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]云南省昆明一中2014届高三上学期开学考试数学(文)试题


第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题 目要求的。 1.若复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是纯虚数,其中 m 是实数,则 A. i B. ?i C. 2i

1 = z

D. ?2i

2.如图,

若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是 直角三角形,其直角边长均为 1,则该几何体的体积为 A. 1 C.

1 3

1 2 1 D. 4
B.

3.已知 cos( x ?

3 ) ? ,则 cos 2x 的值为 2 5 7 7 A. ? B. 25 25

?

C. ?

16 25

D.

16 25

4.公比不为 1 的等比数列 ?an ? 前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 ?3a1 , ? a2 , a3 成等差数列,则 S 4 ? A. ?20 B. 0 C. 7 D. 40

5.变量 U 与 V 相对应的一组样本数据为 (11.4) , (2, 2.2) , (3 ,3) , (4,3.8) ,由上述样本数据得到 U 与 ,

V 的线性回归分析, R 2 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,则 R 2 =
A.

3 5

B.

4 5
y
2 1

C.1

D.3

6.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? a cos ax 的图象可能是
y
2 1

y
? 2

2 1

y
2 1

O
-1

? 2

?

x

O
-1

?

x

O
-2

? 2

?

x

O ?
-2

?

x

2

A.

B.

C.

D.

7.某班有 24 名男生和 26 名女生,数据 a1 , a2 ,┅, a 50 是该班 50 名 学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩,下面的程序用来同时统计全 班成绩的平均分:A,男生平均分:M,女生平均分:W;为了便于区别 性别,输入时,男生的成绩用正数,女生的成绩用其成绩的相反数.那 么 在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的
[来源:Z#xx#k.Com]

M ?W 50 M ?W C . T ? 0? , A ? 50

A . T ? 0? , A ?

M ?W 50 M ?W D . T ? 0? , A ? 50

B . T ? 0? , A ?

?? x 2 , x ? 0 ? 8.已知函数 f ? x ? ? ? 2 ,若 ?x , x ? 0 ?

f ? a ? 2 ? ? f (a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是
A. a ? 2 C. a ? 1 B. a ? 1 D. a ? 1
2

9.若曲线 f ( x) ? cos x 与曲线 g ( x) ? x ? bx ? 1 在交点 (0, m ) 处有公 切线,则 b ? A. ?1

B. 0

C. 1

D. 2

10.已知数列 {a n } 满足 an ?1 ? an ? an ?1 ( n ? 2 ), a1 ? 1 , a2 ? 3 ,记

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则下列结论正确的是
A. S102 ? 0 B. S102 ? 1 C. S102 ? 3 D. S102 ? 4

11.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , M 是抛物线 C 上的点,若
2

?OFM 的外接圆的圆心在抛物线 C 上,且该圆面积为 9? ,则 p ?
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

12 . 设 函 数 f ( x) 满 足 f (? x) ? f ( x), 当 x ? 0 时 f ( x) ? ( ) , 若 函 数 g ( x) ?
x

1 4

1 si n x , 则 函 数 ? 2

? 1 ? h( x) ? f ( x)? g ( x在 ? ? , 2 ? 上的零点个数为 ) ? 2 ?
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡上。

?x ? y ?1 ? 0 ? 13.变量 x , y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,求 2x ? y 的最大值为 _______________. ?x ? 0 ?

x2 y 2 14.已知双曲线 C : ? ? 1 的渐近线与圆 E : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r = 3 2
__________________. 15.已知向量 a ,b 的夹角为 120 ? ,且 a ? 1 , b ? 2 ,则向量 a ? b 在向量 a 方向上的投影是 ________. 16.已知两个正四棱锥有公共底面,且底面边长为 4,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上.若这两个正四 棱锥的体积之比为 1: 2 ,则该球的表面积为____________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 若 a cos (Ⅰ) 求证: a 、 b 、 c 成等差数列; (Ⅱ) 若 ?B ? 60? , b ? 4 ,求 ?ABC 的面积.
2

?

?

?

C A 3 ? c cos2 ? b . 2 2 2

18. (本小题满分 12 分) 气象部门提供了某地今年六月份(30 天)的日最高气温的统计表如下: 28℃< t ? t ? 22℃ 22℃< t ? 28℃ 日最高气温 t (单位:℃) 3 2℃ 天数 6 12

t ? 32 ℃

[来源:Z。xx。k.Com]

X

Y

由于工作疏忽,统计表被墨水污染, X 和 Y 数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的 日最高气温不高于 32℃的频率为 0.9. (Ⅰ) 若把频率看作概率,求 X , Y 的值; (Ⅱ) 把日最高气温高于 32℃称为本地区的“高温天气”,根据已知条件完成下面 2 ? 2 列联表,并据 此你是否有 95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜 “ 旺销 ” 有关?说明理由. 旺销 不旺销 合计 高温天气 1 非高温天气 6 合计

附: k ?
2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.10 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10 .828

P( K 2 ? k )

k

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为平行四边形,且 BC ? 平面PAB , PA ? AB , M 为 PB 的 中点, PA ? AD ? 2 , AB ? 1 . (Ⅰ)求证: PD ?? 平面AMC ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? MBC 的高.

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 1 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 B(0, 3) ,且离心率为 ,右顶点为 A,左右焦点分别 a b 2
为 F1 , F2 ; 椭圆 C2 以坐标原点为中心,且以 F1 , F2 为短轴端点,上顶点为 D. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)若 C1 与 C2 交于 M 、 N 、 P 、 Q 四点,当 AD // F2 B 时,求四边形 MNPQ 的面积.

21.(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ln x ? ax ( a ? R 且 a ? 0 ) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 a ? 1 ,证明: x ? [1, 2] 时, f ( x) ? 3 ?

1 成立. x

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,直径 BC ? OP ,连接 AB 交 PO 于点 D . C (Ⅰ)求证: PA ? PD ; A (Ⅱ)求证: AC ? AP ? AD ? OC .

O

D

P

B
23.本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? a cos ? ?x ? 3 ? t ? (? 为参数 , a ? 0 )与直线 l 的参数方程是 ? ? y ? 3 sin ? ? y ? ?1 ? t ?

( t 为参数)有一个公共点在 x 轴上.以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 普通方程; (Ⅱ)若点 A( ?1 ,? ) 、 ( ?2 ,? ? B

1 1 1 2? 4? ? ? 的值. ) 、 ( ?3 ,? ? ) 在曲线 C 上,求 C 2 2 2 3 3 OA OB OC

24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a (a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 4 时,已知 f ( x) ? 7 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x) ? 6 的解集为 ? x | x ? ?4或x ? 2? ,求 a 的值.

参考答案
一.选择题: 1. A 2.C 7.D 8.D 二、填空题: 13. 3. B 9.B 14. 4. A. 10.A 15. 0 5.C. 11.B 6.C 12.B 16. 36?

1 2

2

三、解答题: 17.解:证明: (Ⅰ)证法一:

C A 1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? c cos 2 ? a ? ?c? ? b 2 2 2 2 2 即 a(1 ? cos C ) ? c(1 ? cos A) ? 3b a cos 2
由正弦定理得: 即 sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3sin B ∴ sin A ? sin C ? 2sin B 由正弦定理得: 整理得: a ? c ? 2b

sin A ? sin A cos C ? sin C ? cos Asin C ? 3sin B

(Ⅱ) 旺销 不旺销 合计 高温天气 1 2 3 非高温天气 21 6 27 合 计 22 8 30

30 ? (1? 6 ? 2 ? 21) 2 n(ad ? bc) 2 ? ?2.727 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 3 ? 27 ? 22 ? 8 因为 2.727 ? 3.841 ,所以没有 95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关.
k2 ?
?? 12 分 19. (Ⅰ)证明:连接 BD ,设 BD 与 AC 相交于点 O ,连接 OM , ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴点 O 为 BD 的中点. ∵ M 为 PB 的中点, ∴ OM 为 ?PBD 的中位线, ∴ OM / / PD . ?? 2 分 ∵ OM ? 平面AMC , PD ? 平面AMC , ∴ PD ?? 平面AMC . ?? 4 分

P

M D O C B F A

(Ⅱ)解 :∵ BC ? 平面 PAB , AD / / BC ,则 AD ? 平面 PAB ,故 PA ? AD , 又 PA ? AB , 且 AD ? AB ? A , ∴ PA ? 平面ABCD . ?? 8 分 取 AB 的中点 F ,连接 MF ,则 MF / / PA , ∴ MF ? 平面ABCD , 1 且 MF ? PA ? 1 .?? 9 分 2 设三棱锥 A ? MBC 的高为 h , 由 VA? MBC 有

? VM ? ABC ,

1 1 S?MBC ? h ? S?ABC ? MF , 3 3

1 ? BC ? AB ? MF S ?ABC ? MF 2 5 2 ? ? 得h ? .?? 12 分 1 S ?MBC 5 ? BC ? BM 2
20.解: (Ⅰ)? e ?

1 , b ? 3 ,∴ a ? 2 , 2 x2 y2 ? ? 1 .???4 分 则椭圆方程为 4 3

y2 2 (Ⅱ)由题意得: C2 的短轴长为 2,设 C2 的方程为 2 ? x ? 1(m ? 1) , m ? D(0, m), A(2, 0), F2 (1, 0) ,
? AD // F2 B ,? m ? 2 3 ,

? C2 : x 2 ?

y2 ? 1; 12 设 N ( x1 , y1 ) ,

? y12 ? 2 4 2 ? ? x1 ? 1 ? x1 ? 5 4 3 ? 12 ? 则? 2 ,解得 ? ,? x1 y1 ? , 2 5 ? x1 ? y1 ? 1 ? y 2 ? 12 ? 1 ?4 5 ? 3 ?
16 3 .?????12 分 5 1 21.解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ? a , x ?( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; 当 a ? 0 时, f ax ? 1 当 a ? 0 时, f ?( x) ? , x 1 1 由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ? ; 由 f ?( x) ? 0 得, x ? ? , a a 1 1 ∴函数 f ( x) 在 (0, ? ) 上是增函数;在 (? , ??) 上是减函数.?????4 分 a a (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x , 1 要证 x ? [1, 2] 时 f ( x) ? 3 ? 成立,由于 x ? 0 , x 2 ∴只需证 x ln x ? x ? 3x ? 1 ? 0 在 x ? [1, 2] 时恒成立, 2 令 g ( x) ? x ln x ? x ? 3x ? 1 ,则 g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 2 , 1 ? g ?(1) ? 0 设 h( x) ? ln x ? 2 x ? 2 , h?( x) ? ? 2 ? 0 , x ? [1, 2] x ∴ h( x ) 在 [1, 2] 上单调递增,∴ g ?(1) ? g ?( x) ? g ?(2) ,即 0 ? g ?( x) ? ln 2 ? 2 ∴ g ( x) 在 [1, 2] 上单调递增,∴ g ( x) ? g (2) ? 2ln 2 ? 3 ? 0 ∴当 x ? [1, 2] 时, x ln x ? x 2 ? 3x ? 1 ? 0 恒成立,即原命题得证.?????12 分
则由对称性得四边形 MNPQ 的面积为
[来源:Zxxk.Com] [来源:学科网 ZXXK]

22.解: (Ⅰ)证明: 解法一:? PA 与圆 O 相切于点 A ,??PAB ? ?ACB ,

? BC 是圆 O 的直径,??BAC ? 90? ??ACB ? 90? ? ?B , ?OB ? OP ,??BDO ? 90? ? ?B ? 又? ?BDO ? ?PDA ,??PAD ? ?PDA ? 90 ? ?B ????4 分 ? PA ? PD . 解法二:连接 OA , ?OA ? OB ,??OAB ? ?OBA , ? PA 与圆 O 相切于点 A ,??OAP ? 90? , ??PAD ? 90? ? ?OAB , ?OB ? OP ,??BDO ? 90? ? ?OBA 又? ?BDO ? ?PDA ,??PAD ? ?PDA ? PA ? PD . (Ⅱ)据(1) ?P ? P , A ?A ?O , D D A ? C 又 ?OAC ? ?OCA ??PAD ∽ ?OCA , PA AD ,? PA ? AC ? AD ? OC . ????10 分 ? ? OC AC
23.解: (Ⅰ) 直线 l 的的普通方程为: x ? y ? 2 ,与 x 轴的交点为 (2, 0) ,

C

A

O

D

P

B

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 ,所以, a ? 2 ,故所求曲线 C 普通方程是: ? ? 1 .?4 分 a2 3 4 3 2? 4? (Ⅱ)因点 A( ?1 ,? ), B( ?2 , ? ? ), C ( ?3 ,? ? ) 在曲线 C 上,即点 3 3 2? 2? 4? 4? A( ?1 cos ? , ?1 sin ? ) 、 ( ?2 cos(? ? ), ?2 sin(? ? )) 、 ( ?3 cos(? ? ), ?3 sin(? ? )) 在曲 B C 3 3 3 3
又曲线 C 的普通方程为: 线上.

?

1 OA
2

?

1 OB
2

?

1 OC
2

?

1

?

2 1

?

1

?2

2

?

1

?3 2

1? 2 2? 4? ? 1? 2 2? 4? ? 2 2 2 + 2 ?cos ? ? cos (? ? 3 ) ? cos (? ? 3 ) ? + 3 ?sin ? + sin(? + 3 ) sin(? + 3 ) ? 4? ? ? ? 4? 8? 1 ? cos(2? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 1 1 ? cos 2? 3 ? 3 ) ? ( ? 4 2 2 2 4? 8? 1 ? cos(2? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 1 1 ? cos 2? 3 ? 3 ) ? ( ? 3 2 2 2 1 3 1 3 7 = ? + ? = .????10 分 4 2 3 2 8 ?
24.解: (Ⅰ)因为 x ? 3 ? x ? 4 ? x ? 3 ? x ? 4 ? 7 ,等号成立当且仅当 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 , 即 ?3 ? x ? 4 ,故 x 的取值范围为 ? ?3, 4? .????4 分

? a ? 3 ? 2 x( x ? ?3) ? ( ?3 ? x ? a ) (Ⅱ)因为 f ( x ) ? ? a ? 3 ?2 x ? 3 ? a( x ? a) ? 当 a ? 3 ? 6 时,不等式 f ( x) ? 6 解集为 R ,不合题意; ? x ? ?3 ?x ? a 当 a ? 3 ? 6 时,不等式 f ( x) ? 6 的 解为 ? 或? ?a ? 3 ? 2 x ? 6 ?2 x ? 3 ? a ? 6 ? x ? ?3 ?x ? a ? ? 即? 或? a ?9 a ? 3 ,又因为解集 ? x | x ? ?4或x ? 2? ,解得 a ? 1 .????10 分 x? x? ? ? ? 2 ? 2


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