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福州八县(市)一中2012-2013学年高二下学期期中联考数学(理)试题


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题:平潭一中 魏 雄

复 核:念家桃 游文杰 满 分:150 分

完卷时间:120 分钟

一、选择题(本大题 共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项符合题目要求) 1、 f ( x)

? x ?1 则 f ?(1) =( ) 1 A、1 B、 2 C、-1 D、0
[来源:学科网]

2、若 i 为虚数单位,m,n R,且

=n+i

则 mn=(



A、-2 B、1 C、2 D、3 3、有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f ( x) ,如果 f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x ? x0 是函数 f ( x) 的极值点;因为函数 f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以, x ? 0 是函数 f ( x) ? x3 的极值点.以上推理中( ) A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、结论正确 4、定积分 A、 ?

?

e

1

1 x

dx ? (



1 1 ?1 B、1 C、 e D、 ? 1 2 e e 5、一物体的运动方程为 s=sin2t+3t+1,则它的速度方程为( ) A、v=2cos2t+3 B、v=2sin2t +3 C、v=-2cos2t+3 D、v=2cos2t+3t+1 1 1 1 6、用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不等 2 3 2 -1 式( ) 1 1 1 A、1+ <2 B、1+ + <3 2 2 3 1 1 1 1 1 C、1+ + + <3 D、1+ + <2 2 3 4 2 3
7、若 p ? a ? 2 ? a ? 5 , q ? a ? 3 ? a ? 4 , a ? 0 ,则 p、q 的大 小关系是( ) A、 p ? q B、 p ? q C、 p ? q D、由 a 的取值确定 1 1 8、函数 f ( x) ? x 4 ? x3 ? x 2 ?高二数学(理科)试卷 第 1 ) 共 4 页 2 在 R 上的极值点有( 页 4 3 A、3 个 B、2 个 C、1 个 D、0 个

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9、有一串彩旗,▼代表蓝色,▽代表黄色。两种彩旗排成一行如下所示: ▽▼▽▼▼▽▼▼▼▽▼▽▼▼▽▼▼▼▽▼▽▼▼▽▼▼▼? 那么在前 200 个彩旗中有( A、111 B、89 10、下面给出了四个类比推理: (1)由“若 a, b, c ? R 则 (ab)c ? a(bc) ”类比推出“若 a,b,c 为三个向量则
(a ? b) ? c = a ? (b ? c) ” 2 2 (2)“a,b 为实数, 若a ? b ? 0 则 a=b=0”类比推出“ z1 , z2 为复数,若
2 z12 ? z2 ? 0则z1 ? z2 ? 0 ”

)个黄旗。 C、133 D、67

(3)“在平面内,三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中,四面体的 任意三个面的面积之和大于第四个面的面积” (4)“在平面内,过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空 间中,过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”。 上述四个推理中,结论正确的个数有( ) )。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 11、已知在 R 上可导的函数 f ( x) 的图象如图所示,则不等式 f (x) ? f ?(x) ? 0 的解集为( A、 (?2,0) B、 (??, ?2) ? (?1, 0) C、 (??, ?2) ? (0, ??) D、 (?2, ?1) ? (0, ??) 1 1 12、若函数 f ( x) ? ax3 ? ax 2 ? a ? 1 的图像 3 2 经过四个象限,则实数 a 的取值范围是( ) 5 6 5 A、 ? a ? ? B、a ? 1 或 a ? C、a ? ? 或 a ? ?1 6 5 6 6 D、 ? ? a ? 5 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、复数 z=i(i+1) (i 为虚数单位) 的共轭复数 Z = 14、曲线 y ? x 与 y ? x 2 所围成的封闭图形的面积 s= 15、两点等分单位圆时,有相应正确关系为 sin α +sin(π +α )=0;三点等分单位圆 2π ? 4π ? ? ? 时,有相应正确关系为 sin α +sin?α + ?+sin?α + ?=0.由此可以推知:四 3 ? 3 ? ? ? 点等分单位圆时的相应正确关系为__________. 16、下列四个命题中正确的有_______(填上所有正确命题的序号) ①若实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3 ,则 a, b, c 中至少有一个不小于 1 ②若

z 为复数,且 z

=1,则

z ? i 的最大值等于 2

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③ 任意x ? (0, ??), 都有x ? sin x

4 三、解答题(17~21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分)
17、(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x ? x , 求函数 f ( x) 的单调区间和极值

④定积分 ?0

?

? ? x dx ?
2

?2

18、(本小题 12 分)已知复数 Z1 , Z 2 在复平面内对应的点分别为 A(?2,1), B(a,3) , (1)若 Z1 ? Z 2 ? 5,求a的值。 (2)复数 z ? Z1 ? Z 2 对应的点在二、四象限的角平分线上,求 a 的值。

19、(本小题 12 分)观察以下 5 个等式: -1=-1 -1+3=2 -1+3-5=-3 -1+3 -5+7=4 -1+3-5+7-9=-5 ?? 照以上式子规律: ....... (1) 写出第 6 个等式,并猜想第 n 个等式;(n∈N*) (2) 用数学归纳法证明上述所猜想的第 n 个等式成立。(n∈N*)

20、(本小题 12 分)近年来,福建省大力推进海峡西岸经济区建设,福州作为省会城市, 在发展过程中,交通状况一直倍受有关部门的关注,据有关统计数据显示上午 6 点到 10 点,车辆通过福州市区二环路某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间 关系可近似地用如下函数给出:高二数学(理科)试卷 第 3 页 共 4 页 1 3 ? t 3 ? t 2 ? 14???????(6 ? t ? ?) y? 8 2 9 ln t ? t????????????????????(9 ? t ? 10) 求上午 6 点到 10 点,通过该路段用时最多的时刻。

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21、(本小题 12 分)已知三次函数 f ? x ? ? x3 ? bx 2 ? cx ? d ? a, b, c ? R ? 过点(3,0),且函 数 f(x)在点(0,f(0))处的切线恰好是直线 y=0。 (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)设函数 g(x)=9x+m-1,若函数 y=f(x)-g(x)在区间[-2,1] 上有两个零点, 求实数 m 的取值范围。

22.(本小题 14 分)已知函数 f ? x ? ? e x ? ax ? 2 (1)若 a ? ?1 ,求函数 f ? x ? 在区间 [?1,1] 的最小值; (2)若 a ? R, 讨论函数 f ? x ? 在 (0, ??) 的单调性; 的取值范围。 (3)若对于任意的 x1 , x2 ? (0, ??), 且x1 ? x2 , 都有x2 ? f ( x1 ) ? a ? ? x1 ? f ( x2 ) ? a ? 成立, a 求

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2012-2013 学年度第二学期八县(市)一中期中联考 高二数学(理科)试卷答案
题号 答案 1 C 2 A 3 A 14、 4 B 5 A 6 D 7 C 8 C 9 D 10 B 11 B 12 D

13、 ?1 ? i

1 3

18.解:(1)由复数的几何意义可知:

z1 ? ?2 ? i, z2 ? a ? 3i ?????????????????(2 分)
z1 ? z2 ? ?a ? 2 ? 2i ? (? a ? 2) 2 ? (?2) 2 ? 5 ???(4 分)

? a ? ?3或a ? ?1 ??????????????????

?(6 分)

(2) z ? z1 ? z2 ? (?2 ? i) ? (a ? 3i) ? (?2a ? 3) ? (a ? 6)i ??????????(9 分) 依题意可知点 (?2a ? 3, a ? 6) 在直线 y ? ?x 上 ∴ a ? 6 ? ?(?2a ? 3) ? a ? ?9 ?????????????????(12 分) 19.(本小题 12 分) 高二数学(理科)答案 第 1 页 共 4 页 解:(1)第 6 个等式为-1+3-5+7-9+11=6 ??????(2 分)

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第 n 个等式为 -1+3-5+7-9+??+(-1)n(2n-1)=(-1)nn??(4 分)

[来源:Zxxk.Com]

(2)下面用数学归纳法给予证明:-1+3-5+7-9+??+(-1)n (2n-1)=(-1)nn (1)当 n ? 1 时,由已知得原式成立; ??????????????(5 分) (2)假设当 n ? k 时,原式成立, 即-1+3-5+7-9+??+(-1) (2k-1)=(-1) k???????(6 分)
k

k

那么,当 n ? k ? 1 时,

-1+3-5+7-9+??+(-1)k (2k-1)+(-1)k+1 (2k+1) =(-1)kk+(-1)k+1 (2k+1)
=(- 1) (-k+2k+1)
k+1

=(-1)k+1 (k+1)

, 2 21.解:(1) f ? x ? ? 3x ? 2bx ? c ??????????????????(1 分)

函数 f(x)在点(0,f(0))处的切线恰好是 y=0,所以有

f (0) ? 0 f , (0) ? 0 f (3) ? 0

?

d ?0 c?0 27 ? 9b ? 3c ? d ? 0

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∴b=-3 ∴ f ? x ? ? x 3 ? 3x 2 ??????????????????????????(6 分)

令h, ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 0 ? x ? ?1或x ? 3, 又 ? 2 ? x ? 1? h( x)在(? 2, 1 ? )单调递增; 令h, ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 0 ? ?1 ? x ? 3, 又 ? 2 ? x ? 1? h( x)在(? 11 , )单调递减;
? x ? ? ?2, , h( x) max ? h(?1) ? 6, h(?2) ? ?1,h(1) ? ?10 ? x ? ? ?2, , h( x) min ? h(1) ? ?10 ???11分 1? 1?

m ? h( x)在区间? -2,1? 有两个不同的解, 1 ? m ? 6 ??????12分 ??
22.解:(1)

因为a = ? 1,f ?( x ) ? e x ? 1, 令f ?( x ) ? 0 ? x ? 0;令f ?( x )<0 ? x <0 因为x ? [?11] ,,所以f ( x )在[?1,0]单调递减;f ( x)在[0,1]单调递增。 ? f 最小值 ( x)=(0) ? 1…………………………3分 f =

(2)f ?( x) ? e x ? a ①当a ? ?1时,因为x ? ?,e x ? 1,所以f , ( x) ? e x ? a ? 0第 3 页 ?函数f ( x)在(0,?) + 高二数学(理科)答案 恒成立, 4 页 共 上单调递增……………………5分 ②当a ? ?1时,即 ln(?a) ? 0,令f , ( x) ? 0 ? x ? ln(?a), 令f , ( x) ? 0 ? x ? ln(?a),
因为x ? 0 ? f ( x)在(0, ?a))上单调递增,在(ln(?a),+?)上单调递减。 ln(

1 0+ 综上所述:()当a ? -1时,函数f ( x)在( ,?)上单调递增
(2)当a ? ?1时,函数f ( x)在(0, ?a))上单调递减, ln(
在(ln(?a),+?)上单调递增 ???????????????????????????????????????????????????????8分
(3) x1 , x2 ? (0, ??), 且x1 ? x2 , 都有x2 ? f ( x1 ) ? a ? ? x1 ? f ( x2 ) ? a ? 成立,

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? f ( x1 ) ? a ? ? ? f ( x2 ) ? a ? 成立, ????????????????????? 9分
x1 x2

构造函数

h( x ) ?

f ( x) ? a ,? x1 ? x2都有h( x1 ) ? h( x2 ) x

? h( x)在(0,?)单调递增, h, x) ? 0在(0,?)恒成立。 + ? ( + ?????????????10分

h( x ) ?

e x ? ax ? 2 ? a e x ? 2 ? a xe x ? e x ? 2 ? a ? ? a ? h, x) ? ( ? 0在(0,?)恒成立。 + x x x2

即xe x ? e x ? 2 ? a ? 0在(0,?)恒成立。 +

即a-2 ? xe x ? e x 恒成立,令g ( x) ? xe x ? e x ( x ? 0), 则g, x) ? xe x,x ? 0,? g, x) ? 0 ? g ( x)在(0,?)单调递增, g ( x) ? g (0)= ?1 ( ( + ?

? a ? 2 ? ?1? a ? 1. ?????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????14分

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