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八年级培优专题1 等腰三角形


培优专题 等腰三角形
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等腰三角形是一种特殊的三角形,它具有一般三角形的性质,同时,还具有自身的特殊性, 这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛.等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条 线段相等提供了依据.等腰三角形是轴对称图形,底边上的高所在直线是它的对称轴,对于某些 含有(或隐含)等腰三角形条件的问题,可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三

角形、等边 三角形找到解决问题的途径. 练习 1 1.如图,已知△ABC 中,AB=AC,AD=AE,∠BAE=30° ,则∠DEC 等于( A.7.5° B.10° C.12.5° D.18° ).

2.如图,AA′、BB′分别是△ABC 的外角∠EAB 和∠CBD 的平分线,且 AA′=AB=B′B,A′、B、 C 在一直线上,则∠ACB 的度数是多少?

3.如图, 等腰三角形 ABC 中, AB=AC, ∠A=20° D 是 AB 边上的点,且 AD=BC, . 连结 CD, 则∠BDC=________.

例 2 如图,D 是等边三角形 ABC 的 AB 边延长线上一点,E 是等边三角形 ABC 的 AC 边延长 线上一点,且 EB=ED.那么 CE 与 AD 相等吗?试说明理由. E

C

A

B

D

1

练习 2 1.已知如图,在△ABC 中,AB=CD,D 是 AB 上一点,DE⊥BC,E 为垂足,ED?的延长 线交 CA 的延长线于点 F,判断 AD 与 AF 相等吗?

2.如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90° ,点 D 是△ABC 内一点,且∠DAC=∠DCA =15° ,则 BD 与 BA 的大小关系是( ) A.BD>BA B.BD<BA C.BD=BA D.无法确定 3.已知:如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BE=AC,延长 BE 交 AC 于 F,AF 与 EF 相等吗?为什么?

例 3 已知:如图,△ABD 和△BEC 均为等边三角形,M、N 分别为 AE 和 DC 的中点,那么 △BMN 是等边三角形吗?说明理由. 分析 要说明一个三角形是等边三角形,只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角 相等或一个角是 60° 的等腰三角形”即可. 本题只需利用三角形全等证得 BM=BN, 且∠MBN=60° 即可.

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练习 3 1. 已知: 如图, 在等边三角形 ABC 中, BD=CE=AF, 与 BE 交于 G, 与 CF 交于 H, AD BE CF 与 AD 交于 K,试判断△GHK 的形状.

2. 已知: 如图, △ABC 是等边三角形, 是 AC 延长线上的任意一点, E 选择一点 D, ?使△CDE 是等边三角形,如果 M 是线段 AD 的中点,N 是线段 BE 的中点,那么△CMN 是等边三角形吗? 为什么?

3.已知:如图,等边三角形 ABC,在 AB 上取点 D,在 AC 上取点 E,使 AD=AE,作等边 三角形 PCD、QAE 和 RAB,则以 P、Q、R 为顶点的三角形是等边三角形,请说明理由.

3

例 4 已知:如图,等腰△ABC 中,AB=AC,∠A=100° ,∠ABC 的平分线交 AC 于 E,试比较 AE+BE 与 BC 的大小?
A E A E

B

C

B

C

练习 4 1.如图,在△ABC 中,AB=AC,P 为底边 BC 上的一点,PD⊥AB 于 D,PE⊥AC 于 E, CF⊥AB 于 F,那么 PD+PE 与 CF 相等吗?

2.已知:如图,△ABC 和△ADE 都是等边三角形.B、C、D 在一条直线上,说明 CE 与 AC+CD 相等的理由.

3.已知:如图,△ABC 是等边三角形,延长 AC 到 D,以 BD 为一边作等边三角形 BDE, 连结 AE,则 AD_______AE+AB.(填“>”或“=”或“<”)

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