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江西省宜春市奉新一中2015届高考数学模拟试卷(理科)


江西省宜春市奉新一中 2015 届高考数学模拟试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分). 1. (5 分)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是() A.R B.{1,2} C.{﹣1,0,1}

D.{x|x≤1}

2. (5 分)若复数 z 满足(z﹣3) (2﹣i)=5(i 为虚数单位) ,则 z 为() A.2﹣i B.2+i C.5﹣i D.5+i 3. (5 分)已知 m∈R,“函数 y=2 +m﹣1 有零点”是“函数 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数” 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (5 分)已知数列{an},{bn}满足 bn=log2an,n∈N ,其中{bn}是等差数列,且 a8?a2008= , 则 b1+b2+b3+…+b2015=() A.log22015 B.2015 5. (5 分)已知 A. B.
* x

C.﹣2015 ,则下列不等式一定成立的是()

D.1008

C.ln(a﹣b)>0

D.3

a﹣b

<1

6. (5 分)如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图.估计 这批产品的中位数为()

A.20

B.25

C.22.5

D.22.75

7. (5 分)函数 f(x)=sin(ωx+φ) (其中|φ|< 象,只需把 y=f(x)的图象上所有点()

)的图象如图所示,为了得到 y=sinωx 的图

A.向左平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度

8. (5 分)已知实数 x,y 满足

,若目标函数 z=﹣mx+y 的最大值为﹣2m+10,

最小值为﹣2m﹣2,则实数 m 的取值范围是() A. B. C.

D.

9. (5 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点为 F1,F2,P 为椭圆上一点,且|PF1|?|PF2| ,则椭圆的离心率的取值范围是()

的最大值的取值范围是,其中 c= A. B.

10. (5 分)若 G 是△ ABC 的重心,且 A.30° B.45° C.60°

,则角 A=() D.90°

11. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为()

A.

B.

C.

D.3

12. (5 分)已知函数 f(x)= =a 的实根个数不可能为() A.5 个 B. 6 个

,则关于 x 的方程 f(x+ ﹣2)

C. 7 个

D.8 个

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上. 13. (5 分)有 4 名优秀学生 A,B,C,D 全部被保送到北京大学,清华大学,复旦大学,每 所学校至少去一名,则不同的保送方案共有种. 14. (5 分)阅读如图所示的程序框图,若输入 a 的值为二项( 则输出的 k 值为. + ) 展开式的常数项,
9

15. (5 分)已知矩形 A BCD 的周长为 18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱 柱的体积最大时,它的外接球的表面积为.

16. (5 分) 我们把离心率 e= 出以下几个说法:

的双曲线

称为黄金双曲线. 给

(1)双曲线 x ﹣
2

2

=1 是黄金双曲线;

(2)若 b =ac,则该双曲线是黄金双曲线; (3)若 MN 经过右焦点 F2 且 MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线; (4)若 F1,F2 为左右焦点,A1,A2 为左右顶点,B1(0,b) ,B2(0,﹣b)且∠F1B1A2=90°, 则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本大题共 5 小题,满分 58 分.) 2 2 2 17. (10 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c 满足 b +c =bc+a . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列,求{ 的前 n 项和 Sn. 18. (12 分)第 117 届中国进出口商品交易会(简称春季交广会)将于 4 月 15 日在广州市举 行,为了搞好接待工作,组委会在广州某大学分别招募 8 名男志愿者和 12 名女志愿者,现将 这 20 名志愿者的身高组成如下茎叶图(单位:m) ,若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义 为“高个子”,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”. (1)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数(保留一位小数) ; (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ξ 表示所选志愿者中为女志愿者的人数,试写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望. }

19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧棱 PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°, PA=AB=BC=2,AD=1,M 是棱 PB 中点. (Ⅰ)求证:AM∥平面 PCD; (Ⅱ)设点 N 是线段 CD 上一动点,且 DN=λDC,当直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大时, 求 λ 的值.

20. (12 分)如图,F1,F2 为椭圆 C:

(a>b>0)的左、右焦点,D,E 是椭圆的

两个顶点,椭圆的离心率 e=



.若点 M(x0,y0)在椭圆 C 上,则点 N





)称为点 M 的一个“椭点”.直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,A,B 两点的“椭点”分

别为 P,Q,已知以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)△ AOB 的面积是否为定值?若为定值,试求出该定值;若不为定值,请说明理由.

21. (12 分)函数 f(x)=x +mln(x+1) . (1)若函数 f(x)是定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=﹣1,试比较当 x∈(0,+∞)时,f(x)与 x 的大 小; (3)证明:对任意的正整数 n,不等式 e +e
0
﹣1×4

2

3

+e

﹣2×9

+…+e



成立.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 12 分) 22. (12 分)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半

轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρ=



(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出 P 点的坐标.

【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.已知函数 f(x)=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|. (Ⅰ)当 m=5 时,求不等式 f(x)>2 的解集; 2 (Ⅱ)若二次函数 y=x +2x+3 与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,求实数 m 的取值范围.

江西省宜春市奉新一中 2015 届高考数学模拟试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分). 1. (5 分)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是() A.R B.{1,2} C.{﹣1,0,1}

D.{x|x≤1}

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据 A,以及 A 与 B 的交集为 B,得到 B 中元素大于等于 0,即可做出判断. 解答: 解:∵A={x|x≥0},且 A∩B=B, ∴B 可能为{1,2}, 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)若复数 z 满足(z﹣3) (2﹣i)=5(i 为虚数单位) ,则 z 为() A.2﹣i B.2+i C.5﹣i D.5+i 考点: 专题: 分析: 解答: 则 z= 复数的代数表示法及其几何意义. 数系的扩充和复数. 直接利用复数的运算法则化简求解即可. 解:复数 z 满足(z﹣3) (2﹣i)=5, = =5+i.

故选:D. 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的除法运算,基本知识的考查. 3. (5 分)已知 m∈R,“函数 y=2 +m﹣1 有零点”是“函数 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数” 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据函数的性质求出 m 的等价条件, 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. x 解答: 解:若函数 y=f(x)=2 +m﹣1 有零点,则 f(0)=1+m﹣1=m<1, 当 m≤0 时,函数 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数 不成立,即充分性不成立, x 若 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数,则 0<m<1,此时函数 y=2 +m﹣1 有零点成立,即必 要性成立, x 故“函数 y=2 +m﹣1 有零点”是“函数 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数零点和对数函数的性质求出等 价条件是解决本题的关键.
x

4. (5 分)已知数列{an},{bn}满足 bn=log2an,n∈N ,其中{bn}是等差数列,且 a8?a2008= , 则 b1+b2+b3+…+b2015=() A.log22015 B.2015 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由于数列{an},{bn}满足 bn=log2an,n∈N ,其中{bn}是等差数列,可得数列{an}是等 比数列, 由等比数列的性质可得 a1?a2015=a2?a2014=…=a1007?a1009=a10082= , 再利用对数的运算 性质即可得出. 解答: 解:∵数列{an},{bn}满足 bn=log2an,n∈N ,其中{bn}是等差数列, ∴数列{an}是等比数列, 由 a8?a2008= ,可得 a10082= ,即 a1008= , ∴a1?a2015=a2?a2014=…=a1007?a1009=a10082= , ∴b1+b2+b3+…+b2015=log2(a1?a2?…?a2015)=log2( )
2015 * *

*

C.﹣2015

D.1008

=﹣2015.

故选:C. 点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、对数的运算法则,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题. 5. (5 分)已知 A. B. ,则下列不等式一定成立的是()
a﹣b

C.ln(a﹣b)>0

D.3

<1

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意得出 a>b>0;利用指数函数 y= 与幂函数 y=x 的单调性判断 A 正
b

确, 利用作差法判断 B 错误,利用分类讨论法判断 C 错误,根据指数函数的性质判断 D 错误. 解答: 解:∵y= x 是定义域上的减函数,且 , ∴a>b>0; 又∵y= ∴
b

是定义域 R 上的减函数, < ;

又∵y=x 在(0,+∞)上是增函数, ∴ < ;

∴ ∵ ﹣ =



,A 正确; <0,∴ < ,B 错误;

当 1>a﹣b>0 时,ln(a﹣b)>0, 当 a﹣b≥1 时,ln(a﹣b)≤0,∴C 错误; ∵a﹣b>0,∴3 >1,D 错误. 故选:A. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数以及幂函数的图象与性质的应用问题,也考查了作 差法与分类讨论思想的应用问题,是基础题目. 6. (5 分)如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图.估计 这批产品的中位数为()
a﹣b

A.20

B.25

C.22.5

D.22.75

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图中,中位数的左右两边频率相等,列出等式,求出中位数即可. 解答: 解:根据频率分布直方图,得; ∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5, 0 .3+0.08×5=0.7>0.5; ∴中位数应在 20~25 内, 设中位数为 x,则 0.3+(x﹣20)×0.08=0.5, 解得 x=22.5; ∴这批产品的中位数是 22.5. 故选:C. 点评: 本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题,是基础题目.

7. (5 分)函数 f(x)=sin(ωx+φ) (其中|φ|< 象,只需把 y=f(x)的图象上所有点()

)的图象如图所示,为了得到 y=sinωx 的图

A.向左平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 首先根据函数图象求出函数的周期,进一步利用函数经过的点的坐标求出函数的解 析式,进一步利用函数的图象变换求出结果. 解答: 解:根据函数的图象 所以:T=π, , 当 x= 即:f( 解得:φ= 时,函数 f( )=sin(2 , ) . )向右平移 个单位, )=0, φ)=0. ,

所以:f(x)=sin(2x+

要得到 y=sin2x 的图象只需将函数 f(x)=sin(2x+ 即 y=sin(2x﹣ + )=sin2x.

故选:D. 点评: 本题考查的知识要点:三角函数解析式的求法,函数图象的平移变换问题.

8. (5 分)已知实数 x,y 满足

,若目标函数 z=﹣mx+y 的最大值为﹣2m+10,

最小值为﹣2m﹣2,则实数 m 的取值范围是() A. B. C. 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用.

D.

分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,由 z=﹣mx+y 的最大值为 ﹣2m+10,即当目标函数经过点(2,10)时,取得最大,当经过点(2,﹣2)时,取得最小 值,利用数形结合确定 m 的取值范围. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由目标函数 z=﹣mx+y 得 y=mx+z, 则直线的截距最大,z 最大,直线的截距最小,z 最小. ∵目标函数 z=﹣mx+y 的最大值为﹣2m+10,最小值为﹣2m﹣2, ∴当目标函数经过点(2,10)时,取得最大, 当经过点(2,﹣2)时,取得最小值, ∴目标函数 z=﹣mx+y 的目标函数的斜率 m 满足比 x+y=0 的斜率大, 比 2x﹣y+6=0 的斜率小, 即﹣1≤m≤2, 故选:A.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,确定目标函数的斜率是 解决本题的关键,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.

9. (5 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点为 F1,F2,P 为椭圆上一点,且|PF1|?|PF2| ,则椭圆的离心率的取值范围是()

的最大值的取值范围是,其中 c= A. B.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 2 分析: 根据题意,|PF1|?|PF2|的最大值为 a ,则由题意知 2c ≤a ≤3c ,由此能够导出椭圆 m 的离心率 e 的取值范围. 解答: 解:∵|PF1|+|PF2|=2a 2 ∴|PF1|?|PF2|≤a , 2 ∴|PF1|?|PF2|max=a , 2 2 2 ∴由题意知 2c ≤a ≤3c , ∴ c≤a≤ c,





故椭圆 m 的离心率 e 的取值范围. 故选:D. 2 点评: 本题考查椭圆的方程与性质,确定|PF1|?|PF2|的最大值=a 是正确解题的关键. 10. (5 分)若 G 是△ ABC 的重心,且 A.30° B.45° C.60° ,则角 A=() D.90°

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 综合题;平面向量及应用. 分析: 根据重心性质可知: (b﹣ c) = .因为 , + + = ,由 ,知(a﹣ c,由余弦定理可得:cosA= c) +

不共线,所以 a=b=

,由此

能求出∠A. 解答: 解:根据重心性质可知: ∵ ∴(a﹣ ∵ , c) +(b﹣ , c) = . + + = ,

不共线, c, ,

∴a=b=

由余弦定理可得:cosA=

∴A=30°. 故选 A. 点评: 本题考查了三角形重心对应的向量条件的应用,即把几何问题转化为向量问题,利 用和角的正切公式,属于中档题. 11. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为()

A.

B.

C.

D.3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知, 几何体的直观图如图所示, 平面 AED⊥平面 BCDE, 四棱锥 A﹣BCDE 的高为 1,四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形,分别计算侧面积,即可得出结论. 解答: 解:由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面 AED⊥平面 BCDE,四棱锥 A ﹣BCDE 的高为 1,四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形,则 S△ AED= S△ ABC=S△ ADE= 故选:B. = ,S△ ACD= = , = ,

点评: 本题考查三视图与几何体的关系,几何体的侧面积的求法,考查计算能力.

12. (5 分)已知函数 f(x)= =a 的实根个数不可能为() A.5 个 B. 6 个 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用.

,则关于 x 的方程 f(x+ ﹣2)

C. 7 个

D.8 个

分析: 以 f(x)=1 的特殊情形为突破口,解出 x=1 或 3 或 或﹣4,将 x+ ﹣2 是为整体, 利用换元的思想方法进一步讨论, 解答: 解:因为 f(x)=1 时,x=1 或 3 或 或﹣4,则当 a=1 时,x+ ﹣2=1 或 3 或 或﹣4, 又因为,x+ ﹣2≥0 或≤﹣4, 所以当,x+ ﹣2=﹣4 时只有一个 x=﹣2 与之对应.

其它情况都有 2 个 x 值与之对应,故此时所求的方程有 7 个根. 当 1<a<2 时,y=f(x)与 y=a 有 4 个交点,故有 8 个根; 当 a=2 时,y=f(x)与 y=a 有 3 个交点,故有 6 个根;

综上:不可能有 5 个根,故选 A. 其图象如下图所示: 故选:A.

点评: 本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上. 13. (5 分)有 4 名优秀学生 A,B,C,D 全部被保送到北京大学,清华大学,复旦大学,每 所学校至少去一名,则不同的保送方案共有 36 种. 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 每所学校至少去一名,那就是有两名一定到同一所学校,先选择这两名同学,再排 列问题得以解决 2 解答: 解:第一步从 4 名优秀学生选出 2 个组成复合元素共有 C4 ,在把 3 个元素(包含一 3 个复合元素)保送到甲、乙、丙 3 所学校有 A3 , 2 3 根据分步计数原理不同保送方案共有 C4 A3 =36 种. 故答案为:36. 点评: 本题考查了排列组合的混合问题,先选后排是最最基本的指导思想,属于中档题. 14. (5 分)阅读如图所示的程序框图,若输入 a 的值为二项( 则输出的 k 值为 9. + ) 展开式的常数项,
9

考点: 二项式定理. 专题: 二项式定理. 分析: 根据二项式的通项公式求得 a= + 可得答案. 解答: 解:二项( 求得 r=1, 可得常数项为 a= . + + +…+ + ) 展开式的通项公式为 Tr+1=
9

,由程序框图可得,S 表示 = ,再由 S= ≤ ,求得 k 的最大值,

+

+…+

?19 ?

﹣r

,令

=0,

而由程序框图可得,S 表示 = = (1﹣ 由 S= ≤ )=

,k 为正整数.

,求得 k≤9,

故答案为:9. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数, 程序框图,属于基础题. 15. (5 分)已知矩形 A BCD 的周长为 18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱 柱的体积最大时, 它的外接球的表面积为 13π.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 正六棱柱的底面边长为 x,高为 y,则 6x+y=9,0<x<1.5,表示正六棱柱的体积, 利用基本不等式求最值,求出正六棱柱的外接球的半径,即可求出外接球的表面积. 解答: 解:设正六棱柱的底面边长为 x,高为 y,则 6x+y=9,0<x<1.5, 正六棱柱的体积 V= = ≤ = ,

当且仅当 x=1 时,等号成立,此时 y=3, 可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点,则半径为 ∴外接球的表面积为 =13π. = ,

故答案为:13π. 点评: 本题考查外接球的表面积,考查基本不等式的运用,确定正六棱柱的外接球的半径 是关键.

16. (5 分) 我们把离心率 e= 出以下几个说法: (1)双曲线 x ﹣
2 2

的双曲线

称为黄金双曲线. 给

=1 是黄金双曲线;

(2)若 b =ac,则该双曲线是黄金双曲线; (3)若 MN 经过右焦点 F2 且 MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线; (4)若 F1,F2 为左右焦点,A1,A2 为左右顶点,B1(0,b) ,B2(0,﹣b)且∠F1B1A2=90°, 则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为(1) (2) (3) (4) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)利用双曲线的简单性质分别求出离心率,再利用黄金双曲线的定义求解. (2)求出双曲线的定义求出离心率,根据黄金双曲线的定义求解. (3)根据条件求出双曲线的定义求出(2)的结论. (4)根据条件求出离心率求出(2)的结论. 解答: 解: (1)双曲线 x ﹣
2

=1 中,

∴双曲线 x ﹣

2

=1 是黄金双曲线,故(1)正确;

对于(2)∵e 对于(2)b =ac,则 e= 解得 或 e=

2

∴e ﹣e﹣1=0

2

(舍)∴该双曲线是黄金双曲线,故(2)正确;

对于(3)如图,MN 经过右焦点 F2 且 MN⊥F1F2,∠MON=90°, ∴NF2=OF2,∴ =c,∴b =ac,
2

由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(3)正确. 对于(4)如图,F1,F2 为左右焦点,A1,A2 为左右顶点, B1(0,b) ,B2(0,﹣b) ,且∠F1B1A2=90°, 2 2 2 2 2 2 ∴B1F1 +B1A2 =A2F1 ,即 b +2c =(a+c) , 2 整理,得 b =ac,由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(4)正确; 故答案为: (1) (2) (3) (4) .

点评: 本题考查黄金双曲线的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意双曲线的性质的 灵活运用. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本大题共 5 小题,满分 58 分.) 2 2 2 17. (10 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c 满足 b +c =bc+a . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列,求{ 的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等比数列的性质;余弦定理. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出
2

}

= ,所以 cosA= ,由此能求出 A=



(Ⅱ)由已知条件推导出(a1+3d) =(a1+d) (a1+7d) ,且 d≠0,由此能求出 an=2n,从而得以 = =
2 2

,进而能求出{
2

}的前 n 项和 Sn.

解答: 解: (Ⅰ)∵b +c ﹣a =bc,

∴ ∴cosA= , ∵A∈(0,π) ,∴A=

= ,



(Ⅱ)设{an}的公差为 d, ∵a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列 , ∴a1= =2,且
2

=a2?a8,

∴(a1+3d) =(a1+d) (a1+7d) ,且 d≠0,解得 d=2, ∴an=2n, ∴ = = )+( , )+…+( )

∴Sn=(1﹣ )+( =1﹣ = .

点评: 本题考查角的大小的求法,考查数列的前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真 审题,注意裂项求和法的合理运用. 18. (12 分)第 117 届中国进出口商品交易会(简称春季交广会)将于 4 月 15 日在广州市举 行,为了搞好接待工作,组委会在广州某大学分别招募 8 名男志愿者和 12 名女志愿者,现将 这 20 名志愿者的身高组成如下茎叶图(单位:m) ,若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义 为“高个子”,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”. (1)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数(保留一位小数) ; (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ξ 表示所选志愿者中为女志愿者的人数,试写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;茎叶图;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据茎叶图,利用平均数公式和中位数定义能求出男志愿者的平均身高和女志 愿者身高的中位数. (2)由茎叶图知“高个子”有 8 人,“非高个子”有 12 人,而男志愿者的“高个子”有 5 人,女志 愿者的高个子有 3 人,从而 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和数学期望.

解答: 解: (1)根据茎叶图,得: 男志愿者的平均身高为: 女志愿都身高的中位数为: =168.5(cm) . ≈176.1(cm) ,

(2)由茎叶图知“高个子”有 8 人,“非高个子”有 12 人, 而男志愿者的“高个子”有 5 人,女志愿者的高个子有 3 人, ∴ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P(ξ=0)= = ,

P(ξ=1)=

=



P(ξ=2)=

=



P(ξ=3)=

=



∴ξ 的分布列为: ξ 0 P ∴Eξ=

1

2

3

= .

点评: 本题考查平均数、中位数的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用. 19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧棱 PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°, PA=AB=BC=2,AD=1,M 是棱 PB 中点. (Ⅰ)求证:AM∥平面 PCD; (Ⅱ)设点 N 是线段 CD 上一动点,且 DN=λDC,当直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大时, 求 λ 的值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.

专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,求出 的坐标,再求出平面

平面 PCD 的一个法向量,即可证明 AM∥平面 PCD; (Ⅱ) 利用空间向量求出使直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大时 N 的位置即可, 得出 λ 的值. 解答: (Ⅰ)证明:以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0) ,B (0,2,0) ,C(2,2,0) ,D(1,0,0) ,P(0,0,2) ,M(0,1,1) , ∴ =(0,1,1) , =(1,0,﹣2) , =(﹣1,﹣2,0)

设平面 PCD 的法向量是 =(x,y,z) ,则

令 z=1,则 x=2,y=﹣1,于是 ∵ ,∴ , …(6 分)

∴AM∥平面 PCD (Ⅱ)解:由点 N 是线段 CD 上的一点,可设

又面 PAB 的法向量为 =(1,0,0) 设 MN 与平面 PAB 所成的角为 θ 则 =

=

=



时,即

时,sinθ 最大, …(13 分)

∴MN 与平面 PAB 所成的角最大时

点评: 本题考查了运用空间向量求证线面的平行关系,考查了利用空间向量求解直线与平 面所成角,关键是建立正确的空间直角坐标系,是中档题.

20. (12 分)如图,F1,F2 为椭圆 C:

(a>b>0)的左、右焦点,D,E 是椭圆的

两个顶点,椭圆的离心率 e=



.若点 M(x0,y0)在椭圆 C 上,则点 N





)称为点 M 的一个“椭点”.直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,A,B 两点的“椭点”分

别为 P,Q,已知以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)△ AOB 的面积是否为定值?若为定值,试求出该定值;若不为定值,请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由离心率 e= a =b +c .联立解得即可. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 P 得 = ,Q .由 ,可
2 2 2



,可得 =

, (a﹣c)b=1﹣

,又

. (*)设直线 l 的方程为 my+t=x,与椭圆方程联立可得根与系数

的关系,代入(*)可得 m,t 的关系,利用两点间的距离公式可得|AB|,利用点的直线距离公 式可得点 O 到直线 AB 的距离,利用三角形的面积计算公式即可得出定值. 解答: 解: (1)∵椭圆 C: (a>b>0)的离心率 e= , ,

∴ =

①, (a﹣c)b=1﹣
2

②,又 a =b +c ③.
2

2

2

2

由①②③组成方程组,解得 a =4,b =1. ∴椭圆 C 的标准方程为 . ,Q . (*) ,化为(4+m )y +2mty+t ﹣4=0,
22 2 2 2 2 2 2 2

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 P ∵ ,∴ =



设直线 l 的方程为 my+t=x,联立

∵直线 l 与椭圆相交于两点,∴△=4m t ﹣4(4+m ) (t ﹣4)>0,化为 m +4>t . (**) ∴ , ,

∴x1x2=(my1+t) (my2+t)= 代入(*)可得

, .





∴ |AB|=

,代入(**)知成立. =

=



点 O 到直线 AB 的距离 d=



又 S△ AOB=

=1 为定值.

点评: 本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、两点间的距 离公式、点的直线距离公式、三角形的面积计算公式、新定义、向量垂直与数量积的关系等基 础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了分析问题和解决问题的能力,属 于难题. 21. (12 分)函数 f(x)=x +mln(x+1) . (1)若函数 f(x)是定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; 3 (2)若 m=﹣1,试比较当 x∈(0,+∞)时,f(x)与 x 的大小;
2

(3)证明:对任意的正整数 n,不等式 e +e

0

﹣1×4

+e

﹣2×9

+…+e



成立.

考点: 利用导数研究函数的单调性;不等式的证明. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: (1)分 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(﹣1,+∞)上恒成立两种情况; (2)令 m=﹣1,通过求导,得 g(x)=f(x)﹣x 在(0,+∞)上单调递减,从而得证; (3)由(2)可知 x ﹣x <ln(x+1) (x∈(0,+∞) ) ,变形为 +∞) ) ,相加计算即可. 解答: 解: (1)根据题意,由 = ,
2 3 3

(x∈(0,

可知 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(﹣1,+∞)上恒成立. 下面分两种情况讨论: ①当 f′(x)= 有 m≥ ②当 f′(x)= 有 m≤ ∵ ≥0 在(﹣1,+∞)上恒成立时, 在(﹣1,+∞)上恒成立,故 m≥ ; ≤0 在(﹣1,+∞)上恒成立时, 在(﹣1,+∞)上恒成立. 在(﹣1,+∞)上没有最小值,

∴不存在实数 m 使 f′(x)<0 在(﹣1,+∞)上恒成立. 综上所述,实数 m 的取值范围是[
2

) ;

(2)当 m=﹣1 时,即函数 f(x)=x ﹣ln(x+1) . 3 3 2 令 g(x)=f(x)﹣x =﹣x +x ﹣ln(x+1) , 则 = ,

显然,当 x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,即函数 g(x)在(0,+∞)上单调递减, 又因为 g(0)=0,所以当 x∈(0,+∞)时,恒有 g(x)<g(0)=0, 3 3 即 f(x)﹣x <0 恒成立,故当 x∈(0,+∞)时,有 f(x)<x . 2 3 (3)由(2)可知 x ﹣x <ln(x+1) (x∈(0,+∞) ) , 所以 当 x 取自然数时,有 所以 e +e
0
﹣1×4

,即 (n∈N ) ,
*

(x∈(0,+∞) ) ,

+e

﹣2×9

+…+e

<(1+1)+(2+1)+(3+1)+…+(n+1) =1×n+1+2+3+4+…+n

= = .

点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,以及函数单调区间等有关基础知识,应用导 数研究函数单调性的方法及推理和运算能力. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 12 分) 22. (12 分)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半

轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρ=



(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出 P 点的坐标. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 本题(1)可以先消参数,求出直线 l 的普通方程,再利用公式将曲线 C 的极坐标方 程化成平面直角坐标方程, (2)利用点到直线的距离公式,求出 P 到直线 l 的距离的最小值, 再根据函数取最值的情况求出 P 点的坐标,得到本题结论. 解答: 解: (1)∵ ,

∴x﹣y=1. ∴直线的极坐标方程为:ρcosθ﹣ρsinθ=1. 即 即 . ,






2



∴ρcos θ=sinθ, 2 ∴(ρcosθ) =ρsinθ 2 即曲线 C 的普通方程为 y=x . (2)设 P(x0,y0) , , ∴P 到直线的距离:

. ∴当 ∴此时 ∴当 P 点为 时, , 时,P 到直线的距离最小,最小值为 . ,

点评: 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线 的距离公式,本题难度不大,属于基础题. 【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.已知函数 f(x)=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|. (Ⅰ)当 m=5 时,求不等式 f(x)>2 的解集; 2 (Ⅱ)若二次函数 y=x +2x+3 与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,求实数 m 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;二次函数的性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 m=5 时,把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个 不等式组的解集,再取并集,即得所求. 2 2 (Ⅱ)由二次函数 y=x +2x+3=(x+1) +2 在 x=﹣1 取得最小值 2, f(x)在 x=﹣1 处取得最 大值 m﹣2,故有 m﹣2≥2,由此求得 m 的范围.

解答: 解: (Ⅰ) 当 m=5 时,

, 由f (x) >2 可得

①,或

②,或

③.

解①求得﹣ <x<﹣1,解②求得﹣1≤x<0,解③求得 x∈?, 易得不等式即 4﹣3x>2 解集为
2 2



(2)由二次函数 y=x +2x+3=(x+1) +2,该函数在 x=﹣1 取得最小值 2,

因为
2

在 x=﹣1 处取得最大值 m﹣2,

所以要使二次函数 y=x +2x+3 与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,只需 m﹣2≥2, 求得 m≥4. . 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组 来解;还考查了函数的恒成立问题,体现了转化的数学思想,属于中档题.


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