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张家港市后塍高级中学高一数学第二学期期中试卷(必修5)(有答案)


张家港市后塍高级中学高一数学第二学期期中试卷(必修 5)
班级 学号 姓名 一、填空题(5*14=70) 1.在 ?ABC 中,若 B ? 60? , C ? 75? , a ? 8 ,则边 b 的长等于 2.锐角 ?ABC 中,若 a ? 3, b ? 4, ?ABC 的面积为 3 3 ,则 c ? 3.不等式 x ? 5 x ? 14 ? 0 的解集为
2



4.在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ . 5.设等比数列 {an } 的公比 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



? x ? 0, ? (k为常数), 若z ? x ? 3 y 的 最 大 值 为 8 , 则 6 点 P( x, y) 满 足 条 件 ? y ? x, ?2 x ? y ? k ? 0 ?
k?
. 7.已知 a,b 为正实数,且 a ? 2b ? 1, 则

1 1 ? 的最小值为 a b

8.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 n ,则 an =___________。 9.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ? 10.等差数列{ an }前 n 项和为 Sn 。已知 am?1 + am?1 - a 2 m =0, S2 m?1 =38,则 m=_______ 11. 已知 ?an ? 为等差数列,a1 + a3 + a5 =105,a2 ? a4 ? a6 =99, 以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是 12.在锐角△ABC 中,若 a ? 4, b ? 3 ,则边长 c 的取值范围是_________。 13.若关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? 1 ? 0 有实数解。则实数 a 的取值范围为
x x

14.一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品,如图所示.若按 照 这 种 规 律 依 次 增 加 一 定 数 量 的 宝石, 则第 5 件 工 艺 品 所 用 的 宝石数 为 艺 品 所 用 的 宝石数 为 颗 (结果用 n 表示). 颗;第 n 件 工

二、解答题 15. (本题满分 14 分) 设

?an ?

是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前

n

项 和 , 满 足

a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 。求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ;

16. (本题满分 14 分) (1)求不等式 x ? 5x ? 4 的解集 A;
2

2 (2)设关于 x 的不等式 x ? (a ? 2) x ? 2a ? 0 的解集为 M ,若 M ? A ,求实数 a 的取值

范围.

17. (本题满分 15 分) 在 ?ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,向量 m ? 2sin B, ? 3 ,

?

?

B ? ? n ? ? cos 2 B, 2cos 2 ? 1? ,且 m // n 。 2 ? ?
(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值。

18. (本题满分 15 分) 已知△ABC 中, 三内角 A、 B、 C 的度数成等差数列, 边 a、 b、 c 依次成等 比数列. 证:△ABC 是等边三角形。



19. (本题满分 16 分) 某建筑的金属支架如图所示,根据要求 AB 至少长 2.8m, C 为 AB 的中点, B 到 D 的 距离比 CD 的长小 0.5m, ?BCD ? 600 ,已知建筑支架的材料每米的价格一定,问怎 样设计 AB , CD 的长,可使建造这个支架的成本最低? A C B

D 地面

20. (本题满分 16 分)
n ?1 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数) 。

1 2

(Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试求 Tn n

张家港市后塍高级中学高一数学第二学期期中试卷(必修 5)答案
一、填空 1 . 4 6 2 . 13 8.an ? ? 3 . ?? ?,?2? ? ?7,??? 9. 120
0

4 . 13

5 . 15

6 . -6

7. 3 ? 2 2

? 5 n ?1 ?2

n ?1 n?2

10. 10

11. 20

12. 7 ,5 13.a ? ?2 14. 66,

?

?

2n 2 ? 3n ? 1
二、解答题 15. a1 ? ?5, d ? 2 , an ? 2n ? 7 , S n ? n 2 ? 6n 16. (1) A ? ?1,4? , (2) 1 ? a ? 4
2

17. (1) m || n ? 2 sin B(2 cos

B ? 1) ? 3 cos 2 B ? 0 ? sin 2B ? 3 cos2B ? 0 2

又? B 为锐角, ? tan2B ? ? 3 , ? B 为三角形 ABC 的内角, ? B= 600 或 B=150 0 , ? B= 600 (2)当 B= 60 时, S ?ABC 的最大值为 3 ,当 B=150 时, S ?ABC 的最大值为 2- 3 ,
0 0 18.证明:A、B、C 成等差数列 ? 2 B ? A ? C ,又因为 A+B+C= 180 ,所以 B= 60 0
0

a,b,c 成等比数列 ? b ? ac ,由余弦定理得: b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2 2

? ac ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c) 2 ? 0 ? a ? c ,所以三角形 ABC 是等边三角形
19.解:设 BC ? am(a ? 1, 4), CD ? bm. 连结 BD. 则在 ?CDB 中, (b ? )2 ? b2 ? a2 ? 2ab cos60 .

1 2

1 1 a2 ? 4 . ? b ? 2a ? 4 ? 2a. ?b ? a ?1 a ?1 a2 ?

2.8 ? 1 ? 0.4, 2 1 (t ? 1)2 ? 4 ? 2(t ? 1) ? 3t ? 3 ? 4 ? 7, 则 b ? 2a ? t 4t
设 t ? a ? 1, t ? 等号成立时 t ? 0.5 ? 0.4, a ? 1.5, b ? 4.

答:当 AB ? 3m, CD ? 4m 时,建造这个支架的成本最低.

1 n ?1 1 ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 2 2 1 n?2 1 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( ) ? 2, 2 2 1 n ?1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2
20.解(I)在 S n ? ? an ? ( )

bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2 1 1 2 1 3 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 Tn ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2
(II)由(I)得 cn ?

n . 2n


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