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2014届高考数学一轮复习名师首选:第6章27《数列的概念与简单表示法》


第6章 数 列 学案 27 数列的概念与简单表示法
导学目标: 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解 数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 自主梳理 1.数列的定义 按____________着的一列数叫数列, 数列中的________都叫这个数列的项; 在函数意义 下 , 数 列 是 ______________________ 的

函 数 , 数 列 的 一 般 形 式 为 : ________________________,简记为{an},其中 an 是数列的第____项. 2.通项公式: 如果数列{an}的________与____之间的关系可以______________来表示, 那么这个式子 叫做数列的通项公式.但并非每个数列都有通项公式,也并非都是唯一的. 3.数列常用表示法有:____________________、________、________. 4.数列的分类: 数 列 按 项 数 来 分 , 分 为 ____________ 、 ____________ ; 按 项 的 增 减 规 律 分 为 ____________、____________、____________和________.递增数列?an+1____an;递减数 列?an+1____an;常数列?an+1____an. 5.an 与 Sn 的关系: ? ,n=1, ? 已知 Sn,则 an=? . ? ,n≥2, ? 自我检测 1 2 1 1 * 1. 在数列{an}中, 若 a1=1, a2= , = + (n∈N ), 则该数列的通项 an=______. 2 an+1 an an+2 * 2.已知数列{an}对任意的 p,q∈N 满足 ap+q=ap+aq,且 a2=-6,那么 a10=________. 8 15 24 3.已知数列-1, ,- , ,?按此规律,则这个数列的通项公式是 5 7 9 _________________________ _____. 4.下列对数列的理解: * ①数列可以看成一个定义在 N (或它的有限子集{1,2,3,?,n})上的函数; ②数列的项数是有限的; ③数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点; ④数列的通项公式是唯一的. 其中说法正确的序号是________. 2 5.设 an=-n +10n+11,则数列{an}从首项到第________项的和最大.
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

探究点一 由数列前几项求数列通项 例 1 写出下列数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: 2 4 6 8 10 (1) , , , , ,? 3 15 35 63 99 1 9 25 (2) ,-2, ,-8, ,? 2 2 2

变式迁移 1 写出下列数列的一个通项公式: (1)3,5,9,17,33,? (2) 2, 5,2 2, 11,?(3)1,0,1,0,?

探究点二 由递推公式求数列的通项 例 2 根据下列条件,写出该数列的通项公式. n-1 (1)a1=2,an+1=an+n;(2)a1=1,2 an=an-1 (n≥2).

变式迁移 2 根据下列条件,确 定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; (2)a1=1,an+1=(n+1)an; ? 1? (3)a1=2,an+1=an+ln?1+ ?.

?

n?

探究点三 由 an 与 Sn 的关系求 an 2 例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n -3n+1,求{an}的通项公式.

变式迁移 3 (1)已知{an}的前 n 项和 Sn=3 +b,求{an}的通项公式. (2)已知在正项数列{an}中,Sn 表示前 n 项和且 2 Sn=an+1,求 an.

n

函数思想 ?10?n * 例 (14 分)已知数列{an}的通项 an=(n+1)? ? (n∈N ),试问该数列{an}有没有最大 ?11? 项?若有,求出最大项的项数;若没有,说明理由. 【答题模板】



方法一

? ?? 令? ?? ?

n+1? ? ?n≥n·? ?n-1 ?11? ?11?

?10?

?10?

?10? ?10? n+1? ? ?n≥? n+2? ·? ?n+1 11 ? ? ?11?

[4 分]

? ? ?10n+10≥11n ?n≤10 ?? ?? ,∴n=9 或 n=10 时,an 最大,[10 分] ?11n+11≥10n+20 ?n≥9 ? ? 即数列{an}有最大项,此时 n=9 或 n=10.[14 分] ?10?n+1 ?10?n 方法二 ∵an+1-an=(n+2)·? ? -(n+1)·? ? ?11? ?11? 10 ? ?n 9-n,[2 分] =? ? · 11 ?11? 当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an;

当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an.[8 分] 故 a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>?, ∴数列{an}中有最大项,为第 9、10 项.[14 分] 【突破思维障碍】 有关数列的最大项、最小项,数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调 ?an≥an+1 ? 性常用①作差法,②作商法,③图象法.求最大项时也可用 an 满足? ;若求最小 ?an≥an-1 ? 项,则用 an 满足?
? ?an≤an-1 ?an≤an+1 ?

.

数列实质就是一种特殊的函数,所以本题就是用函数的思想求最值. 【易错点剖析】 本题解题过程中易出现只解出 a9 这一项,而忽视了 a9=a10,从而导致漏解. 1.数列的递推公式是研究的项与项之间的关系,而 通项公式则是研究的项 an 与项数 n 的关系. 2.求数列的通项公式是本节的重点,主要掌握三种方法:(1)由数列的前几项归纳出一 个通项公式,关键是善于观察; (2)数列{an}的前 n 项和 Sn 与数列{an}的通项公式 an 的关系,要注意验证能否统一到一 个式子中; (3)由递推公式求通项公式,常用方法有累加、累乘. 3.本节易错点是利用 Sn 求 an 时,忘记讨论 n=1 的情况. 课后练习 (满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 2 1.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8 的值为________. * 2.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2 n=an,n∈N ,则 a2 009=________,a2 014 =________. 3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an-1),则 a2=________. 4.数列{an}中,若 an+1= ,a1=1,则 a6=________. 2an+1 1 * 5. 数列{an}满足 an+an+1= (n∈N ), a2=2, Sn 是数列{an}的前 n 项和, 则 S21=________. 2

an

6 .数列 {an} 满足 an + 1

? ?2a =? ? ?2a -1
n

?

1 0≤an< ? 2



n

1 ? ≤an<1? , 2

6 若 a1 = ,则 a2 7

010

的值为

________. 2 7 . 已 知 Sn 是 数 列 {an} 的 前 n 项 和 , 且 有 Sn = n + 1 , 则 数 列 {an} 的 通 项 an = __________________. 8.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ? ? ? ? ? ? 根据以上排列规律,数阵中第 n (n≥3)行从左至右的第 3 个数是____________.

二、解答题(共 42 分) 9.(12 分)写出下列各数列的一个通项公式. 1 2 3 4 (1)1 ,2 ,3 ,4 ,? 2 3 4 5 3 1 3 1 3 (2)-1, ,- , ,- , ? 2 3 4 5 6
[来源:学科网]

10.(14 分)由下列数列{an}递推公式求数列{an}的通项公式: (1)a1=1,an-an-1=n (n≥2); an n-1 (2)a1=1, = (n≥2);

an-1 n (3)a1=1,an=2an-1+1 (n≥2).

11.(16 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n +2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; 2 (2)设 cn=an·bn,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn.

2

答案 自主梳理 * 1.一定次序排列 每一个数 定义域为 N (或它的子集) a1,a2,a3,?,an,? n 2.第 n 项 n 用一个公式 3.解析法(通项公式或递推公 式) 列表法 图象法 4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数 列 > < = 5.S1 Sn-Sn-1 自我检测 1 1. 2.-30
[来源:学+科+网]

n

? n+1? -1 3.an=(-1) · 2n+1 2 3 ? 1+1? -1 解析 ∵a1=- =- , 3 2×1+1 2 2 8 ? 2+1? -1 15 ? 3+1? -1 a2= = ,a3=- =- , 5 2×2+1 7 2×3+1 2 2 24 ? 4+1? -1 ? n+1? -1 n a4= = ,∴an=(-1) · . 9 2×4+1 2n+1 4.①③ 解析 由数列与函数的关系知①对,③对,由数列的分类知②不对,数列的通项公式不 是唯一的,④不对. 5.10 或 11 2 2 解析 an=-n +10n+11 是关于 n 的二次函数, 它是抛物线 f(x)=-x +10x+11 上的 一些离散的点,从图象可看出前 10 项都是正数,第 11 项是 0,所以前 10 项或前 11 项的和 最大. 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特 点,要使用添项、还原、分割等方法,转化为一些常见数列的通项公式来求;
n
[来源:学科网 ZXXK]

2

(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴涵着“从特殊到 一般”的思想,得出的结论不一定可靠,在解答题中一般应用数学归纳法进行证明. 2 2×2 2×3 2×4 2×5 解 (1)原数列为 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,?, 2 -1 4 -1 6 -1 8 -1 10 -1 2n 2n ∴an= = 2 . 2 ? 2n? -1 4n -1 1 4 9 16 25 (2)原数列为 ,- , ,- , ,?, 2 2 2 2 2 n+1 2 ? -1? ·n ∴an= . 2 1 变式迁移 1 解 (1)∵a1=3=2 +1, 2 3 a2=5=2 +1,a3=9=2 +1,?,∴an=2n+1. (2)将数列各项统一成 f? n? 的形式得 2, 5, 8 , 11,?; 观察知,数列各项的被开方数逐个增加 3,且被开方数加 1 后,又变为 3,6,9,12,?, 所以数列的通项公式是 an= 3n-1. (3)从奇数项, 偶数项角度入手, 可以得到分段形式的解析式, 也可看作数列 1,1,1,1, ? 和 1,-1,1,-1,?对应项相加之和的一半组成的数列,也可用正弦函数和余弦函数的最 值和零点值来调整表示. ?1,n=1,3,5,?, ? 所以 an=? ? ?0,n=2,4,6,?, 1+? -1? * 或 an= (n∈N ), 2 nπ ? ? 2nπ * 或 an=?sin 或 an=sin (n∈N ), ? 2 ? 2 ? n-1 ? ? π ? (n∈N*). 或 an=?cos 2 ? ? 例 2 解题导引 利用数列的递推公式求数列 的通项公式,一般有以下三种方法: (1)累加法:如果已知数列{an}的相邻两项 an+1 与 an 的差的一个关系式,我们可依次写 出前 n 项中所有相邻两项的差的关系式,然后把这 n-1 个式子相加,整理求出数列的通项 公式 . (2)累积法:如果已知数列{an}的相邻两项 an+1 与 an 的商的一个关系式,我们可依次写 出前 n 项中所有相邻两项的商的关系式,然后把这 n-1 个式子相乘,整理求出数列的通项 公式. (3)构造法:根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式,进行变形整理,构造出一 个新的等差或等比数列,利用等差或等比数列的通项公式求解. 解 (1)当 n=1,2,3,?,n-1 时,可得 n-1 个等式,an-an-1=n -1,an-1-an-2=n -2,?,a2-a1=1, 将其相加, 得 an-a1=1+2+3+?+(n-1). ? 1+n-1? ? n-1? n? n-1? ∴an=a1+ = 2+ . 2 2 (2)方法一 an=
n+1

an an-1 a3 a2 · ·?· · ·a1 an-1 an-2 a2 a1

?1?n-1 ?1?n-2 ?1?2 ?1?1 =? ? ·? ? ·?·? ? ·? ? 2 2 ? ? ? ? ?2? ?2?
1?1+2+?+(n-1) 1 n ( n2?1) 1 n ( n2?1) ? =? ? =( ) ,∴an= ( ) . ?2? 2 2 方法二 由 2
n-1

an=an-1,得 an=? ?n-1an-1. 2

?1? ? ?

?1?n-1 ?1?n-1 ?1?n-2 ∴an=? ? an-1=? ? ·? ? an-2 ?2? ?2? ?2? 1 1 1 ? ?n-1 ? ?n-2 ? ?1 =? ? ·? ? ·?·? ? a1 ?2? ?2? ?2? ?1?(n-1)+(n-2)+?+2+1= ( 1 ) =? ? ?2? 2
n ( n ?1) 2

变式迁移 2 解 (1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), an+1+1 ∴ =3,∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, an+1 n-1 n-1 又 a1+1=2,∴an+1=2·3 ,∴an=2·3 -1. (2)∵an+1=(n+1)an,∴ ∴

an+1 =n+1. an

an an-1 =n, =n-1, an-1 an-2

??

a3 =3, a2 a2 =2, a1 a1=1.
累乘可得, an=n×(n-1)×(n-2)×?×3×2×1=n!. 故 an=n!. ? 1? (3)∵an+1=an+ln?1+ ?,

?

n?

n+1 ? 1? ∴an+1-an=ln?1+ ?=ln .

?

n?

n

n , n-1 n-1 an-1-an-2=ln , n-2
∴an-an-1=ln ??

a2-a1=ln , n-1 2 +ln +?+ln n-1 n-2 1 =ln n-ln(n -1)+ln(n-1)-ln(n-2)+?+ln 2-ln 1 =ln n. 又 a1=2,∴an=ln n+2. 例 3 解题导引 an 与 Sn 的关系式 an=Sn-Sn-1 的条件是 n≥2,求 an 时切勿漏掉 n=1, 即 a1=S1 的情况.一般地,当 a1=S1 适合 an=Sn-Sn-1 时,则需统一“合写”.当 a1=S1 不 ?S1, n=1, ? 适合 an=Sn-Sn-1 时,则通项公式应分段表示,即 an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2. 解 当 n=1 时, a1=S1=2×12-3×1+1=0; 2 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n -3n+1)-2(n-1) +3(n-1)-1=4n-5; 又 n= 1 时,an=4×1-5=-1≠a1,
累加可得,an-a1=ln

2 1

n

?0, n=1, ? ∴an=? ?4n-5, n≥2. ? 变式迁移 3 解 (1)a1=S1=3+b, n n-1 n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3 +b)-(3 +b)=2·3 . 当 b=-1 时,a1 适合此等式; 当 b≠-1 时,a1 不适合此等式. n-1 ∴当 b=-1 时,an=2·3 ; ? ? n=1? ?3+b 当 b≠-1 时,an=? . n-1 ?2·3 ? n≥2? ? ?an+1?2, (2)由 2 Sn=an+1,得 Sn=? ? ? 2 ? ?a1+1?2,得 a =1; 当 n=1 时,a1=S1=? ? 1 ? 2 ? ?an+1?2-?an-1+1?2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 整理,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0, ∵数列{an}各项为正,∴an+an-1>0. ∴an-an-1-2=0. ∴数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. ∴an=a1+(n-1)×2=2n-1. 课后练习区 1.15 解析 a8=S8-S7=64-49=15. 2.1 0 解析 a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a1 007=a252×4-1=0. 3.4 解析 当 n=1 时,a1=2. 当 n=2 时,a1+a2=2(a2-1),∴a2=4. 1 4. 11

解析 方法一 ∵an+1= ,a1=1, 2an+1 1 1 1 1 1 ∴a2= ,a3= ,a4= ,a5= ,a6= . 3 5 7 9 11 an 1 1 方法二 ∵an+1= ,∴ = +2, 2an+1 an+1 an 1 1 1 ∴ =1+2(n-1)=2n-1,∴an= ,∴a6= . an 2n-1 11 7 5. 2 1 1 1 1 1 解析 a1= -a2= -2, a2=2, a3= -2, a4=2, ?, 知 T=2, a1+a2= , ∴S21=10× 2 2 2 2 2 1 7 +a1=5+ -2= . 2 2 3 6. 7 6 5 3 6 解析 a1= ,a2= ,a3= ,a4= ,?, 7 7 7 7

an

3 此数列是以 3 为周期的数列,故可知 a2 010=a3= . 7
?2 ? n=1? ? 7.? * ?2n-1 ? n≥2,n∈N ? ? 解析 当 n=1 时,a1=S1=1+1=2, 2 2 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1=(n +1)-[(n-1) +1]=2n-1.此时对于 n=1 不成立, ? ? n=1? , ?2 故 an=? * ?2n-1 ? n≥2,n∈N ? . ? n2-n+6 8. 2 n2-n 解析 前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n-1)= (个), 因此第 n 行第 3 个数是全 2 n2-n n2-n+6 体正整数中的第 +3 个,即为第 个. 2 2 1 2 3 9.解 (1)∵a1=1+ ,a2=2+ ,a3=3+ ,?, 2 3 4

∴an= n+ 分)

n n+1

(n∈N ).????????????????????????? (6

*

2-1 2+1 2-1 2+1 (2)∵a1=- ,a2= ,a3=- ,a4= ,?, 1 2 3 4 n 2+? -1? n * ∴an=(-1) · (n∈N ).?????????????????????

n

(12 分) 10.解 (1)由题意得,an-an-1=n,an-1-an-2=n-1,?,a3-a2=3,a2-a1=2. 将上述各式等号两边累加得, an-a1=n+(n-1)+?+3+2, n? n+1? 即 an=n+(n-1)+?+3+2+1= , 2 n? n+1? 故 an= .????????????????????????????(6 2 分) an n-1 an-1 n-2 a3 2 a2 1 (2)由题意得, = , = ,?, = , = . an-1 n an-2 n-1 a2 3 a1 2 an 1 1 将上述各式累乘得, = ,故 an= .??????????????????(10 分)

a1 n

n

(3)由 an=2an-1+1, 得 an+1=2(an-1+1), 又 a1+1=2≠0,所以

an+1 =2, an-1+1

即数列{an+1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列. n n 所以 an+1=2 , 即 an=2 -1.??????????????????????(14 分) 11.(1)解 a1=S1=4.?????????????????????????? (1 分) 对于 n≥2,有 an=Sn-Sn-1=2n(n+1)-2(n-1)n=4n.a1 也适合, ∴{an} 的通项公式 an= 4n. ???????????????????????? (3 分) 将 n=1 代入 Tn=2-bn,得 b1=2-b1,故 T1=b1=1.?????????????(4 分)

对于 n≥2,由 Tn-1=2-bn-1, Tn=2-bn,得 bn=Tn-Tn-1=-(bn-bn-1), 1 1-n ∴bn= bn-1,bn=2 .?????????????????????????? (6 2 分)

b1=1 也适合. 1-n 综上, {bn}的通项公式 bn=2 .?????????????????????(10 分) 2 2 5-n (2)方法一 由 cn=an·bn=n 2 ,???????????????????? (11
[来源:学§科§网]

分)

cn+1 1? 1?2 1 4 = ?1+ ? .当且仅当 n≥3 时,1+ ≤ < 2, n cn 2? n 3 ? cn+1 1 2 2 5-n ∴ < ·( 2) =1,又 cn=n ·2 >0, cn 2 即 cn + 1<cn.?????????????????????????????? (16
得 分) 方法二 由 cn=an·bn=n 2 , 4-n 2 2 得 cn+1-cn=2 [(n+1) -2n ] 4-n 2 =2 [-(n-1) +2] .?????????????????????????(14 分) 当且仅当 n≥3 时,cn+1-cn<0, 即 cn + 1<cn.?????????????????????????????? (16 分)
2 2 5-n


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