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竞赛数列专题


数列专题 1、数列 ? an ? 的前 N 项和 sn ? n ? 2n ,则 a3 ? a17 ?
2



? an an为偶数 ? , 2、已知数列 ? an ? 满足: a1 ? m(m 为正整数) an ?1 ? ? 2 , ,若 a4 =7 ,则 ?3a ? 1, a 为奇数 n ? n
m 的所有可能值为



a 3、已知正项等比数列 ? an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 am ? n ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n



4、数列 ? an ? 是等差数列,其中 a1 ? 0, sn 表示前 n 项和,如果 s3 ? s11 ,若 sk 是数列 ? sn ? 的 最大值,则 k ? 。 .

5、等差数列 ? an ? 中, a1 ? 0,5a8 ? 8a13 ,则前 n 项和 sn 取最大值时,n= 6、设数列 ? an ? 的前 n 项和 sn ,令 Tn ?

s1 ? s2 ? ....... ? sn ,称 Tn 为 a1 , a2 ,.......an 的均数, n
。 。

已知数列 a1 , a2 ,.......a1005 的均数为 2012,那么 ?1, a1 , a2 ,.......a1005 的均数为 7、等差数列 ? an ? 中, a20 ?

1 1 1 , a201 ? , a2012 ? , 则1992ac ? 1811bc ? 181ab ? a b c

8、已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

? n ? 1? an ,求数列
2n

?an ? 的前 n 项和为



2 9、 各项均为正数的等比数列 ? an ? 中, a4 ? a3 ? 2a2 ? a1 ? 8 , 2a8 ? a7 的最小值为 则



? an an为偶数 ? , 10、 已知数列 ? an ? 满足:a1 为正整数,an ?1 ? ? 2 , 如果 a1 ? a2 ? a3 ? 29, ?3a ? 1, a 为奇数 n ? n
则 a1 ? 。

11、设等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 sn ,满足 sn ?

? an ? 1?
4

2

,则 s20 的值为 。



12、在等差数列 ? an ? 中,若 s4 ? 4, s5 ? 15, 则 a4 的最小值

13、电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字 1 或 2,将输出的前 n 个数字之和被 3 整除的概 率记为 Pn ,证明: (1) Pn ?1 ?

1 1 (2) ?1 ? Pn ? , P2012 ? 。 2 3

14、设数列 ? an ? 的前 n 项和为 sn 满足: s2 ? 3, 2sn ? n ? nan (1) 求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 求数列 cn ? ?

n为奇数 ? an ?1 ? 的前 2n 项和 T2n 。 an ?1 ?3 ? 2 ? 1, n为偶数 ?

15 、 已 知 数 列 ? an ? 满 足 : a1 ?

1 3 , a 2 ? , an? 1? 2an ? an? (1n ? 2) , 数 列 ?bn ? 满 足 4 4

1 b1 ? ,3bn ? bn ?1 ? n(n ? 2) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 sn 4
(1) 证明:数列 ?bn ? an ? 为等比数列; (2) 若 b1 ?

11 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 sn 。 12

2 16、设递增数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 ,

(1) 求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 证明:

1 1 1 1 ? ? ? .............. ? ? 2 。 a1 a2 a3 an

2 2 17、给定正整数 n,对于满足 a1 ? an ?1 ?

2 n ?1 2 的等差数列 ? an ? ,证明: ? ai ? n ? 1 。 5 i ? n ?1

18、已知等差数列 ? an ? , a2 ? 5, a8 ? 23, ,数列 ?bn ? 是各项均为正数的等比数列, b1 ? 2 , 且对任意的正整数 s, t 都有 bs ?t ? bs ? b 成立 (1) 求数列 ? an ? , ?bn ? 的通项公式; (2) 求证:数列 ?bn ? 中有无数多项在数列 ? an ? 中。

19、数列 ? xn ? 中, x1 ? 1, xn ?1 ? 1 ?

1 xn ? 1

(1) 设 an ?

1 ,求数列 ? an ? 的通项公式; xn ? 2

(2) 设 bn ? xn ? 2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 sn ,证明: sn ?

2 。 2

20 、 已 知 正 项 数 列

? an ?

满 足

2 an an ?1 ? an an ? 2? 4 an an ? ? an ? ? 1 an an ? 且 3 1 1

a1 ? 1, a2 ? 8 ,则求数列 ?an ? 的通项公式。

21、设函数 f n ? x ? ? x ?1 ? x ? 在 ? ,1? 的最大值为 an , ?2 ?
n 2

?1 ?

(1) 求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 求证:对任何正整数 n(n ? 2) ,都有 an ?

1

? n ? 2?

2

成立;

(3) 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 sn ,求证:对任意正整数 n,都有 sn ?

7 成立。 16

22、已知数列 ? an ? 满足

an ?1 ? an ? 1 ? n ,且 a2 ? 6 , an ?1 ? an ? 1

(1) 求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 设 bn ? 项和。

an b ,c 为非零常数,若 ?bn ? 为等差数列,设 cn ? n ,求数列 ?cn ? 前 n n?c 2n

23、设数列 ? an ? 满足 a1 ? 3, a2 ? 8, an ? 2 ? 2an ?1 ? 2an ,求数列 ? an ? 的通项公式?

24、设数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, an ? an ?1 ? (1) 当 n ? 2 时, an ?

1 (n ? 2) ,证明: an ?1

2n ; 2n ? c 对所有 n 都成立。

(2) 不存在实数 C 使得 an ?


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