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2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式)


课时提能演练(二十一)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2012·揭阳模拟)在△ABC 中,tanA+tanB+ 3= 3tanA·tanB, 则C等 于( π (A) 3 ) 2π (B) 3 π (C) 6 ) π (D) 4 100 分)

2.函数 f(x)=2sinxcosx 是( (A)最小正周期为 2π

的奇函数 (B)最小正周期为 2π 的偶函数 (C)最小正周期为 π 的奇函数 (D)最小正周期为 π 的偶函数

cos2α 2 3.(2012·佛山模拟)若 =- ,则 cosα +sinα 的值 π 2 sin(α - ) 4 为( (A)- ) 7 2 1 (B)- 2 1 (C) 2 (D) 7 2

1 π 4.若 tanα =lg(10a),tanβ =lg ,且 α +β = ,则实数 a 的值 a 4 为( (A)1 ) 1 (B) 10 1 (C)1 或 10 (D)1 或 10

m-3 4-2m π 5.(2012·汕头模拟)已知 sinθ = , cosθ = ( <θ <π ), m+5 m+5 2

θ 则 tan 等于( 2 m-3 (A) 9-m

) m-3 (B)| | 9-m 1 (C) 3 (D)5

π 1+ 2cos(2α - ) 4 3 6.(预测题)已知角 α 在第一象限且 cosα = , 则 5 π sin(α + ) 2 =( 2 (A) 5 ) 7 (B) 5 14 (C) 5 2 (D)- 5

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 3 π sin2α 7.已知 sinα = ,且 α ∈[ ,π ],那么 = 5 2 cos2α .

8.如果 tanα 、tanβ 是方程 x2-3x-3=0 的两根,则 tan(α +β ) = .

9.(易错题)已知:0°<α <90°,0°<α +β <90°,3sinβ = sin(2α +β ),则 tanβ 的最大值是 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 3 12 π 10.已知 sin(2α -β )= , sinβ =- , 且 α ∈( , π ), β ∈(- 5 13 2 π ,0),求 sinα 的值. 2 11.(2012·湛江模拟)已知函数 f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π π (2)试比较 f(- )与 f( )的大小. 12 6 .

【探究创新】 (16 分)函数 f(x)= 3 1+cos2x 1 sin2x- - . 2 2 2

π π (1)若 x∈[ , ],求函数 f(x)的最值及对应的 x 的值. 4 2 π π (2)若不等式[f(x)-m]2<1 在 x∈[ , ]上恒成立,求实数 m 的取 4 2 值范围.

答案解析
1.【解析】选 A.由题意得, tanA+tanB=- 3(1-tanAtanB), tanA+tanB ∴ =- 3,即 tan(A+B)=- 3, 1-tanAtanB 又 tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)= 3, ∴C= π . 3

2. 【解析】选 C.f(x)=2sinxcosx=sin2x,所以 T=π,且是奇函 数. cos2α cos2α-sin2α 3.【解析】选 C. = π π π sin(α- ) sinαcos -cosαsin 4 4 4 (cosα-sinα)(cosα+sinα) = 2 (sinα-cosα) 2 =- 2(sinα+cosα)=- 1 ∴sinα+cosα= . 2 4.【解题指南】利用两角和的正切公式求出 tan(α+β)的值,然后 转化成关于 lga 的一元二次方程求得 lga 的值进而求出 a 的值. 【解析】选 C.tan(α+β)=1 ? 1 lg(10a)+lg a tanα+tanβ 1-tanαtanβ 2 , 2

= =1 ?lg2a+lga=0, 1 1-lg(10a)·lg a 1 所以 lga=0 或 lga=-1,即 a=1 或 . 10 5.【解析】选 D.由于受条件及 sin2θ+cos2θ=1 的制约,故 m 为一 θ 确定的值,于是 sinθ,cosθ的值与 m 无关,进而推知 tan 的值与 2 π π θ π θ m 无关,又 <θ<π, < < ,∴tan >1,故选 D. 2 4 2 2 2 3 6.【解析】选 C.角α是第一象限角且 cosα= , 5

4 ∴sinα= , 5 π 1+ 2cos(2α- ) 4 1+cos2α+sin2α ∴ = π cosα sin(α+ ) 2 2cos2α+2sinαcosα 14 = =2cosα+2sinα= . cosα 5 sin2α 2sinαcosα 2sinα 7.【解析】 = = =2tanα. cos2α cos2α cosα 3 π ∵sinα= ,α∈[ ,π], 5 2 4 3 3 ∴cosα=- ,∴tanα=- ,2tanα=- . 5 4 2 3 答案:- 2 8.【解题指南】利用根与系数的关系得到 tanα+tanβ,tanα·tan β的值,代入公式即可. 【解析】由根与系数的关系得 tanα+tanβ=3, 3 3 tanα·tanβ=-3,∴tan(α+β)= = . 1+3 4 3 答案: 4 9.【解析】由 3sinβ=sin(2α+β)得 3sin(α+β-α)=sin(α +β+α), 化简得 sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα, ∴tan(α+β)=2tanα,

tan(α+β)-tanα ∴tanβ=tan(α+β-α)= 1+tan(α+β)tanα = tanα 1 = , 2 1+2tan α 1 +2tanα tanα

1 ∵ +2tanα≥2 2, tanα 1 2 ∴tanβ的最大值为 = . 2 2 4 答案: 2 4

【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用 (1)三角函数和、差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因 此公式的灵活应用非常关键,公式可以正用、逆用、变形应用. (2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换出现和 或差的形式,出现能逆用公式的条件;有时通过两式平方相加减,利 用平方关系式,切函数化成弦函数等技巧. 10.【解题指南】先根据已知条件确定 2α-β的范围,求其余弦值, 再求β的余弦值,通过变换把 2α写成(2α-β)+β并求其余弦值, 最后求 sinα. π 【解析】∵ <α<π,∴π<2α<2π. 2 π π 5π 又∵- <β<0,∴0<-β< .∴π<2α-β< . 2 2 2 3 而 sin(2α-β)= >0, 5

5π 4 ∴2π<2α-β< ,cos(2α-β)= . 2 5 π 12 又∵- <β<0 且 sinβ=- . 2 13 5 ∴cosβ= . 13 ∴cos2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ 4 5 3 12 56 = × - ×(- )= . 5 13 5 13 65 9 又 cos2α=1-2sin2α,∴sin2α= , 130 π 3 130 又α∈( ,π),∴sinα= . 2 130 11.【解析】(1)f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x =1+2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x = 2( 2 2 sin2x- cos2x) 2 2

π = 2sin(2x- ), 4 2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π π (2)令 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),可得 2 4 2 π 3π kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8 π 3 令 k=0,∴函数 f(x)在区间[- , π]上单调递增. 8 8

π π π 3π π π ∵- , ∈[- , ],∴f(- )<f( ). 12 6 8 8 12 6 π π 【变式备选】已知 0<α< ,0<β< 且 3sinβ=sin(2α+ 4 4 α α β),4tan =1-tan2 ,求α+β的值. 2 2 α α 【解析】由 4tan =1-tan2 得 2 2 α 2tan 2 1 tanα= = . α 2 1-tan2 2 由 3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α], 得 3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα, ∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα. ∴tan(α+β)=2tanα. ∴tan(α+β)=1. π π π 又∵0<α< ,0<β< ,∴0<α+β< , 4 4 2 π ∴α+β= . 4 【探究创新】 【解题指南】 (1)先利用所学公式把 f(x)变换成 f(x)=Asin(ωx+φ) +b 的形式.利用 x 所给范围,求得最值及对应 x 的值;(2)利用不等 式变换转化成函数恒成立问题求解.

【解析】(1)f(x)=

3 1+cos2x 1 3 1 sin2x- - = sin2x- cos2x-1 2 2 2 2 2

π =sin(2x- )-1, 6 π π π π 5π ∵x∈[ , ],∴ ≤2x- ≤ , 4 2 3 6 6 π π π 当 2x- = 时,即 x= 时,f(x)max=0, 6 2 3 π 5π π 1 当 2x- = 时,即 x= 时,f(x)min=- . 6 6 2 2 π π (2)方法一: ∵[f(x)-m]2<1 ? f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[ , ]), 4 2 ∴m>f(x)max-1 且 m<f(x)min+1, 1 故 m 的范围为(-1, ). 2 方法二:∵[f(x)-m]2<1 ? m-1<f(x)<m+1, 1 1 ∴m-1<- 且 m+1>0,故-1<m< , 2 2 1 综上 m 的取值范围是(-1, ). 2


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