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2013年全国高中数学联赛预赛试题


2013 年全国高中数学联赛预赛试题 第一试 2013.9.21. 8:00—9:20

姓名: 年级: 指导教师: 一、 (本大题共 8 小题,每小题 8 分) 1. 设 a, b ? R ,若 x ? 0 时恒有 0 ? x ? ax ? x ? b ? x ? 1 ,则 a ? b ? _________ .
4 3 2

?

?

2

2. 已知 3 个正整数 x, y, z 的最小公倍数为 2100,则 x ? y ? z 的最小值为____________.

AB ? 3k , AD ? 4k , 3. 在 四 棱 柱 ABCD ? 1 AB 1 C 1 D 1中 , 侧 棱 AA 1 ? 底 面 A B C D, AA 1 ?1 , BC ? 5k , DC ? 6k

10.已知 a, b, c ?

??1,2? ,求证: abc ? 4 ? ab ? bc ? ca .

? k ? 0? .将与四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱

拼接成一个新棱柱,在这些拼接成的新棱柱中,其中表面积最小的是一个四棱柱,则 k 的取值范 围是_______________. 4. 设 多 项 式 ? x ? 1?
3

? x ? 2 ? ? x ? 3?
3

3

的 展 开 式 中 x 的 系 数 为 ak , 则 a2 ? a4 ? a6 ? a8的 值 为
k

__________________.
2 2 5. 设 F 为双曲线 x ? y ? 1 的右焦点, l 为右准线, A, B 是双曲线右支上两个动点,且满足

AF ? BF ,线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N ,则

| MN | 的最大值为_________. | AB |
11.已知 P 为以椭圆

6. 方程 4sin x ? ?1 ? cos x ? ? 3 3 的解集为__________________. 7. 非负实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? x ? 2 y ? 3z ?
2 2 2

则 x ? y ? z 的最小值为____________. 8. 将 5 ?1 板分割为 m ? 1 块(各块的 m 可不同,但均为整数) ,每块染红色、蓝色或绿色. 则三色都出现的分割染色方案数为_______________. 例如, (红 1?1 ,绿 2 ? 1 ,蓝 2 ? 1 )是一个允许的方案,注意若再将蓝 2 ? 1 分成两个蓝 1?1 ,得到 的方案视为不同. 二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分) 9.数列 ?an ?? n ? 1? 满足: a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 2an?1 ? 3an ,求 ?an ? 的前 n 项和 s n .

13 , 4

x2 y 2 ? ? 1 的长轴为直径的圆上任一点 (异于椭圆顶点) ,O 为坐标原点,PA, PB 4 3

分别与椭圆相切与点 A 和点 B .求 ?OAB 面积的最大值.

二、 (本题满分 40 分)

2013 年全国高中数学联赛预赛试题
第二试
姓名: 年级: 一、 (本题满分 40 分)

称整数集 A 为合格的:若对任意 x, y ? A (允许 x ? y )和任意整数 k 均有

2013.9.21. 9:30—12:00
指导教师:

x2 ? kxy ? y 2 ? A .
求所有非零整数对 (m, n) ,使得包含 m 和 n 的合格集只有全体整数 Z .

已知 A B C D 是圆 ? 的内接四边形, P 为 AC 延长线上一点,并使得 PB, PD 是圆 ? 的切线. 过点 C 作圆 ? 的切线与直线 PD, AD 分别交于点 Q, R. 若 E 是 AQ 与圆 ? 的另一个交点 . 求证:

B, E , R 三点共线.

A

D B C E Q R

P

四、 (本题满分 50 分) 三、 (本题满分 50 分) 设二次函数 f ? x ? ? x ? ax ? b ,若方程 f
2

? f ? x?? ? 0 有 4 个不同的实数根,且其中两个根的和等于

给定正整数 n ,由一些区间 I ? ?i, j ? ( i , j 为整数, 0 ? i ? j ? n )组成的区间族 F 成为友好族;若 当 I1 ? ?i1 , j1 ? , I 2 ? ?i2 , j2 ? ? F 满足 I1 ? I 2 时,总有 i1 ? i2 或 j1 ? j2 . (1) 求友好族中区间个数的最大值; (2) 求最大友好族的个数.

?1 ,求 b 的最大可能的值.


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