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直线的的倾斜角和斜率


直线的倾斜角和斜率

兆麟中学高一数学组

问题1
1.过平面上的几个点可以确定一条直线?

2.过平面上的一个点是否可以确定一条直线?

3.过平面上一点P,可以作多少条直线?

l2
P

l1
l3 l4

/>思考:这些直线之间有什么样的不同之处?

Y

P

O

X

Y

P

??
O

?2

?3
X

倾斜角
当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正方向与直 线l向上方向之间所成的角 ? 叫做直线的倾斜角.
Y Y P

??
O X O X

当直线与轴平行或相交时,我们规定它的倾斜角为 0 .

?

Y

l2

l1
P

??
O

?2

?3
X

l3

Y

Y

P

??
O

?2

?3
X

O

X

? ? (0 ,180 )
? ?

? ?0
?

?

综上所述,

? ? [0 ,180 )
?

坡高 坡度 i ? 坡底

?
设想:

坡 高 坡底

i ? tan ?

是否可以用直线倾斜角的正切来描述直线的倾斜程度呢?

y

倾斜角为 0

?

tan ? ? 0

? ? 倾斜角为 (0 ,90 )

tan ? ? 0

0

?
2

?

x

倾斜角为 90?

tan?不存在
tan ? ? 0

倾斜角为 (90? ,180? )

结论:
1.可以用倾斜角的正切来刻画直线的倾斜程度.
2.平面上的一个点与直线的倾斜角(或这条直线 的斜率)可以确定一条直线.

定义:
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 k 表示,即

k ? tan ?

倾斜角是直角的直线没有斜率.

(1) 在图中的直线 l1 , l2 , l3的斜率k1 , k2 , k3的大小 关系为
y

l2 l3
o x

l
1

2.下列哪些说法是正确的( E,F )
A .任一条直线都有倾斜角,也都有斜率

B.直线的倾斜角越大,斜率也越大 C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π D.两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等
E.两直线的斜率相等,它们的倾斜角也相等 F.直线斜率的范围是R G.过原点的直线,斜率越大,越靠近y轴。

y
P2 ( x2 , y 2 )

P 1 ( x1 , y1 )

?

?
O

P( x1 , y2 )

x

? ??
y1 ? y 2 k ? tan? ? tan ? ? x1 ? x2

y
P2 ( x2 , y 2 )
O

P1 (P x1(,xy,1 ) y)
1 1 1

y
P2 ( x2 , y2 )

P( x1 )y 2 ) P,(y x2 1,

xO

x

斜率公式
经过两点P : 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式 y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

公式的特点:
(1)与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过 直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直 线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴 垂直,α=900

例1 已知点 A(5,?4), B(3,?3)求直线AB的斜率
,判断直线的倾斜角是
的斜率 O

锐角还是钝角.

y

解:直线

AB

3

5

x



? 4 ? ( ?3) 1 k ? ? ? 5?3 2 1 k ? ? ? 0 2
的倾斜角是钝角. ∴直线 AB

-3 -4

(3,-3)

(5,-4)

例1 如下图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0, -1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线 的倾斜角是锐角还是钝角。
y A B O C x

例2 在平面直角坐标系中画出过(3,2) 且斜率为-3的直线 l .
解:设 P ( x, y ) 是直线 l 上一点,根据公式有

y

y?2 k? ? ?3 x?3
可取

x ? 2, y ? 5,即P(2,5)是l上一点 .
作过(3,2)(2,5)的直线即可.

5

(2,5) (3,2)

2 O 2

x
3

例2.在平面直角坐标系中,画出经过原点且 斜率分别为1,-1,2和-3的直线 l1 , l2 , l3及l4 。
y A3 A1 O A2 A4

l3

l1

x

l4

l2

例3

m为何值时, 经过两点A(?m,6), B(1, m)
的直线斜率是12?

1.直线倾斜角和斜率的概念

2.由平面上一点和这条直线的倾斜角(或这条直线 的斜率)可以唯一确定这条直线且这两个条件缺一不可;

3.经过两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 )的直线的斜率公式: y 2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

思考:
1.已知 A(2,5), B(4,0)过点P(?1,?1) 的直线 l 与线段AB有公共点,求直线 l 的斜率 k 的范围;

2.已知 A(2,?3), B(?3,?2)过点P(1,1)的直线 l 的范围. 与线段AB有公共点,求直线 l 的斜率 k


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