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江苏省金湖中学高一数学周练(3)


江苏省金湖中学 2014 级高一数学

主备:朱永星

审核:备课组

2015 年 3 月 19 日

江苏省金湖中学高一数学周练(3)
一、填空题: 1. 1 ? 2sin 15 ?
2 0

. . .

2.求值:

1 3 ? = sin10? cos10?

3 .等差数列 ?an ? 中, a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 的值为

4 .在 ?ABC 中,已知 a, b, c 分别 ?A, ?B, ?C 所对的边, S 为 ?ABC 的面积,若向量

r r r r p ? (4, a2 ? b2 ? c2 ), q ? (1, S ),满足 p / / q ,则 ?C ?



5.若一个等差数列前 3 项的和为 34 ,最后三项的和为 146 ,且所有项的和为 390 ,则这个 数列有 项.

6 .在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 a ? 1, ?B ? 45 , ?ABC 的面积

S ? 2 ,那么 ?ABC 的外接圆的直径为
7.设 sin α =



5 10 , sin β = , α, β 为锐角,则 ? ? ? ? 5 10



8.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60 方向,行 驶 4 h 后船到 B 处, 看到这个灯塔在北偏东 15 方向, 这时船与灯塔的距离为
0 0 0 0 9.若 tan 70 ? tan 50 ? ? tan 70 tan 50 ? ? 3 ,则 ? ?

km .



sin A+sin B 10. △ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, tan C= , sin(B-A)=cos C. 则 cos A+cos B B=________.

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2 1 1 2 ,且 ? ? ? n ? 2 ? ,则 x10 ? 3 xn ?1 xn ?1 xn 1 1 2 解:因为等差中项定义 ? ? ? n ? 2 ? 可得 xn ?1 xn ?1 xn
11.数列 ?xn ? 满足 x1 ? 1, x2 ? 数列 ?



?1? 1 1 1 1 ? 是首项 =1,公差d = ? ? 的等差数列. x1 x2 x1 2 ? xn ?

1 1 1 1 1 n ?1 ? ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1) ? n ? = . xn x1 2 2 2 2 1 n ?1 2 2 = ? xn = ? x10 = xn 2 n ?1 11

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12.对于 ?ABC ,有如下命题: ①若 sin 2 A ? sin 2 B ,则 ?ABC 为等腰三角形; ②若 sin A ? cos B ,则 ?ABC 为直角三角形; ③若 sin A ? sin B ? cos C ? 1,则 ?ABC 为钝角三角形; ④若 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ,则 ?ABC 为锐角三角形. 则其中正确命题的序号是 .
2 2 2

③ sin A ? sin B ? cos C ? 1 ? sin A ? sin B ? 1 ? cos C ? sin C
2 2 2 2 2 2 2

sin2 A ? sin2 B ? sin2C ? a 2 ? b2 ? c2 ④ tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C ? 0
13.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2, BC=6, CD=DA =4,则四边形 ABCD 的面积为________.

14.若在 ?ABC 中, 则 ?ABC 的形状为

b?a sin B ? ,且 cos 2C ? cos C ? 1 ? cos( A ? B) , a sin B ? sin A


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二、解答题 15.已知数列{an}和{bn}是两个无穷等差数列,公差分别为 d1,d2, 求证:数列{a n + bn}是等差数列,并求其公差.

16.已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos 2 x ? 1 ? x ? R ? . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期及在区间 ? 0, (Ⅱ)若 f ? x0 ? ?

? ?? 上的最大值和最小值. ? 2? ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? .求 cos 2 x0 的值. 5 ?4 2?

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17. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数 列. ⑴ 求角 B 的值; ⑵ 若 b ? 5 ,求 ?ABC 周长的取值范围.

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18.如图,在△ABC 中,已知 AB ? 3 , AC ? 6 , BC ? 7 ,

AD 是 ?BAC 平分线.

(1)求证: DC ? 2 BD ; (2)求 AB ? DC 的值.

A

B

D (第 17 题图)

C

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19.在四边形 ABCD 中,已知 AB=13,AC=10,AD=5,CD= 65, AB · AC =50. (1)求 cos ∠BAC 的值; (2)求 sin ∠CAD 的值; (3)求△BAD 的面积.

20. 如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ? ABCD ? 的池底水平铺设污水净化管道

( Rt?FHE , H 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口
H 是 AB 的 中点 , E , F 分 别落 在线段 BC , AD 上 . 已知 AB ? 20 米 , AD ? 10 3 米 , 记 ?BHE ? ? . (Ⅰ)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定义域;

(Ⅱ)问:当 ? 取何值时,污水 净 化效果最好?并求出此时管道的长度.

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10 10 解: (1)EH= ,FH= ………………………………………………………………2分 cosθ sinθ 10 EF= sinθcosθ ……………………………………………………………………4分

10 3 ππ 由于BE=10tanθ≤10 3, AF= ≤10 3 故 ≤tanθ≤ 3,θ∈ [ , ]………………………5分 tanθ 3 63 L= 10 10 10 ππ + + ,θ∈ [ , ].……………………………………………………6分 cosθ sinθ sinθcosθ 63

10 10 10 sinθ+cosθ+1 (2)L= + + =10( ) cosθ sinθ sinθcosθ sinθcosθ t2-1 设sinθ+cosθ=t 则sinθ?cosθ= ………………………………………………………12分 2 ππ π 3+1 由于θ∈ [ , ],所以t=sinθ+cosθ= 2sin(θ+ )∈ [ , 63 4 2 L= 20 3+1 在[ , t-1 2 2]内单调递减, 2]…………………………14分

于是当t=

3+1 π π 时,即θ= ,θ= 时L的最大值20( 3+1)米. ……………………………15分 2 6 3

π π 答:当θ= 或θ= 时所铺设的管道最短,为20( 3+1)米.…………………………………16分 6 3

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