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高中数学—立体几何知识点总结(精华版)


立体几何知识点
一.基本概念和原理: 1.公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都 在这个平面内。 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共 直线。 公理 3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。 推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一

个平面。 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 2.等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同, 那么 这两个角相等。 3.异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理: 用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的 直线是异面直线。 两异面直线所成的角:范围为 ( 0°,90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、 直线与平面所成的角: 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) (规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面 内,所成的角为 0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°]) 3.最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的 最小角 4.三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影 垂直,那么它也与这条斜线垂直。 5.直线和平面垂直的定义:如果一条直线 a 和一个平面内的任意一条直线都垂 直, 就说直线 a 和平面互相垂直.直线 a 叫平面的垂线,平面叫做直线 a 的垂面。 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直,那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线 平行。 6.直线和平面平行的定义: 如果一条直线和一个平面没有公共点, 那么我们就说 这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平 行,那么这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平 面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 7.两个平面平行的判定定理 :如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面,那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理 : 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 则交线平行。

8.(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面 角的取值范围为 [0°,180°] (2) 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂 直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 (3) 直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。 9.两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面 互相垂直。记为 ⊥. 两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 一条垂线,那么这两个平面互相垂直。两个平面垂直的性质定理:如果两个平面 互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 10.二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、 空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系) 11.棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形 的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质:(1)侧棱都相等,侧面是平行四边形(2)两个底面与平行于底面 的截面是全等的多边形(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 12.棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 这些面围成的几何体叫做棱锥 棱锥的性质:(1) 侧棱交于一点。侧面都是三角形(2) 平行于底面的截面与 底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

13.正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是 底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质: (1)各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底 边上的高相等 (3)a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影 为底面三角形的垂心。 b 四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。 且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心 14.注意建立空间直角坐标系, 空间向量也可在无坐标系的情况下应用 15.多面体欧拉公式:V(角)+F(面)-E(棱)=2 正多面体只有五种:正四、六、八、十二、二十面体 16.数学简单记法: 线线垂直证角是 90° ,或向量相乘等于 0 线面垂直证一条线与面上的两条相交直线垂直 线面平行一条线与面上的一条直线平行 a 面 b 面垂直(先证一条线与 A 面上的两条相交直线垂直,再证 这条线属于 B 面) 面面平行(一个面中的两条相交直线‖另一个面中的两条相交直线) 17.本章学习方法: 1.可以通过建立三维坐标来确定空间向量或点的位置,然后再来解题,如求线与 面的夹角,线与线的夹角,或体积等问题; 2.通过作辅助线或面来解题, 如求线面平行时可以作垂线来证明线与面同时垂直 与那条辅助线,或者线所在的面与所给出的面平等。 3. 立体几何向量法:1 建系 2 标点 3 求法向量 4 带公式


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