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正弦定理余弦定理练习题bb


第一套 正弦定理(一) ●作业导航 掌握正弦定理,会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题. 一、选择题 1.已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30° ,则∠B 等于( ) A.30° B.30° 150° 或 C.60° D.60° 120° 或 2.已知△ABC 中,AB=6,∠A=30° ,∠B=120° ,则△ABC 的面积为( ) A.

9 B.18 C.9 3 D.18 3 3.已知△ABC 中,a∶b∶c=1∶ 3 ∶2,则 A∶B∶C 等于( ) A.1∶2∶3 B.2∶3∶1 C.1∶3∶2 D.3∶1∶2 4.已知△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k(k≠0),则 k 的取值范围为( ) 1 1 A.(2,+∞) B.(-∞,0) C.(- 2 ,0) D.( 2 ,+∞) 5.在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 1.在△ABC 中,若∠B=30° ,AB=2 3 ,AC=2,则△ABC 的面积是________. 2.在△ABC 中,若 b=2csinB,则∠C=________. 3.设△ABC 的外接圆半径为 R,且已知 AB=4,∠C=45° ,则 R=________. 3 4.已知△ABC 的面积为 2 ,且 b=2,c= 3 ,则∠A=________. 5.在△ABC 中,∠B=45° ,∠C=60° ,a=2( 3 +1),那么△ABC 的面积为________. 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 1.在△ABC 中,∠C=60° ,BC=a,AC=b,a+b=16. (1)试写出△ABC 的面积 S 与边长 a 的函数关系式. (2)当 a 等于多少时,S 有最大值?并求出这个最大值. 2.在△ABC 中,已知 a2-a=2(b+c),a+2b=2c-3,若 sinC∶sinA=4∶ 13 ,求 a,b,c.

A? B a?b 2 ? a ? b tan A ? B 2 . 3.在△ABC 中,求证 tan
4.△ABC 中,A、B、C 成等差数列,b=1,求证:1<a+c≤2. 5.在一个三角形中,若有一个内角不小于 120° ,求证:最长边与最短边之比不小于 3 . 参考答案 a b ? 一、选择题 1.D 分析:由正弦定理得, sin A sin B , ∴
b sin A 3 ? 2 , sinB= a

∴ ∠B=60° 或∠B=120° . 2.C 分析:∵ ∠A=30° ,∠B=120° , ∴ ∠C=30° ,∴ BA=BC=6,
1 1 3 ∴ S△ABC= 2 × BA× BC× sinB= 2 × 6× 2 =9 3 . 6× a b c ? ? 3.A 分析:由正弦定理得, sin A sin B sin C ,

3 1 ∴ sinA∶sinB∶sinC=1∶ 3 ∶2= 2 ∶ 2 ∶1, ∴ A∶B∶C=30° ∶60° ∶90° =1∶2∶3. 4.D 分析:利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边. 5.C 分析:A>B ?a>b ?2RsinA>2RsinB ?sinA>sinB. 二、填空题

2 3 sin 30? 3 ? 3 或 3 分析:sinC= 2 2 ,于是,∠C=60° 120° 1.2 或 ,故∠A=90° 30° 或 , 1 由 S△ABC= 2 × AB× AC× sinA,可得 S△ABC=2 3 或 S△ABC= 3 . b c 2c sin B c ? 得 ? sin B sin C , 2.30° 150° 或 分析:由 b=2csinB 及正弦定理 sin B sin C 1 ∴ sinC= 2 ,∴ ∠C=30° 150° 或 . c ?2 2 3.2 2 分析:∵ c=2RsinC,∴ R= 2 sin C .

4.60° 120° 分析:∵ 或 ∴ ∠A=60° 120° 或 . 5.6+2 3 ∴ ∴ 分析:∵

1 S△ABC= 2 bcsinA,∴ a b ? sin A sin , B

3 1 2 =2 × 2× 3 sinA,∴

3 sinA= 2 ,

2( 3 ? 1) b ? sin(180? ? 45? ? 60?) sin 45? ,
b=4.

1 ∴ S△ABC= 2 absinC=6+2 3 . 三、解答题 1.解:(1)∵ a+b=16,∴ b=16-a
1 1 3 3 2 S= 2 absinC = 2 a(16-a)sin60° 4 (16a-a )=- 4 (a-8)2+16 3 (0<a<16) =

(2)由(1)知,当 a=8 时,S 有最大值 16 3 . 2.解:∵ ∴ sinC∶sinA=4∶ 13 c∶a=4∶ 13

设 c=4k,a= 13 k,则

?13k 2 ? 13k ? 2(b ? 4k ) ? ? ? 13k ? 2b ? 8k ? 3 ? 由①、②消去 2b,得 13k2-16k+3=0 3 解得 k= 13 或 k=1, 3 ∵ k= 13 时 b<0,故舍去.



∴ k=1,此时 a= 13 ,b= 3.证明:由正弦定理,知 a=2RsinA,b=2RsinB

5 ? 13 2 ,c=4.

a ? b 2R s i n ? 2R s i n A B si n ?si n A B ? ? a ? b 2R s i n ? 2R s i n A B sin ?sin A B A? B A? B A? B A? B sin ( ? )?si n ( ? ) 2 2 2 2 ? A? B A? B A? B A? B sin ( ? )?sin ( ? ) 2 2 2 2 A? B A? B A? B 2s i n cos tan 2 2 ? 2 ? A? B A? B A? B 2s i n cos tan 2 2 2 4.证明:∵ A、B、C 成等差数列, ∴ 2B=A+C,又 A+B+C=π, 2? ? ∴ B= 3 ,A+C= 3 . ∵ b=1,设△ABC 的外接圆半径为 R, ? ∴ b=2Rsin 3 ?

3 1=2R· 2 ,

3 R=1. ∴ ∴ a+c=2RsinA+2RsinC =2R(sinA+sinC) 2? =2R[sin( 3 -C)+sinC]
3 3 =2R( 2 cosC+ 2 sinC)

1 3 =2 3 R( 2 cosC+ 2 sinC)

? =2 3 Rsin(C+ 6 )

? =2sin(C+ 6 ) 2? 2? ∵ A+C= 3 ,∴ 0<C< 3 ? ? 5? ∴ 6 <C+ 6 < 6 ? 1 ∴ 2 <sin(C+ 6 )≤1 ? ∴ 1<2sin(C+ 6 )≤2 ∴ 1<a+c≤2. 5.证明:在△ABC 中,设 C≥120° ,则 c 最长,令最短边为 a,由正弦定理得 c sin C s i nA ? B ) ( ? ? a sin A sin A ∵ A≤B ∴ 2A≤A+B≤180°-C≤60° ? ∵ 正弦函数在(0, 3 )上是增函数, ∴ sin(A+B)≥sin2A>0 c s i nA ? B ) sin 2 A 2 sin A cos A ( ? ? sin A ≥ sin A sin A ∴ a =2cosA c ∴ a ≥2cosA ∵ 2A≤60° ∴ 0° <A≤30°
∴ ∴ ∴ ∴
3 cosA≥cos30°= 2
c 3 a ≥2· 2 c a≥ 3

最长边与最短边之比不小于

第二套

正弦定理练习(二)
1.在 ?ABC 中,已知角 B ? 450 , c ? 2 2, b ? A.15° B.75° C.105°
4 3 , 则角 A 的值是( 3



D.75°或 15° )

2. ?ABC 中,bsinA<a<b, 则此三角形有( A.一解 3.若 B.两解 C.无解

D.不确定 )

sin A cos B cos C ? ? , 则?ABC 是( a b c

A.等边三角形 C.等腰直角三角形

B.有一内角是 30° D.有一内角是 30°的等腰三角形 )

4.在 ?ABC 中,已知 B ? 600 , C ? 450 , BC ? 8, AD ? BC 于 D, 则 AD 长为(

A.4( 3 ?1)

B.4( 3+1)

C.4( 3+3)

D.4(3 ? 3)


5.在 ?ABC 中, A>B 是 sinA>sinB 的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6.在 ?ABC 中, B ? 600 , b ? 7 6, a ? 14 ,则 A= 7.在 ?ABC ?ABC 中,已知 cos 2B ? cos 2C ? 1 ? sin A ? 2sin B cos C,cos C ? sin B 求证:b=c 且 A=900 。 8,已知Δ ABC 中,2B=A+C,且 A>B>C,又 tanA 和 tanC 为方程 x2 ? 3x ? 2 ? 3( x ?1) 的两个根,且

S? ABC ? 3 ? 3 ,求Δ ABC 的三个角和三条边。
答案与详解: 1. D, 正弦定理将 2. B,见研析 1。 3. C, 由正弦定理及已知条件对比发现 sinB=cosB,sinC=cosC,故 B=C=450,A=900 。 4. D , 由已知 A=750 ,再由正弦定理易求 AB 的长,在 RTΔ ABD 中 AD=ABsin600 可得。
b c ? ? C ? 600 或1200 ∴A=750 或 150 sin B sin C

5.C , 在Δ ABC 中, A ? B ? a ? b ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? sin A ? sin B 。 6.45°,由正弦定理得 sinA=

2 0 0 0 0 , ∴A=45 或 135 ,又 B=60 ,故 A=45 。 2

7.证明:∵cos2B+cos2C=1+cos2A, ∴cos2B+cos2C-2=cos2A-1, ∴sin2B+sin2C=sin2A,即 b2+c2=a2 ∴Δ ABC 为 RtΔ 且 A=900, 又 sinA=2sinBcosC,cosC=sinB, ∴2sin2B=1,sinB= ∴B=450, C=450, ∴b=c,且 A=900. 8, ∵2B=A+C∴B=600 ∵tanA 和 tanC 为方程 x2 ? 3x ? 2 ? 3( x ?1) 的两个根 ∴tanA=1,tanC=2+ 3 ,所以 A=450,C=750.
1 因为 S? ABC ? 3 ? 3 ,所以 ab sin B ? 3 ? 3 ,即 ac ? 4( 3 ?1) (1). 2 a c ? 由正弦定理 所以 a ? ( 3 ?1)c .(2) sin A sin C

2 , 2

?ac ? 4( 3 ? 1) ? 联立(1) (2) ? ?a ? ( 3 ? 1)c ?
解得: ?

? a ? 2( 3 ? 1) ? ?c ? 2 ?

再由正弦定理得: b ?

a sin B ? 3 2 ?6. sin A

第三套

正弦定理、余弦定理 ●作业导航 能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断. 一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是( ) A.b=7,c=3,C=30° B.b=5,c=4 2 ,B=45° C.a=6,b=6 3 ,B=60° D.a=20,b=30,A=30° 2.在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 的值为( ) A.79 B.69 C.5 D.-5 a?b?c 3.在△ABC 中,A=60° ,b=1,其面积为 3 ,则 sin A ? sin B ? sin C 等于( )
2 39 8 3 39 A.3 3 B. 3 C. 3 D. 2 4.在△ABC 中,已知 a=x cm,b=2 cm,B=45° ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则 x 的取值范围是( )

A.2<x<2 2 B.2<x≤2 2 C.x>2 D.x<2 5.已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( ) A. 5 ? x ? 13 二、填空题 1.已知△ABC 的面积为 3 ,B=60° ,b=4,则 a=________;c=________. 2.化简 a· cosA+b· cosB-c· cos(A-B)的结果是________. 3.若三角形中有一个角为 60° ,夹这个角的两边的边长分别是 8 和 5,则它的内切圆半径等于 ________,外接圆半径等于________.
a 2 ? b2 ? c 2 4 4.已知△ABC 的三边分别是 a、b、c,且面积 S= ,则角 C=________.

B. 13 <x<5

C.2<x< 5

D. 5 <x<5

5.在△ABC 中,| AB |=3,| AC |=2, AB 与 AC 的夹角为 60° ,则| AB - AC |=________;| AB + AC |=________. 三、解答题 1.在△ABC 中,b=10,A=30° ,问 a 取何值时,此三角形有一个解?两个解?无解? 2.已知钝角三角形 ABC 中,B>90° ,a=2x-5,b=x+1,c=4,求 x 的取值范围. A b?c 9 ? ? 2 2c 10 ,c=5,求△ABC 的内切圆半径. 3.在△ABC 中,cos 2 4.R 是△ABC 的外接圆半径,若 ab<4R2cosAcosB,则外心位于△ABC 的外部. 5.半径为 R 的圆外接于△ABC,且 2R(sin2A-sin2C)=( 3 a-b)sinB. (1)求角 C; (2)求△ABC 面积的最大值. 参考答案 一、选择题 1.C 分析:A 中 bsinC>c,无解; B 中 csinB<b<c,有两解;

C 中 asinB<a<b,有一解; D 中 bsinA<a<b,有两解. 2.D 分析:∵ ∵

BC BC AB · =- BA · ,

BC BA · =| BA || BC |cosB

1 = 2 (| BA |2+| BC |2-| AC |2) 1 = 2 (52+72-82)=5



BC BC AB · =- BA · =-5 1 3.B 分析:∵ S△ABC= 2 × c× 1× sin60° 3 , = 2 2 2 ∴ c=4,∴ a =b +c -2bccosA=13
∴ ∵ ∴
a 39 ? 3 R= 2 sin A a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC a?b?c 2 39 ? 2R ? sin A ? sin B ? sin C 3 2 分析:若解此三角形有两解,则 asinB<b<a,即 2 x<2<x,

4.A ∴

2<x<2 2 .

5.A 分析:由三角形三边的关系,得 1<x<5,(1)当 1<x<3 时,由 22+x2>32 解得 5 <x <3; (2)当 3≤x<5 时,由 22+32>x2 解得 3≤x< 13 ,由(1)(2)可知 5 <x< 13 . 二、填空题 1. 7 ± 3

7± 3
① ②

1 分析:∵ S△ABC= 2 acsinB= 3 ,∴ ac=4 ∵ b2=a2+c2-2accosB,∴ a2+c2=20

由①②解得 a= 7 ± 3 ;c= 7 ? 3 2.0 分析:∵ a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=bcosA+acosB, ∴ a· cosA+b· cosB-c· cos(A-B) =(bcosC+ccosB)cosA+(acosC+ccosA)cosB-c· (cosAcosB+sinAsinB) =bcosCcosA+ccosBcosA+acosCcosB+ccosAcosB-ccosAcosB-csinAsinB =cosC(bcosA+acosB)+c(cosAcosB-sinAsinB) =ccosC+ccos(A+B) =ccosC-ccosC=0
7 3 3 3 3. 分析:设 60° 的角的对边长为 x,外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,则 x2= 2 2 8 +5 -2× 5× 8× cos60° =49,∴ x=7



7=2Rsin60° ,∴

7 3 R= 3



1 1 S△ABC= 2 × 5× 8× sin60° 2 × (8+5+7),∴ = r×

r= 3

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ab 1 1 ? ? ? 4 2ab 2 2 abcosC 4.45° 分析:S△ABC= 2 absinC= ∴ sinC=cosC,∴ tanC=1,∴ C=45°

5. 7 19

分析:由三角形法则知

| AB - AC |2=| BC |2 =| AB |2+| AC |2-2| AB |·AC |· | cosA 2 2 =3 +2 -2× 2× 3× cos60° =7 ∴ | AB - AC |= 7 类似地由平行四边形及余弦定理可知 | AB + AC |2=32+22-2× 2× 3× cos120° =19 ∴ | AB + AC |= 19 三、解答题 1.解:∵ A=30° ,b=10 (1)当 0<a<bsinA 时无解,即 0<a<5 时,无解. (2)当 a=bsinA 时,有一解,即 a=5 时,有一解. (3)当 bsinA<a<b 时,有两解,即 5<a<10 时,有两解. (4)当 a≥b 时,有一解,即当 a≥10 时,有一解. 综上(1)、(2)、(3)、(4)得 当 0<a<5 时,无解;a=5 或 a≥10 时,有一解;5<a<10 时,有两解. 2.解:∵ B>90° ∴ A、C 皆为锐角,应有 ?b ? a ?b ? c ? ? ?a ? c ? b ?a 2 ? c 2 ? b 2 ? 0 ?
?x ? 1 ? 2x ? 5 ?x ? 1 ? 4 ? ?? ?2 x ? 5 ? 4 ? x ? 1 ?( 2 x ? 5) 2 ? 4 2 ? ( x ? 1) 2 ? 0 ? ?x ? 6 ?x ? 3 ? ?? ?x ? 2 ?3x 2 ? 22x ? 40 ? 0 ? ?3 ? x ? 6 ? ? ?10 ?3 ?x?4 ? 10 ? ?x?4 3



10 x 的取值范围是 3 <x<4.

3.解:∵

b?c 9 ? 10 ,∴ c=5, 2c

b=4

A 1 ? cos A b ? c ? ? 2 2c 又 cos 2
2

∴ ∴ ∴ ∴ ∴

b2 ? c 2 ? a 2 b 2bc cosA= c 又 cosA=
b2 ? c 2 ? a 2 b ? 2bc c 2 2 2 2 b +c -a =2b a2+b2=c2 △ABC 是以角 C 为直角的三角形.

2 2 a= c ? b =3



1 ∴ △ABC 的内切圆半径 r= 2 (b+a-c)=1. 4.证明:∵ ab<4R2cosAcosB 由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB ∴ 4R2sinAsinB<4R2cosAcosB ∴ cosAcosB>sinAsinB ∴ cosAcosB-sinAsinB>0 ∴ cos(A+B)>0 ∵ cos(A+B)=-cosC∴ -cosC>0 cosC<0∴ 90° <C<180° ∴ △ABC 是钝角三角形∴ a b c ? ? ? 2R 5.解:(1)∵ sin A sin B sin C ?s i2 n ? ( A a 2 c b ) , s i 2 n ? ( )2 , s i B ? C n 2R 2R 2R 2R(sin2A-sin2C)=( 3 a-b)sinB a c b 2 2 2 2R[( 2 R ) -( 2 R ) ]=( 3 a-b)· R

三角形的外心位于三角形的外部.

∵ ∴ ∴

a -c = 3 ab-b ∴

2

2

2

a 2 ? b2 ? c 2 3 ? 2ab 2 ∴

3 cosC= 2 ,∴
2

C=30°

(2)∵

1 1 S= 2 absinC= 2 · 2RsinA· 2RsinB· sinC

R =R2sinAsinB=- 2 [cos(A+B)-cos(A-B)]

R2 R2 3 = 2 [cos(A-B)+cosC]= 2 [cos(A-B)+ 2 ] 当 cos(A-B)=1 时,S 有最大值 第四套 1.如图,某人要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度.他在 C 点 测得塔顶 A 的仰角是 α,在 D 点测得塔顶 A 的仰止是 β,并测得水平面上的角 ∠BCD=θ,θ 为钝角,CD=m 米,求电视塔 AB 的高度 x.

2.如图所示,有两条相交成 60° 角的直路 XX′、YY′,交点是 O.甲、乙分别在 OX、OY 上,起初甲离 O 点 3 千米,乙离 O 点 1 千米后来两人同时用每小时 4 千米的速度,甲沿 XX′的方向.乙沿 Y′Y 的 方向步行 (1)起初,两人的距离是多少? (2)用包含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离; (3)什么时候两人的距离最短?

3.如图所示,边长为 a 的正三角形 ABC 的中心为 O,过 O 任意作直线变 AB、AC 于 M、N.求 1 1 ? 的最大值和最小值. 2 OM ON 2

4. 如图,ABCD 是一块边长为 100 来的正方形地皮,其由 ATPS 是一半径为 90 米的扇形小山,P 是弧 TS 上一点,其余部分都是平地.现一开发商想在平地上建花一个有边落在 BC 与 CD 上的长方 形停车场 PQCR,求长方形停车场的最大值和最小值.

5. 如图,已知点 P 是正方形 ABCD 内一点,且 PA=l,PB=3,PD= 7 ,求正方形 ABCD 的面积.

6.在△ABC 中,AB=1,BC=2,求∠C 的取值范围.


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