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第5讲 等差数列、等比数列


第五讲 等差数列、等比数列

真题试做?——————————————————— 2 1.(2013· 高考课标全国卷Ⅰ)设首项为 1,公比为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 3 ( ) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 2.(2013· 高考重庆卷)已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠

0,Sn 为其前 n 项和,若 a1, a2,a5 成等比数列,则 S8=________. 3.(2013· 高考江西卷)正项数列{an}满足:a2 n-(2n-1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; 1 (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. (n+1)an

考情分析?——————————————————— 等差数列与等比数列是最重要也是最基本的数列模型,因而也是高考中重点考查的内 容.客观题突出“小而巧”,主要考查等差(比)数列的性质,利用方程思想求 a1、d、q、Sn、 n、an 等一些基本元素;主观题一般“大而全”,常与函数、不等式、解析几何等知识相结 合,注重考查题目的综合性与新颖性,属于中档题,主要考查考生灵活运用两种数列分析问 题、解决问题的能力.

考点一 等差(比)数列的基本运算 等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性,是高考必考内容,着重考查等差、 等比数列的基本运算、 基本技能和基本思想方法, 题型不仅有选择题、 填空题, 还有解答题, 题目难度中等. (2013· 高考重庆卷)设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N+. (1)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)已知{bn}是等差数列,Tn 为其前 n 项和,且 b1=a2,b3=a1+a2+a3,求 T20. 【思路点拨】 根据等比、等差数列的通项公式及前 n 项和公式直接运算求解.

关于等差(等比)数列的基本运算, 一般通过其通项公式和前 n 项和公式构 造关于 a1 和 d(或 q)的方程或方程组解决,如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列 的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识. 强化训练 1 (2012· 高考重庆卷)已知{an}为等差数列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求{an}的通项公式; (2)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,求正整数 k 的值.

考点二 等差(比)数列的判定与证明 等差(比)数列的判定与证明,以及在此基础上延伸出来的一些新数列是历年高考数列问 题的一大热点.主要以解答题的形式进行考查,考查的目的是:考生对基本数列的理解和利 用,对已知信息进行转化和变通的能力.在解决此类问题时,要注意 Sn 与 an 关系的应用. (2013· 高考陕西卷)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和. (1)若{an}是等差数列, 推导 Sn 的计算公式; 1-qn (2)若 a1=1,q≠0,且对所有正整数 n,有 Sn= ,判断{an}是否为等比数列, 1-q 并证明你的结论. 【思路点拨】 利用等差数列的性质倒序相加求和;等比数列的证明通过定义进行.

判定或证明{an}为等差数列或等比数列时也常用以下方法: (1)通项公式法:an=pn+q(p,q 为常数,n∈N*)?{an}为等差数列; an=cqn(c,q 为非零常数,n∈N*)?{an}为等比数列. (2)前 n 项和公式法: Sn=an2+bn+c(a,b,c 都是常数),c=0?{an}为等差数列; Sn=k(qn-1),k 为常数,且 q≠0,1?{an}为等比数列. 强化训练 2 (2013· 东北三校高三第一次联合模拟考试)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an+(-1)n(n∈N*). (1)求数列{an}的前三项 a1,a2,a3; 2 (2)求证:数列{an+ (-1)n}为等比数列,并求出{an}的通项公式. 3

考点三 等差数列与等比数列的综合应用

从近几年的考题看, 对于等差与等比数列的综合考查也频频出现. 考查的目的在于测试 考生灵活运用知识的能力,这个“灵活”就集中在“转化”的水平上. (2013· 高考湖北卷)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列, 且 a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2 013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不 存在,说明理由. 【思路点拨】 首先由 S4,S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18,求得 a1 和公比 q, 进而得通项公式; 然后根据等比数列的前 n 项和公式列出关于 n 的不等式, 通过解不等式进 而做出判断.

对于等差数列与等比数列综合性的问题,要找准其结合点,弄清哪些是 等差数列中的量,哪些是等比数列中的量,注意它们的区别,避免用错公式. 强化训练 3 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,S1、2S2、3S3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn-an}是首项为-6,公差为 2 的等差数列,求数列{bn}的前 n 项和.

结构创新型试题的解题技巧 ——函数与数列的珠联璧合 数列是定义在正整数集上的一类特殊的函数, 以函数为背景的数列问题通常有两种: 一 是数列由函数关系给出; 二是利用函数的有关方法求解数列的有关问题. 数列与函数的这种 关系也是数列解答题命题的重点之一. π (2012· 高考四川卷)设函数 f(x)=2x-cos x, {an}是公差为 的等差数列, f(a1)+f(a2) 8 2 +?+f(a5)=5π ,则[f(a3)] -a1a5=( ) 1 2 A.0 B. π 16 1 2 13 2 C. π D. π 8 16 (1)给出以等差数列前 5 项为自变量的函数值之和. (2)根据等差数列性质和三角函数性质把 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的结构用 a3 表 达. (3)构造函数,通过函数的单调性确定 a3 的值. (4)将求解结果用 a3 表示、化简. 抓信息 寻思路 【解析】 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5) =2(a1+a2+a3+a4+a5)-(cos a1+cos a2+cos a3+cos a4+cos a5) π π π π =10a3-[cos(a3- )+cos(a3- )+cos a3+cos(a3+ )+cos(a3+ )] 4 8 8 4 π π =10a3-(2cos +2cos +1)cos a3. 4 8 π π 构造函数 g(x)=10x-(2cos +2cos +1)cos x-5π, 4 8 π π g′(x)=10+(2cos +2cos +1)sin x>0, 4 8 π 函数 g(x)在(-∞,+∞)内单调递增,由 g( )=0, 2 π π π π 所以方程 10x-(2cos +2cos +1)cos x-5π=0 有唯一解 x= ,所以 a3= . 4 8 2 2 π π 所以[f(a3)]2-a1a5=[f(a3)]2-(a3- )(a3+ ) 4 4 2 2 π 2 π 13π2 2 2 π 2 =[f(a3)] -a3+ =π -( ) + = . 16 2 16 16 【答案】 D 跟踪训练 (2013· 成都市高中毕业班第二次诊断性检测)已知数列{an}满足 an+2-an+1= π x an+1-an,n∈N*,且 a5= .若函数 f(x)=sin 2x+2cos2 ,记 yn=f(an),则数列{yn}的前 9 2 2 项和为( )

A.0 B.-9 C.9 D.1

_体验真题· 把脉考向_ 1. 【解析】选 D.法一:在等比数列{an}中, 2 1-an· 3 a1-anq Sn= = =3-2an. 2 1-q 1- 3 2 法二:在等比数列{an}中,a1=1,q= , 3 2 n-1 2 n-1 ∴an=1×( ) =( ) . 3 3 2 n 1×[1-( ) ] 3 2 Sn= =3[1-( )n] 2 3 1- 3 22 - =3[1- ( )n 1]=3-2an. 33 2. 【解析】∵a1,a2,a5 成等比数列,∴a2 2=a1a5, 2 2 ∴(1+d) =1×(4d+1),∴d -2d=0. ∵d≠0,∴d=2. 8×7 ∴S8=8×1+ ×2=64. 2 【答案】64 3. 【解】(1)由 a2 n-(2n-1)an-2n=0,得 (an-2n)(an+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 an=2n. 1 (2)由 an=2n,bn= ,则 (n+1)an 1 1 1 1 bn= = ?n-n+1?, ? 2n(n+1) 2? 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn= ?1-2+2-3+?+n-1-n+n-n+1? 2? ? 1 ? 1? n = 1-n+1 = 2? ? 2(n+1). _典例展示· 解密高考_ 【例 1】 【解】(1)由题设知{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 1-3n 1 n - 所以 an=3n 1,Sn= = (3 -1). 1-3 2 (2)b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d, 所以公差 d=5, 20×19 故 T20=20×3+ ×5=1 010. 2 [强化训练 1]【解】(1)设数列{an}的公差为 d, ?2a1+2d=8, ?a1=2, ? ? 由题意知? 解得? ? ? ?2a1+4d=12, ?d=2. 所以 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. n(a1+an) n(2+2n) (2)由(1)可得 Sn= = =n(n+1). 2 2 因为 a1,ak,Sk+2 成等比数列,所以 a2 k =a1Sk+2. 从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即 k2-5k-6=0, 解得 k=6 或 k=-1(舍去).因此 k=6. 【例 2】 【解】(1)法一:设{an}的公差为 d,则

Sn=a1+a2+?+an=a1+(a1+d)+?+[a1+(n-1)d]. 又 Sn=an+(an-d)+?+[an-(n-1)d], n(a1+an) ∴2Sn=n(a1+an),∴Sn= . 2 法二:设{an}的公差为 d,则 Sn=a1+a2+?+an=a1+(a1+d)+?+[a1+(n-1)d]. 又 Sn=an+an-1+?+a1 =[a1+(n-1)d]+[a1+(n-2)d]+?+a1, ∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+?+[2a1+(n-1)d]=2na1+n(n-1)d, n(n-1) ∴Sn=na1+ d. 2 (2){an}是等比数列.证明如下: 1-qn ∵Sn= , 1-q + 1-qn 1 1-qn qn(1-q) n ∴an+1=Sn+1-Sn= - = =q . 1-q 1-q 1-q an+1 qn ∵a1=1,q≠0,∴当 n≥1 时,有 = =q. an qn-1 因此,{an}是首项为 1 且公比为 q(q≠0)的等比数列. [强化训练 2]【解】(1)在 Sn=2an+(-1)n(n∈N*)中分别令 n=1,2,3 得: ?a1=2a1-1 ?a1=1

? ? ?a1+a2=2a2+1 ,解得?a2=0. ? ? ?a1+a2+a3=2a3-1 ?a3=2

(2)证明:由 Sn=2an+(-1)n(n∈N*)得: - Sn-1=2an-1+(-1)n 1(n≥2),两式相减得: an=2an-1-2(-1)n(n≥2), 4 2 an=2an-1- (-1)n- (-1)n 3 3 4 2 - =2an-1+ (-1)n 1- (-1)n(n≥2), 3 3 2 2 - ∴an+ (-1)n=2[an-1+ (-1)n 1](n≥2). 3 3 2 2 1 故数列{an+ (-1)n}是以 a1- = 为首项,公比为 2 的等比数列. 3 3 3 2 1 - ∴an+ (-1)n= ×2n 1, 3 3 - 2n 1 2 1 2 - ∴an= ×2n 1- ×(-1)n= - (-1)n. 3 3 3 3 【例 3】 【解】(1)设等比数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0. ?S2-S4=S3-S2, ?-a1q2-a1q3=a1q2, ? ? 由题意得? 即? 2 ?a2+a3+a4=-18, ? ?a1q(1+q+q )=-18, ? ? ?a1=3, 解得? ?q=-2. ? - 故数列{an}的通项公式为 an=3×(-2)n 1. n 3[1-(-2) ] (2)由(1)有 Sn= =1-(-2)n. 1-(-2) 假设存在 n,使得 Sn≥2 013,则 1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即 2n≥2 012,

即 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}. [强化训练 3]【解】(1)由已知 4S2=S1+3S3, 4(a1+a1q)=a1+3a1(1+q+q2), 1 3q2-q=0,∴q=0(舍),或 q= , 3 n-1 1 ? ? . ∴an=2· ?3? (2)由题意得:bn-an=2n-8, 1?n-1 bn=an+2n-8=2? ?3? +2n-8. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 1 n 2?1-?3? ? ? ? ? ? n(-6+2n-8) Tn= + 1 2 1- 3 1? =3? ?1-3n?+n(n-7) 1 =- n-1+n2-7n+3. 3 _名师讲坛· 精彩推荐_ [跟踪训练]【解析】选 C.由数列{an}满足 an+2-an+1=an+1-an,n∈N*可知该数列是等 π 差数列,根据题意可知只要该数列中 a5= ,数列{yn}的前 9 项和就能计算得到一个定值, 2 又因为 f(x)=sin 2x+1+cos x, 则可令数列{an}的公差为 0, 则数列{yn}的前 9 项和为 S9=(sin 2a1 + sin 2a2 +?+ sin 2a9) + (cos a1 + cos a2 +?+ cos a9) + 9 = 9sin 2a5 + 9cos a5 + 9 = π π 9sin(2× )+9cos +9=9. 2 2


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