m . x

k2 ? m 的最小值; (Ⅰ)若直线 l 与抛物线 C2 有公共点,求 4
(Ⅱ)设直线 l 与双曲线 C1 的两个交点为 A、 B ,与抛物线 C2 的两个交点为 C、D .是否存 在直线 l ,使得 A、 B 为线段 CD 的三等分点?若存在,求出直线 l 的解析式,若不存在, 请说明理由。

20.如图,在△ABC 中,已知 AD⊥BC,BE⊥AC,AD 与 BE 相交于点 H,P 为边 AB 的中点, 过点 C 作 CQ⊥PH,垂足为 Q,求证: PE 2 ? PH ? PQ 。
A

E H P

Q

C

D

B

21.如图: 直线 y ? ? x ? 18 分别与 x 轴、 y 轴交于 A、 B 两点; 直线 y ? 2 x 分别与 AB 交于 C 点,与过点 A 且平行于 y 轴的 直线交于 D 点.点 E 从点 A 出发,以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动,过点 E 作 x 轴的垂线,分别交直线 AB、OD 于 P、Q ,以 PQ 为边向右作正方形 PQMN,设正方形 PQMN 与

?ACD 重叠部分(阴影部分)的面积为 S(平方单位) ,点 E 的运动时间为 t(秒) . (1)当 0 ﹤t﹤12 时,求 S 与 t 之间的
函数关系式; (2)求(1)中 S 的最大值; (3)当 t﹥0 时,若 点 ?10,10? 落在正方形 PQMN 的内部,求 t 的取值范围.

22.如图,已知圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 N,点 M?在对角线 BD 上,且 满足∠BAM=∠DAN,∠BCM=∠DCN. 求证: (1)M 为 BD 的中点; (2)

AN AM ? . CN CM

23.分解因式: x ( y ? z) ? y ( z ? x) ? z ( x ? y) 。
3 3 3

24. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c 和一次函数 y = - bx ,其中 a 、 b 、 c 满足 a > b > c , a + b + c = 0 .( a, b, c ? R). (1)求证:两函数的图象有两个不同的交点 A、B; (2)过(1)中的两点 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足为 A1、B1.求线段 A1B1 的长的 取值范围.

25.如图, AB 是⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BM ,点 P 在右半圆上移动 点 P 与点 A 、 B 不重合) ,过点 P 作 PC ⊥ AB ,垂足为 C ;点 Q 在射线 BM 上移动 (点 M 在点 B 的右边) ,且在移动过程中保持 OQ ∥ AP . (1)若 PC 、 QO 的延长线相交于点 E ,判断是否存在点 P ,使得点 E 恰好在⊙O 上? 若存在,求出 ?APC 的大小;若不存在,请说明理由; (2)连结 AQ 交 PC 于点 F ,设 k ? 的结论. E

PF ,试问: k 的值是否随点 P 的移动而变化?证明你 PC A

O


C B

F

P

Q M

26.已知二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象经过两点 P (1, a ) ,Q (2,10a) .
2

(1)如果 a , b, c 都是整数,且 c ? b ? 8a ,求 a , b, c 的值. (2)设二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点为 A、B,与 y 轴的交点为 C.如果关于
2

x 的方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的两个根都是整数,求△ABC 的面积.

27. 1,2,3,4,5 的排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 具有性质,对于 1 ? i ? 4 , a1 , a2 , a3 ,...,ai 不能构成

1,2,3,4, . . .i, 的某个排列,求这种排列的个数。

28.定义:在平面内,我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线 段表示, 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向。 其中大小相等,

方向相同的向量叫做相等向量。 如以正方形 ABCD 的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出 8 个不同的向量: AB 、 BA 、 AC 、 CA 、 AD 、 DA 、 BD 、 DB (由于 AB 和 DC 是相等 向量,因此只算一个) 。 ⑴ 作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为 f ( 2) ,试求 f ( 2) 的值;

图一 ⑵ 作 n 个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶 点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为 f ( n) ,试求 f ( n) 的值;

?

共 n 个正方形 ⑶ 作 2 ? 3 个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点 作向量, 可以作出不同向量的个数记为 f (2 ? 3) ,试求 f (2 ? 3) 的值;

⑷ 作 m ? n 个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为 终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为 f (m ? n) ,试求 f (m ? n) 的值。 共 m 个 正 方 形 相 连 共 n 个正方形相连

29.已知二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象经过两点 P (1, a ) ,Q (2,10a) .
2

(1)如果 a , b, c 都是整数,且 c ? b ? 8a ,求 a , b, c 的值. (2)设二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点为 A、B,与 y 轴的交点为 C.如果关于

x 的方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的两个根都是整数,求△ABC 的面积.

30. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c 和一次函数 y = - bx ,其中 a 、 b 、 c 满足 a > b > c , a + b + c = 0 .( a, b, c ? R). (1)求证:两函数的图象有两个不同的交点 A、B; (2)过(1)中的两点 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足为 A1、B1.求线段 A1B1 的长的 取值范围.

31.在非等腰△ABC 中,高 AA1,CC1 夹成的角平分线分别交 AB,BC 于 P,Q, ∠B 的平分线与连接 △ABC 的垂心 H 和 AC 中点 E 的线段交于 R。求证:P,B,Q,R 四点共圆.

32.设奇数 a,b,c,d 满足 0<a<b<c<d,ad=bc,若 a ? d ? 2 k , 这里 k,m 是整数,试证 a=1。

b ? c ? 2m


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