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南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学试卷(word版,有答案)


南京市、盐城市 2014 届高三第一次模拟考试
一、填空题 1.已知集合 A ? {?3, ?1,1,2} ,集合 B ? [0, ??) ,则 A ? B ? 2.若复数 z ? (1 ? i)(3 ? ai) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a ? 3.现从甲、乙、丙 3 人中随机选派 2 人参加某项活动,则甲被选中的概率为 4.根据如图所示的伪代码,最后输出

的 S 的值为 . . . .

S ?0 For I From 1 To 10 S?S?I End For Pr int S
5.若一组样本数据 2 , 3 , 7 , 8 , a 的平均数为 5 ,则该组数据的方差 s 2 ? 6.在平面直角坐标系 xOy 中,若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为 x ? 抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点重合,则该双曲线的渐进线方程为 . .

1 ,且它的一个顶点与 2

7.在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(m,1) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离为 4 ,且点 P 在 不等式 2 x ? y ? 3 表示的平面区域内,则 m ? . 8.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? ,侧棱 PA ? 底 面 ABCD , PA ? 2 , E 为 AB 的中点,则四面体 PBCE 的体积为 . 9.设函数 f ( x) ? cos(2x ? ? ),则“ f ( x) 为奇函数”是“ ? ? ”的 2 (选填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” )

?

条件.

10.在平面直角坐标系 xOy 中, 若圆 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 4 上存在 A , 则直线 AB B 两点关于点 P(1,2) 成中心对称, 的方程为 .

2? ,则 AB ? AC 的最小值为 . 3 12. 若 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0. ? ?) 上 是 单 调 增 函 数 . 如 果 实 数 t 满 足
11.在 ?ABC 中, BC ? 2 , A ?

1 . f ( l nt ? ) f ( l n ? ) f2 时,那么 (1) t 的取值范围是 t 2a 13.若关于 x 的不等式 (ax ? 20)lg ? 0 对任意的正实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x
14.已知等比数列 {an } 的首项为

.

4 1 1 ,公比为 ? ,其前 n 项和为 S n ,若 A ? S n ? ? B 对 n ? N * 恒成立,则 Sn 3 3

B ? A 的最小值为
二、解答题

.

15.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,已知 c ? 2 , C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.
1

?
3

.

16.如图,在正三棱锥 ABC ? A1 B1C1 中, E , F 分别为 BB1 , AC 的中点. (1)求证: BF / / 平面 A1 EC ; (2)求证:平面 A1 EC ? 平面 ACC1 A1 .

17.如图,现要在边长为 100m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分

1 别建半径为 xm ( x 不小于 9 )的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为 x 2 m 的圆形草地.为了 5 保证道路畅通,岛口宽不小于 60m ,绕岛行驶的路宽均不小于 10m .
(1)求 x 的取值范围; (运算中 2 取 1.4 ) (2)若中间草地的造价为 a 元 / m2 ,四个花坛的造价为 区域的造价为

4 ax 元 / m2 ,其余 33

12a 元 / m2 ,当 x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低? 11

3 x2 y 2 18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点 (1, ) 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) ,过焦 a b 2 点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A ,B 两点,点 B 关于坐标原点的对称点为 P ,直线 PA ,PB 分 别交椭圆 C 的右准线 l 于 M , N 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程;
8 3 3 (2)若点 B 的坐标为 ( , ) ,试求直线 PA 的方程; 5 5
(3)记 M , N 两点的纵坐标分别为 yM , y N ,试问 yM ? yN 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是, 请说明理由.

2

19.已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a, b ? R) . (1)若 a ? 0 ,则 a , b 满足什么条件时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 0 处总有相同的切线? (2)当 a ? 1 时,求函数 h( x) ?

g ( x) 的单调减区间; f ( x)

(3)当 a ? 0 时,若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 恒成立,求 b 的取值的集合.

20.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 2 , S6 ? 22 . (1)求 S n ; (2)若从 {an } 中抽取一个公比为 q 的等比数列 {akn } ,其中 k1 ? 1 ,且 k1 ? k2 ? ? kn ? ?, kn ? N * . ①当 q 取最小值时,求 {kn } 的通项公式; ②若关于 n(n ? N * ) 的不等式 6Sn ? kn ?1 有解,试求 q 的值.

3

数学附加题 21.(选做题) (在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题) A.如图, AB , CD 是半径为 1 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P ,若 PC ? 的长.

9 1 , OP ? ,求 PD 8 2

? ? B.已知曲线 C : xy ? 1 ,若矩阵 M ? ? ? ? ?

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? 对应的变换将曲线 C 变为曲线 C ? ,求曲线 C ? 的方程. 2 ? ? 2 ?

C.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2a cos? ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐

? x ? 3t ? 2 标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若直线 l 与圆 C 相切,求实数 a 的值. ? y ? 4t ? 2

D.已知 x1 , x2 , x3 为正实数,若 x1 ? x2 ? x3 ? 1 ,求证:

2 x2 x2 x2 ? 3 ? 1 ?1. x1 x2 x3

4

(必做题) 22.已知点 A(1,2) 在抛物线 ? : y 2 ? 2 px 上. (1)若 ?ABC 的三个顶点都在抛物线 ? 上,记三边 AB , BC , CA 所在直线的斜率分别为 k1 , k 2 , k3 , 求

1 1 1 ? ? 的值; k1 k2 k3

(2) 若四边形 ABCD 的四个顶点都在抛物线 ? 上, 记四边 AB ,BC ,CD ,DA 所在直线的斜率分别为 k1 ,

k 2 , k3 , k 4 ,求

1 1 1 1 ? ? ? 的值. k1 k2 k3 k4

23.设 m 是给定的正整数,有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )中 ai ? 2 或 ?2 (1 ? i ? 2m) . (1)求满足“对任意的 1 ? k ? m , k ? N * ,都有

a2 k ?1 ? ?1 ”的有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )的个数 A ; a2 k
2l

(2) 若对任意的 1 ? k ? l ? m ,k ,l ? N * , 都有 |

i ? 2 k ?1

?

求满足 “存在 1 ? k ? m , 使得 ai |? 4 成立,

a2 k ?1 ? ?1 ” a2 k

的有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )的个数 B

5

6

7

8

9

10


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