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全国高中数学联合竞赛附答案


全国高中数学联合竞赛 (9 月 19 日上午 9:00~11:00) 一、选择题(本题共 6 个小题,每小题 5 分满分 30 分) (1) 若函数 f ( x) ? 11? 8 cos x ? 2 sin 2 x 的最大值为 a , 最小值为 b , 则 (A) 18 (B) 6 (C) 5 (D) 0 ) a ?1 等于 ( b ) (2)若 0 ? a ? b ,且

a ? b ? 1 ,则下列各式中最大的是( (A) ? 1 (C) log2 b (B) log2 a ? log2 b ? 1 (D) log2 (a 3 ? a 2 b ? ab2 ? b 3 ) (3)已知数列 2004 , 2005 ,1 , ? 2004 , ? 2005 ,…,这个数列的特点是从第二项起, 每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2004 项之和 S 2004 等于( (A) 2005 (4)已知函数 f ( x) ? (A) k ? (0, ) (B) 2004 (C) 1 ?1 ) (D) 0 e x ? e?x 的反函数是 f e x ? e ?x (B) k ? ( ,1) ( x) ,且 | f ?1 (?0.8) | ? k ,则( | f ?1 (0.6) | 3 2 ) 1 2 1 2 (C) k ? (1, ) (D) k ? ( ,2) 3 2 (5)正四棱锥 S ? ABCD 中,侧棱与底面所成的角为 ? ,侧面与底面所成的角为 ? ,侧面 等腰 三角形的底角为 ? ,相邻两侧面所成的二面角为 ? ,则 ? 、 ? 、? 、? 的大小关系是( (A) ? ? ? ? ? ? ? (C) ? ? ? ? ? ? ? (B) ? ? ? ? ? ? ? (D) ? ? ? ? ? ? ? ) (6)若对任意的长方体 A ,都存在一个与 A 等高的长方体 B ,使得 B 与 A 的侧面积之比 和体积之比都等于 k ,则 k 的取值范围是( (A) k ? 0 (B) 0 ? k ? 1 ) (C) k ? 1 (D) k ? 1 二、填空题(本题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1 (7)若关于 x 的方程 x lg 2 a ? 1 ? x 只有一个实数解,则 a 的值等于 x ? lg a . (8)在 ?ABC 中,若 tan A ? 1 1 , tan B ? ,且最长的边的长为1 ,则最短的边的的长等 2 3 . 于 . (9)若正奇数 n 不能表示为三个不相等的合数之和,则满足条件的 n 的最大值为 (10)设 a 、 b 、 c 是直角三角形的三条边长,且 (a n ? b n ? c n ) 2 ? 2(a 2n ? b 2n ? c 2n ) , * 其中 n ? N , n ? 2 ,则 n 的值等于 . 对. (11)连接正文体各个顶点的所有直线中,异面直线共有 (12)如图,以 O(0,0) 、 A(1,0) 为顶点作正 ?OAP 1 ,再以 P 1和P 1 A 的中点 B 为顶点作正 ?P 1 BP 2 ,再以 P 2 B 的中点 C 为顶点作正 2和P ?P2CP3 ,…,如此继续下去.有如下结论: ①所作的正三角形的边长构成公比为 数列; ②每一个正三角形都有一个顶点在直线 AP 2 ( x ? 1 )上; ③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上 P1 C P2 P6 P3 P5 P4 1 的等比 2 B

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