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1.3.1二项式定理(二)


一、求特定项 1.利用通项、展开式: 你能否判断 (3 x
2

?

1 x

)

10

的展开式中是否包含
0

常数项?有理项有几项?

分析:取通项来分析, 常数项即 x 项.
r 10 2

Tr ?1 ? C ? ? 3 x

?

10 ? r

? 1 ? ?? ? ? x? ?

r

解:根据二项式定理,取a=3x2,b=-


1 x

(3 x ?
2
r 10 2

1

x
10 ? r

) 的通项公式是
r 20 ? 5r 2

10

? 1 ? r r 10 ? r Tr ?1 ? C ? ? 3 x ? ? ? ? ? ? ? ?1? C10 ? 3 ? x x? ? 5r 由题意可知, 20 ? ? 0 ? r ? 8 常数项即 x 0项. 2 故存在常数项且为第9项,
8 10 ? 8 0 常数项T9 ? ? ?1? ? C10 ? 3 ? x ? 405 8

∴ (3 x ?
2

1 x

)10 的展开式中第9项为常数项。

2.组合法

x 1 5 ( ? ? 2) 的展开式中展开式的常 求 2 x 数项;

求(x +2)10 (x 2-1)展开式中含 x 10 项的系 179 . (1998年全国高考题) 数为____

3.变形:化为二项式问题

在(x2 + 3x + 2)5 的展开式中, x的系数为 多少?
240

(x2+3x+2)5展开式中x的系数为_____.
方法1 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
在展开式中只有 C 1 (x2 ? 2)4 ? 3x才 存 在 x的 项 , 5 其系数为 5C 4 24 ? 3 ? 240 4

方法2 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式中只有 C 1 x(x ? 3) ? 24才 存 在 x的 项 , 5 其系数为 C 1 ? 3 ? 24 ? 240 5

方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5

方法4 (x2+3x+2)5= (x+1)5 (x+2)5 ,…….

在展开式中只有 C 0 (3x ? 2)5才 存 在 x的 项 , 5 其系数为 C 1 ? 3 ? 24 ? 240 5

妙!

练习: 10 5 3 2 1. 将 ( x ? y ? z ) 展开后 , 则展开式 x y z 的项的 系数为( ) 5 3 2 5 3 2 (A) C10C10C10 (B) C10C5 C2

B

(C) C C

2 5

3 10

(D) C C

5 10

2 4

2.(a+2b+3c)7的展开式中a2b3c2项的系数是多 15120 少?

3、求

(1 ? x) (1 ? x) 的展开式中的 x 系数。
6 4

3

3 1 5 4、求 ( x ? 3 ? ? 2 ) 展开式中的常数项。 x x

课堂练习
?a x ? 3的系数 ? 1、已知? 的展开式中 x ? ? x ? 2 ? ? 9 为 ,则常数a的值是_______
2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是(
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207
9

4



3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是_________
2 n ?2 4.已知(1+ ) 展开式中含 x 的项的系数为12,求n. x 5.已知(10+xlgx)5的展开式中第4项为106,求x的值.

二、二项式定理的应用

1.构造二项式
5 4 3 2 ( x ? 1) ? 5( x ? 1) ? 10( x ? 1) ? 10( x ? 1) ? 5( x ?1) (1)

(2)

1 ? 2C ? 4C ? ... ? 2 C
1 n 2 n n

n n

2.赋值法

已知(1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a6 x ? a7 x
7 2 6

7

求: (1)a0

(2)a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a7
7
7

(1)令x ? 0

解 : 设f ( x) ? (1 ? 2x)

即f (0) ? (1? 2 ? 0) ? 1, 展开式右边即为a0

?a0 ? f (0) ? 1 7 (2)令x ? 1 f (1) ? (1 ? 2 ? 1) ? ?1
? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7

a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (a0 ? a1 ? ? ? a7 ) ? a0 ? f (1) ? f (0) ? ?1 ? 1 ? ?2

(3)a1 ? a3 ? a5 ? a7 (4)a0 ? a2 ? a4 ? a6
解 : 设f ( x) ? (1 ? 2x)
7

已知(1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a6 x ? a7 x
7 2 6

7

(3) ? f (1) ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7

f (1) ? f (?1) ? 1 ? 3 ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ? 2 2
(4)2(a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? f (1) ? f (?1)

?2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? f (1) ? f (?1)

f (?1) ? a0 ?a1?a2 ? a3 ? ? ? a7
7

小结:求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值,然后解方程组整体求解

练习( : 1? x ? x ? x ) 的展开式中奇次项
2 3 4

系数和是 ______
2

提示 : 设f ( x) ? (1 ? x ? x ? x )
2

3 4

? a0 ? a1 x ? a2 x ? ... ? a12 x
思考:

12

f (1) ? a0 ? a1 ? a2 ? ?? a12 ? 4 f (?1) ? a0 ?a1?a2 ? a3 ? ? ? a12 ? 0
4
7

(1 ? 2 x) 展开式中求a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a7

小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握 好,同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的 才是中间项,而系数最大的不一定是中间项, 尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。


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