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1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 学案(人教B版必修2)


1.1.2

棱柱、棱锥和棱台的结构特征
自主学习

学习目标 1.了解和认识多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征,加深对几种几何体的概念及性 质的理解. 2.了解凸多面体和平行六面体等的概念. 3.掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质. 自学导引 1.棱柱 (1)棱柱的主要特征性质:①_______________________

_;②其余每相邻两个面的交线 都互相平行. (2) 棱 柱 的 ______________ 叫 做 棱 柱 的 底 面 , __________ 叫 做 棱 柱 的 侧 面 , ______________________叫做棱柱的侧棱,________________________叫做棱柱的高. (3)棱柱的分类:①棱柱按底面分是三角形、四边形、五边形?分别叫做三棱柱、四棱 柱、五棱柱?. ②棱柱又分为斜棱柱和直棱柱: 侧棱与底面__________的棱柱叫做斜棱柱, 侧棱与底面 ________的棱柱叫做直棱柱,底面是______________的直棱柱叫做正棱柱. (4)特殊四棱柱:底面是______________的棱柱叫做平行六面体,__________________ 的平行六面体叫做直平行六面体,底面是 ______________ 的直平行六面体是长方体, ________________的长方体是正方体. 2.棱锥 (1) 棱 锥 的 主 要 结 构 特 征 : ① 有 一 个 面 是 ______________ ; ② 其 余 各 面 都 是 __________________的三角形. (2)棱锥中________________________,叫做棱锥的侧面;______________________叫 做棱锥的顶点;________________________叫做棱锥的侧棱;__________叫做棱锥的底面; ______________________叫做棱锥的高. (3) 如 果 棱 锥 的 底 面 是 __________ , 且 它 的 顶 点 在 过 底 面 中 心 且 与 底 面 垂 直 的 __________,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是____________________,它们底边 上的高叫做棱锥的斜高. 3.棱台 (1)棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱 台 . ________________________ 分 别 叫 做 棱 台 的 上 下 底 面 ; 其 他 各 面 叫 做 棱 台 的 ________; ________________________叫做棱台的侧棱; __________________叫做棱台的高. (2)由__________截得的棱台叫做正棱台. (3)正棱台各侧面都是__________________,这些等腰梯形的高叫做棱台的________. 对点讲练 知识点一 理解棱柱、棱锥、棱台定义和性质 例 1 下列概念判断不正确的有________.(填序号) ①有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱. ②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形.

③有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台. 点评 对几何体定义的理解要准确,另外,要想真正把握几何体的结构特征,必须多角 度、全面地分析,多观察实物,提高空间想象能力. 变式训练 1 下列命题正确的是( ) A.斜棱柱的侧棱有时垂直于底面 B.正棱柱的高可以与侧棱不相等 C.六个面都是矩形的六面体是长方体 D.底面是正多边形的棱柱为正棱柱 知识点二 几何体的结构特征 例2 如图是三个几何体的表面展开图,请问各是什么几何体?

点评 解此类问题应结合常见的几何体的定义和结构特征,进行空间想象或亲自动手, 制作表面展开图进行实践.

变式训练 2 如图所示,小明设计了某个产品的包装盒,他少设计了其中的一部分,请 你把它补上, 使其成为两边均有盖的正方体盒子. 你有几种弥补的办法?任意画出一种成功 的设计图.

知识点三 多面体中有关元素的计算 例3

如图所示,正四棱台 AC′的高为 17 cm,两底面的边长分别为 4 cm 和 16 cm,求这个 棱台的侧棱和斜高.

点评 关于正棱台的计算问题.解决问题的关键是:(1)棱台的高.尽管棱台的高是上、 下两底面之间的距离,但正棱台的上、下两底面中心的连线就是棱台的高; (2)正棱台的斜 高就是侧面(等腰梯形)的高.要明白该梯形的上、下中点的连线就是斜高.(3)解题时要注意 两个直角梯形,即:直角梯形 OBB′O′和 OEE′O′,计算问题都可以在这两个梯形中进 行,我们以后要熟练掌握. 变式训练 3 正四棱锥 P—ABCD 的底面边长为 a,高 PO 为 h,求它的侧棱 PA 的长和 斜高 PE.

一、知识结构梳理

二、几种特殊四棱柱的特征和性质(见下表)

名称 结构 特征 特殊的 性质

平行六面体 底面是平行 四边形的棱柱 底面和侧面都 是平行四边形

直平行六面体 侧棱与底面垂直 的平行六面体 侧棱垂直于底 面,各侧面都是 矩形

长方体 底面是矩形 的直平行六面体 底面和侧面都是 矩形

正方体 棱长都相等的 长方体 棱长都相等,各 面都是正方形

1.长方体一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和,即 l2=a2+b2+ c2.其中 l 是长方体的对角线长,a,b,c 是长方体的三边长. 2.对于正棱锥和正棱台,要注意准确理解概念,把握图形的特征,尤其是图中的一些 重要的直角三角形和直角梯形. 3. 棱台是由棱锥截得的, 在处理与棱台有关的问题时要注意联系棱锥的有关性质, “还 台为锥”是常用的解题方法和策略. 课时作业 一、选择题 1.有四个集合:A={棱柱},B={四棱柱},C={长方体},D={正方体},它们之间 的包含关系是( ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是( ) A.棱柱的侧面都是矩形 B.棱柱的侧棱不全相等 C.棱柱是有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体 D.棱柱的几何体中至少有两个面平行 3.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能是( ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 4.设有四个命题 甲:有两个平面互相平行,其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱; 乙:有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥; 丙:用一个面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫棱台; 丁:侧面都是长方形的棱柱叫长方体. 其中,真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.有一个正三棱锥和一个正四棱锥,它们所有的棱长都相等,把这个正三棱锥的一个 侧面重合在正四棱锥的一个侧面上,则所得到的这个组合体是( ) A.底面为平行四边形的四棱柱 B.五棱锥 C.无平行平面的六面体 D.斜三棱柱 题 答 号 案 1 2 3 4 5

二、填空题 6.一个棱柱有 10 个顶点,所有的侧棱长的和为 60 cm,则每条侧棱长为________cm.

7.

如图, 将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度, 则倾斜后水槽中 的水形成的几何体的形状是______. 8.在下面 4 个平面图形中,哪几个是下面各侧棱都相等的四面体的展开图?其序号是 ________.(把你认为正确的序号都填上)

三、解答题 9.如图,请设计辅助线,沿辅助线翻折,使正三角形折成(1)正四面体;(2)正三棱柱.

10.如图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短路线长为 29,设这条最短路线 与 CC1 的交点为 N,求: (1)设三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 与 NC 的长.

【答案解析】 自学导引 1. (1)①有两个互相平行的面 (2)互相平行的面 其余各面 两侧面的公共边 两底面 之间的距离 (3)②不垂直 垂直 正多边形 (4)平行四边形 侧棱与底面垂直 矩形 棱

长都相等 2.(1)①多边形 ②有一个公共顶点 (2)有公共顶点的各三角形 各侧面的公共顶点 相邻两侧面的公共边 多边形 顶点到底面的距离 (3)正多边形 直线上 全等的等腰三 角形 3. (1)原棱锥的底面和截面 侧面 相邻两侧面的公共边 两底面间的距离 (2)正棱锥 (3)全等的等腰梯形 斜高 对点讲练 例 1 ①③ 解析 理由:(1)有两个面平行,其余各面是平行四边形,但不一定是棱柱,如图①. (2)在四棱锥 P—ABCD 中,若 PD⊥平面 ABCD,而四边形 ABCD 为矩形,则可证明其 四边侧面都是直角三角形,如图②. (3)存在满足有两个面平行,其余各面是梯形,但不是棱台的图形,如图③.

变式训练 1 C [四个侧面都是矩形的棱柱是直平行六面体,两个底面是矩形的直平行 六面体是长方体,故正确答案为 C.] 例 2 解 ①五棱柱 ②五棱锥 ③三棱台 如图所示.

变式训练 2 解 共有 4 种,设计如图(画出其中一种即可).

例3

解 设棱台两底面的中心分别为 O′和 O,B′C′

和 BC 的中点分别为 E′和 E.连接 O′O、 E′E、 O′B′、 OB、 O′E′、 OE, 则 OBB′O′ 和 OEE′O′都是直角梯形. 因为 A′B′=4 cm,AB=16 cm, 所以 O′E′=2 cm,OE=8 cm,O′B′=2 2 cm, OB=8 2 cm. 因此 B′B= OO′2+?OB-O′B′?2 = 172+?8 2-2 2?2=19 cm, EE′= OO′2+?OE-O′E′?2

= 172+?8-2?2=5 13 cm. 即这个棱台的侧棱长为 19 cm,斜高为 5 13 cm. 变式训练 3 解

∵正四棱锥的底面边长为 a, ∴AO= 2 a,∴在 Rt△PAO 中, 2 h2+? 2 ?2 ? 2 a?

PA= PO2+AO2= = 2 2 a +2h2. 2

1 ∵OE= a,∴在 Rt△POE 中, 2 斜高 PE= PO2+OE2= 即此正四棱锥的侧棱长为 1 斜高为 a2+4h2. 2 课时作业 1.B 2.D 3.D [如图所示,正六边形 ABCDEF 中,OA=OB=?=AB,那么正六棱锥 S- ABCDEF 中,SA>OA=AB,即侧棱长大于底面边长.] a?2 1 2 2 h2+? ?2? =2 a +4h . 2 2 a +2h2, 2

4.A 5.D 6.12 7.四棱柱 8.①② 9.解 (1)如图①,取各边中点可折成正四面体.

(2)如图②,在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边为三角形 1 边长的 .有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可成为一个缺上底的正三棱柱,而剪出 4 的三个相同的四边形,恰可拼成这个正三棱柱的上底. 10.解 (1)正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面展开图是一个长为 9,宽为 4 的矩形,其对

角线长为 92+42= 97. (2)

如图所示,将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120° 使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上,点 P 运动到点 P1 的位置,连结 MP1,则 MP1 就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短 路线. 设 PC=x,则 P1C=x,在 Rt△MAP1 中,由勾股定理得 (3+x)2+22=29,求得 x=2. ∴PC=P1C=2. ∵ NC P1C 2 4 = = ,∴NC= . MA P1A 5 5


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