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2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:选修4—5 不等式 第一节 绝对值不等式 Word版含解析


第一节

绝对值不等式

A 组 基础题组
1.解不等式|2x-1|+|2x+1|≤6.

2.已知|2x-3|≤1 的解集为 m,n]. (1)求 m+n 的值; (2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1.

3.已知函数 f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值为 a. (1)求实数 a 的值; (2)解不等式 f(x)≤5.

4.已知函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值.

5.已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含 1,2],求 a 的取值范围.

6.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0 的解集为 M,a,b∈M. (1)证明: < ; (2)比较|1-4ab|与 2|a-b|的大小.

B 组 提升题组
7.(2016 吉林长春质检)设函数 f(x)=|x+2|+|x-a|(a∈R). (1)若不等式 f(x)+a≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若不等式 f(x)≥ x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

8.已知函数 f(x)=|3x+2|. (1)解不等式 f(x)<4-|x-1|;

(2)已知 m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤ + (a>0)恒成立,求实数 a 的取值范围.

答案全解全析 A 组 基础题组
1.解析 解法一:当 x> 时,原不等式转化为 4x≤6? <x≤ ; 当- ≤x≤ 时,原不等式转化为 2≤6,恒成立; 当 x<- 时,原不等式转化为-4x≤6? - ≤x<- . 综上,原不等式的解集为 解法二:原不等式可化为 + . ≤3, .

其几何意义为数轴上到 ,- 两点的距离之和不超过 3 的点的集合,数形结合知,当 x= 或 x=- 时, 到 ,- 两点的距离之和恰好为 3,故当- ≤x≤ 时,满足题意,则原不等式的解集为 2.解析 (1)不等式|2x-3|≤1 可化为-1≤2x-3≤1, 解得 1≤x≤2,所以 m=1,n=2,所以 m+n=3. (2)证明:由(1)知|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1,即|x|<|a|+1. 3.解析 (1)∵|x-4|+|x-a|≥|(x-4)-(x-a)|=|a-4|, 又∵f(x)的最小值为 a, ∴|a-4|=a, 解得 a=2. (2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2|= 当 x≤2 时,解不等式-2x+6≤5,得 x≥ . 当 2<x≤4 时,2≤5 恒成立. 当 x>4 时,解不等式 2x-6≤5,得 x≤ . 综上, ≤x≤ . ∴不等式的解集为 .

4.解析 (1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤-1. 故不等式 f(x)≥3x+2 的解集为{x|x≥3 或 x≤-1}. (2)由 f(x)≤0 得|x-a|+3x≤0. 此不等式可化为 或 即 或 . 结合 a>0,解得 x≤- ,即不等式 f(x)≤0 的解集为 ∵不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1}, ∴- =-1,故 a=2. 5.解析 (1)当 a=-3 时, f(x)=

当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|? |x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|? 4-x-(2-x)≥|x+a|? -2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为-3,0]. 6.解析 (1)证明:记 f(x)=|x-1|-|x+2|, 则 f(x)= 由题意,令-2<-2x-1<0,得- <x< , 则 M= 所以
2

. ≤ |a|+ |b|< × + × = .
2 2 2 2

(2)由(1)得 a < ,b < . 因为|1-4ab| -4|a-b|
2 2

=(1-8ab+16a b )-4(a -2ab+b ) =(4a -1)(4b -1)>0, 所以|1-4ab| >4|a-b| , 故|1-4ab|>2|a-b|.
2 2 2 2

2

B 组 提升题组
7.解析 (1)当 a≥0 时,f(x)+a≥0 恒成立;当 a<0 时,要保证 f(x)≥-a 恒成立,即 f(x)的最小值 |a+2|≥-a,解得-1≤a<0,故 a≥-1. (2)由题意可知,函数 y=f(x)的图象恒在直线 y= x 的上方,画出两个函数图象(略)可知,当 a≤-2 时,符合题意,当 a>-2 时,只需满足点(a,a+2)不在点 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,4]. 8.解析 (1)不等式 f(x)<4-|x-1|即|3x+2|+|x-1|<4. 当 x<- 时,不等式可化为-3x-2-x+1<4, ∴- <x<- ; 当- ≤x≤1 时,不等式可化为 3x+2-x+1<4,∴- ≤x< ; 当 x>1 时,不等式可化为 3x+2+x-1<4,∴x∈?. 综上所述,原不等式的解集为 (2) + = . (m+n)=1+1+ + ≥4 当且仅当 = 时,等号成立. 的下方即可,所以 a+2≥ a,即-2<a≤4.

令 g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|= ∴当 x=- 时,g(x)取最大值,g(x)max= +a, 要使不等式|x-a|-f(x)≤ + 恒成立, 只需 g(x)max= +a≤4,又 a>0,则 0<a≤ .


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