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2014高三数学复习专题——函数的奇偶性


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2013-8-26

高三数学一轮复习——函数的奇偶性
函数的奇偶性、周期性是函数的重要性质,是高考命题热点之一,在考查时,常与其他性质(如单调性) 综合在一起,从近几年各地区的高考信息可以看出考查多以客观题为主,一般为容易题,周期性与三角函 数结合比较明显,但也常出现在抽象函数中,多为求值问题,以选择题或填空题形式出现. 一、要点精讲 1、函数的奇偶性的定义: 对于函数 f (x) 定义域内定义域内任意一个 x , 若有__________ ___ 若有______________ 2、奇偶函数的性质: ⑴ 定义域关于原点对称; ⑶ 奇函数的图象关于原点对称; ⑷ 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇. ⑸ f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |) . 3、判断函数奇偶性的途径: ⑴ 依据图象的对称性进行判断. ⑵ 依据常见函数奇偶性的结论进行判断. ⑶ 运用定义法判断函数奇偶性, 首先考虑定义域是否关于原点对称, 其次看 f(-x)是否等于-f(x)或 f(x). ⑷对抽象函数奇偶性的判断,要注意挖掘函数“原形” ,采用“赋值”等策略. 4、周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)= f(x) ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数, 那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. 二、基本训练 1.下面四个结论中,正确命题的个数是( ) ⑹ 若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 . ⑵ 偶函数的图象关于 y 轴对称; _____,那么函数 f (x) 为偶函数. _____, 则函数 f (x) 为奇函数;

①偶函数的图象一定与 y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于 y 轴对称 ④既是 奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4

解:①不对;②不对,因为奇函数的定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既是奇函数又是偶函数的 函数可以为 f(x)=0〔x∈(-a,a)〕.

1

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2013-8-26

2.下列各函数中是奇函数的是 (A) f ?x ? ? ? x ? 2?x ? R ? (C) f ?x ? ? x ? x?x ? R ?
3

(B) f ?x ? ? ?3x ?x ? ?0,?? ??
2

(D) f ?x ? ? lg x ?x ? ?0,?? ??
3

3.已知函数 f ? x ? 是奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? x?1 ? x ? ;当 x ? 0 时, f ? x ? 等于 (A) ? x?1 ? x ? (B) x?1 ? x ? (C) ? x?1 ? x ? (D) x?1 ? x ? )

4.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(2011)=( A.-2 B.2 C.-98 D.98

解:由 f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为 4,∴f(2011)=f(502× 4+3)=f(3)=f(-1), 又 f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1),f(1)=2× 2=2,∴f(-1)=-f(1)=-2. 1 5.已知函数 y=f(x)为奇函数,若 f(3)-f(2)=1,则 f(-2)-f(-3)=________. 解:∵y=f(x)为奇函数,∴f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=1. 6.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax +bx +cx 是( A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数
3 2 3 2

)

D.非奇非偶函数

解析:由 f(x)为偶函数,知 b=0,有 g(x)=ax +cx(a≠0)为奇函数. 7、已知 f ?x ? ? ax ? bx ? 3a ? b 为偶函数,且定义域为 [a ? 1,2a] ,则 a =
2

,b =



解析:定义域应关于原点对称,故有 a-1=-2a,得 a= 三、典例解析 考点一:函数奇偶性的判断 1、判断下列函数的奇偶性 ⑴ f ( x) ?

1 . 要使 f(-x)=f(x)恒成立,应 b=0. 3

1? x2 ; | x ? 2 | ?2

⑵ f ( x) ? lg x 2 ? lg

1 ; x2

⑶ f ( x ) ? (1 ? x )

1? x 1? x

lg(1 ? x 2 ) ⑷ f ( x) ? 2 ; | x ? 2 | ?2

⑸ f ( x) ? x ? x ? a ? 2
2

?x+2 (x<-1) ? ⑹ f(x)=?0 (-1≤x≤1) ?-x+2 (x>1) ?

?1 ? x 2 ? 0 lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ? ?? 解: (1)由 ? 2 得定义域为 (?1,0) ? (0,1) ,∴ f ( x) ? 奇 ?( x 2 ? 2) ? 2 x2 ?| x ? 2 | ?2 ? 0 ?
(2) 既是奇函数也是偶函数 (3)由

1? x ? 0 ,得定义域为 [?1,1) ,关于原点不对称,∴ f ( x) 为非奇非偶函数. 1? x

2

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(4)∵ f (? x) ? ?

lg[1 ? (? x) 2 ] lg(1 ? x 2 ) ?? ? f ( x) (? x) 2 x2

∴ f ( x) 为偶函数

(5)分 a ? 0 与 a ? 0 两种情况 (6)解:当 x<-1 时,f(x)=x+2,-x>1,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x). 当 x>1 时,f(x)=-x+2,-x<-1,∴f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x). 当-1≤x≤1 时,f(x)=0,-1≤-x≤1,∴f(-x)=0=f(x). 综上可知,对于定义域内的每一个 x 都有 f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. 2.(2010 广东)若函数 f ( x) ? 3 ? 3
x ?x

与 g ( x) ? 3 ? 3
x

?x

的定义域均为 R,则

A. C.

f (x) 与 g (x) 与均为偶函数 f (x) 与 g (x) 与均为奇函数
?x

B. f (x) 为奇函数, g (x) 为偶函数 D. f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数

解:D. f (? x) ? 3

? 3x ? f ( x), g (? x) ? 3? x ? 3x ? ? g ( x) .

考点二:函数奇偶性的证明 3、已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) , ⑴ 求证: f ( x) 是奇函数;⑵ 若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12) . 解: (1)显然 f ( x) 的定义域是 R ,它关于原点对称.在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) 中, 令 y ? ?x ,得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ,∴ f (0) ? 0 , ∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) 是奇函数. (2)由 f (?3) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) 及 f ( x) 是奇函数, 得 f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ?4 f (?3) ? ?4a . 考点三:函数奇偶性的应用 函数奇偶性常见的应用问题有:⑴ 利用奇、偶性求参数的取值或求代数式的值;⑵ 利用奇、偶性求 函数解析式或化简解析式. 4. (2010 重庆)函数 f ? x ? ? A. 关于原点对称

4x ? 1 的图象 2x
C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

B. 关于直线 y=x 对称

4?x ? 1 1 ? 4 x ? ? f ( x) ? f (x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称 解: f (? x) ? 2?x 2x
5.(2010 课标)设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} )

D.{x|x<-2 或 x>2}

解:f(x-2)>0 等价于 f(|x-2|)>0=f(2),又∵f(x)=x3-8(x≥0)为增函数,∴|x-2|>2.解得 x>4 或 x<0.
3

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6、定义在 R 上的奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,又 f(-3)=0,则不等式 xf(x)<0 的解集为 A.(-3,0)∪(0,3) C.(-3,0)∪(3,+∞) 解:由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 7.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围 是( ) B.(2,+∞) C.(-∞-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)

A.(-∞,2)

解:由图象法可解,由函数的性质可画出其图象如图所示. 显然 f(x)<0 的解集为{x|-2<x<2} 1 8、已知函数 f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,且 f( )>0>f(- 3), 2 则方程 f(x)=0 的根的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

1 解:由于函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,因此在(-∞,0)上单调递增,又因为 f( )>0>f(- 3) 2 1 1 =f( 3),所以函数 f(x)在( , 3)上与 x 轴有一个交点,必在(- 3,- )上也有一个交点,故方程 f(x)=0 2 2 的根的个数为 2. 9.(10 山东)设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数) ,则 f (?1) ?
x

(A)-3 答案:A

(B)-1

(C)1

(D)3

10、(2010 江苏)设函数 f ( x) ? x e ? ae
x

?

?x

??x ? R?是偶函数,则实数 a=________.
- - -

解法一:函数的定义域关于原点对称,令 g(x)=ex+ae x, 由 f(x)是偶函数,知 g(x)为奇函数,即 g(-x)=-g(x),e x+aex=-ex-ae x, 即(1+a)e x+(1+a)ex=0,对一切 x∈R 恒成立,故 a=-1.故填-1. 解法二:∵f(x)是偶函数,∴g(x)=ex+ae x 为奇函数,∴g(0)=e0+ae0=0,故 a=-1.故填-1. 11、 若函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? (0,??) 时,f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 那么当 x ? (??,0) 时,
- -

f (x) =_______ x(1 ? 3 x )
12. 已知 f ? x ? 是奇函数, x ? ?0,1? 时,f ? x ? ? lg 当

1 , 那么当 x ? ?? 1,0? 时,f ? x ? 的表达式是________. 1? x
1 =lg(1-x). 1? x

4

解:当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1) ,∴f(x)=-f(-x)=-lg 13. 若 f (x) 是奇函数, g (x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ?

1 , 则 f (x) = x ?1

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14、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(-2)= 解:因为 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x) , 设 x<0,所以 f(x)=-f(-x)=-f(1-x) ,所以 f(-2)=-log33=-1。



点评:该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。 15. 若 f(x)=

a ? 2x ? a ? 2 为奇函数,求实数 a 的值. 2x ?1
2 2 +a- ?x =0,得 a=1. 2 ?1 2 ?1
x

解:∵x∈R,∴要使 f(x)为奇函数,需 f(x)+f(-x)=0,即 a- 16. 已知函数 f(x)=

ax 2 ? 1 (a、b、c∈Z)是奇函数,又 f(1)=2,f(2)<3,求 a、b、c 的值. bx ? c
由 f(1)=2,得 a+1=2b.

解:由 f(-x)=-f(x) ,得-bx+c=-(bx+c). ∴c=0. 由 f(2)<3,得

4a ? 1 <3, 解得-1<a<2.又 a∈Z, a ?1 1 ∴a=0 或 a=1.若 a=0,则 b= ,与 b∈Z 矛盾.∴a=1,b=1,c=0. 2
17、设定义在 ?? 2,2? 上的偶函数 g ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? 单调递减,若 g ?1 ? m? ? g ?m? 成立,求实数 m 的取值范围. 解:由 g(1-m)<g(m)及 g(x)为偶函数,可得 g(|1-m|)<g(|m|).又 g(x)在(0,+∞) 上单调递减,∴|1-m|>|m|,且|1-m|≤2,|m|≤2,解得-1≤m< 说明:也可以作出 g(x)的示意图,结合图形进行分析. 18、已知函数 f ? x ? ? x?

1 . 2

1? ? 1 (1)判断 f ? x ? 的奇偶性; ? ?, x ? 2 ?1 2 ?

(2)证明: f ?x ? ? 0 。

解: (1)f(x)=x·

2x ?1 ,其定义域为 x≠0 的实数. 2( 2 x ? 1)

又 f(-x)=-x·

2?x ? 1 1? 2x 2x ?1 =-x· =x· =f(x) ,∴f(x)为偶函数. 2(2 ? x ? 1) 2(1 ? 2 x ) 2( 2 x ? 1)
又 f(x)是偶函数,且当 x<0 时-x>0,

(2)证明:由解析式易见,当 x>0 时,有 f(x)>0.

∴当 x<0 时 f(x)=f(-x)>0, 即对于 x≠0 的任何实数 x,均有 f(x)>0. 考点四:函数的周期性 函数的周期性是高考的热点之一,常考查的题型有: ⑴判定函数的周期性,并求其最小正周期. ⑵利用函数的周期性,求特定函数值或求函数表达式. ⑶结合函数的其他性质解决有关问题的综合应用.
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19、(2010 高考)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=( A.-1 B.1 C.-2 D.2

)

解:由于 f(x)的周期为 5,∴f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1). 又 f(x)为在 R 上的奇函数,∴f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1. 20、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式;(3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2011). 解:(1)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数,∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得 x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=?=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2011)=0. [思维拓展] 本例(3)不易找到思路而无法进行,原因是不能灵活运用函数的奇偶性、周期性. 21、已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x)+f(x-1)=1,当 x∈[0,1]时,有 f(x)=x2,现有三个命题: ①f(x)是以 2 为周期的函数;②当 x∈[1,2]时,f(x)=-x2+2x;③f(x)是偶函数. 其中正确命题的序号是_ 解:①正确.∵f(x)+f(x-1)=1 (2)-(1)得 (1) . ∴f(x+1)+f(x)=1(2)

f(x+1)-f(x-1)=0,∴f(x+1)=f(x-1),则 f(x+2)=f(x),∴f(x)是以 2 为周期的函数.

②正确.当 x∈[1,2]时,x-1∈[0,1],∴f(x)=1-f(x-1)=1-(x-1)2=2x-x2(x∈[0,1]时,f(x)=x2). ③错误.当 x∈[-1,0]时,x+1∈[0,1].∴f(x)=1-f(x+1)=1-(x+1)2,∴f(x)=-x2-2x. 又∵-x∈[0,1],∴f(-x)=(-x)2=x2,∴f(x)≠f(-x),f(x)不是偶函数. 答案:①② 四、反馈练习 1、下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( A.f(x)=sinx B.f(x)=-|x+1| 1 - C.f(x)= (ax+a x) 2 ) 2-x D.f(x)=ln 2+x

2-x 1 - 解:y=sinx 与 y=ln 为奇函数,而 y= (ax+a x)为偶函数,y=-|x+1|是非奇非偶函数. 2 2+x y=sinx 在[-1,1]上为增函数.故选 D.

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2.已知 f(x)与 g(x)分别是定义在 R 上奇函数与偶函数,若 f(x)+g(x)=log2(x2+x+2),则 f(1)等于( 1 A.- 2 1 B. 2 C.1 3 D. 2

)

? ? ?f?1?+g?1?=2 ?f?1?+g?1?=2 1 解:由条件知,? ,∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.∴? ,∴f(1)= . 2 ? ? ?f?-1?+g?-1?=1 ?g?1?-f?1?=1

3. 已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+2)=f(x),若 f(x)在[-1,0]上是减函数,则 f(x)在[2,3]上是 A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数

解:由 f(x+2)=f(x)得出周期 T=2,∵f(x)在[-1,0]上为减函数, 又 f(x)为偶函数,∴f(x)在[0,1]上为增函数,从而 f(x)在[2,3]上为增函数. 4.已知函数 f(x)是定义在区间[-a,a](a>0)上的奇函数,且存在最大值与最小值.若 g(x)=f(x)+2,则 g(x) 的最大值与最小值之和为( A.0 B.2 ) C.4 D.不能确定

解:∵f(x)是定义在[-a,a]上的奇函数,∴f(x)的最大值与最小值之和为 0,又 g(x)=f(x)+2 是将 f(x)的图 象向上平移 2 个单位得到的,故 g(x)的最大值与最小值比 f(x)的最大值与最小值都大 2,故其和为 4. 1+f?x? 5.已知函数 f(x)满足:f(1)=2,f(x+1)= ,则 f(2011)等于( 1-f?x? A.2 B.-3 1 C.- 2 ) 1 D. 3

1 1 解:条件知,f(2)=-3,f(3)=- ,f(4)= ,f(5)=f(1)=2,故 f(x+4)=f(x) (x∈N*). 2 3 1 ∴f(x)的周期为 4, 故 f(2011)=f(3)=- . 2 1+f?x+1? 1 [点评] 严格推证如下: f(x+2)= =- , 1-f?x+1? f?x? ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f(x).即 f(x)周期为 4. 故 f(4k+x)=f(x),(x∈N*,k∈N*), ) D.(-∞,0)∪(1,+∞) x+1 0< <1,∴-1<x<0,. 1-x

2 6.设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是(

?

?

A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(-∞,0)

x+1 解:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴a=-1.∴f(x)=lg ,由 f(x)<0 得 1-x x 7、函数 y= ,x∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象中的( sinx )

π 6 x 2 π π 解:∵y= 是偶函数,排除 A,当 x=2 时,y= >2,排除 D,当 x= 时,y= = >1,排除 B, sinx sin2 6 π 3 sin 6 故选 C.
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1 8. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, y=f(x)的图象关于直线 x= 对称, f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_____. 且 则 2 1 1 1 解:∵f(x)的图象关于直线 x= 对称,∴f?2+x?=f?2-x?,对任意 x∈R 都成立, ? ? ? ? 2 ∴f(x)=f(1-x),又 f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-f(1+x)=f(-1-x)=f(2+x), ∴周期 T=2 ∴f(0)=f(2)=f(4)=0 1 又 f(1)与 f(0)关于 x= 对称∴f(1)=0 ∴f(3)=f(5)=0 填 0. 2

2x 9.若 f(x)=lg?1+x+a?(a∈R)是奇函数,则 a=________.

?

?

2x 解:∵f(x)=lg?1+x+a?是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0 恒成立,

?

?

2x ?-2x+a?=lg? 2x +a?? 2x +a?=0. 即 lg?1+x+a?+lg? ? ? ? ?1+x ??x-1 ? ?1-x ? 2x 2x ∴?1+x+a??x-1+a?=1,

?

??

?

∴(a2+4a+3)x2-(a2-1)=0,

? 2 ?a +4a+3=0 ∵上式对定义内的任意 x 都成立, ∴? 2 ,∴a=-1. ? ?a -1=0

[点评] ①可以先将真数通分,再利用 f(-x)=-f(x)恒成立求解,运算过程稍简单些. ②如果利用奇函数定义域的特点考虑,则问题变得比较简单.f(x)=lg ?a+2?x+a 为奇函数,显然 x= 1+x

a -1 不在 f(x)的定义域内,故 x=1 也不在 f(x)的定义域内,令 x=- =1,得 a=-1.故平时解题中要多 a+2 思少算,培养观察、分析、捕捉信息的能力. a 10、已知函数 f(x)=lg?-1+2+x?为奇函数,则使不等式 f(x)<-1 成立的 x 的取值范围是________.

?

?

解: ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0 恒成立, a a a a ∴lg?-1+2-x?+lg?-1+2+x?=lg?-1+2-x??-1+2+x?=0,

?

?

?

?

?

??

?

a a 4-a ∴?-1+2-x??-1+2+x?=1, ∵a≠0,∴ 2 =0,∴a=4, ? ?? ? x -4 4 2-x ∴f(x)=lg?-1+2+x?=lg , ? ? x+2 2-x 由 f(x)<-1 得,lg <-1, 2+x 2-x 1 18 18 由 < 得,x<-2 或 x> ,∴ <x<2. 11 11 2+x 10

2-x 1 2-x ∴0< < ,由 >0 得,-2<x<2, 2+x 10 2+x

11、判断下列函数的奇偶性: 16x+1+2x (1)f(x)= ; 2x

?ln( x+1+ (2) f(x)=?0 (x=0) ?ln( 1-x+

x)

(x>0) ;

-x) (x<0)
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(3)f(x)=log2( 1-x + x -1+1); 12. 设 a ? 0 , f ?x ? ?

2

2

a2-x2 (4) f(x)= (常数 a≠0). |x+a|-a

ex a ? 是 R 的偶函数,⑴求 a 的值;⑵证明 f ? x ? 在 ?0,??? 上是增函数。 a ex

4 13.已知函数 f(x)=1- x (a>0 且 a≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数. 2a +a (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的值域; (3)当 x∈(0,1]时,tf(x)≥2x-2 恒成立,求实数 t 的取值范围. 解:(1)∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,即 f(-x)=-f(x)恒成立,∴f(0)=0. 即 1- 4 =0, 2×a0+a 解得 a=2. 1+y 由 2x>0 知 >0, ∴-1<y<1,即 f(x)的值域为(-1,1). 1-y

2x-1 1+y (2)∵y= x ,∴2x= , 2 +1 1-y

t·x-t x 2 (3)不等式 tf(x)≥2x-2 即为 x ≥2 -2. 即:(2x)2-(t+1)·x+t-2≤0.设 2x=u, 2 2 +1 ∵x∈(0,1],∴u∈(1,2]. ∵u∈(1,2]时 u2-(t+1)· u+t-2≤0 恒成立.
?12-?t+1?×1+t-2≤0 ? ∴? 2 ,解得 t≥0. ? ?2 -?t+1?×2+t-2≤0

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