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1.3.1函数单调性及最值


1.3 函数的基本性质
【教学目标】 知识与技能: 1.通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。 2.学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。 过程与方法: 1.通过本节课的教学,渗透数形结合的数学思想,对学生进行辨证唯物主义的教育。 2.通过探究与活动,使学生明白考虑问题要细致,说理要明确。 情感与态度: 1.通过本节课的教学,使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。 2. 通过生活实例感受函数单调性的意义, 培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。 【重点难点】 重点:函数单调性概念的理解及应用。 难点:函数单调性的判定及证明。 关键:增函数与减函数的概念的理解。 教学过程 【序】 在事物的变化过程(函数)中,保持不变的特征就是函数的性质,研究函数的的变化 趋势、最值(最优) 、反复性去认识函数(事物的变化)是非常重要的。 【例】观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: P27 页图 1.3-1 1、观察这三个图象,你能说出图象的特征吗? 2、随 x 的增大,y 的值有什么变化? (太多我们先学习) 【课程引入】1.3.1 单调性与最大(小)值 1.定义:

函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上 是增函数,而在另一些区间上可能是减函数, 因此函数的单调性是函数的局部性质.

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注意:一次函数的单调性_________________启示:整体单调(习题 1.3 第 3 题) 二次函数的单调性_________________启示:有增有减 反比例函数的单调性是_________________启示:局部单调,整体不单调。 函数的单调区间端点有意义是可要可不要, 无意义是一定不能写成中括号, 若是不统 一单调,必须要用及或逗号,不能用 ? 符号。 【练习】p32 页 1,习题 1.3 说出第 1 题单调性 (1) y ? x 2 ? 5x ? 6 (2)y=9-x2

不能以特殊代替一般

练习:p322,3,5

例 1、若函数 f(x)=ax +2(a-1)x+b 在区间(-∞,4)上是减函数,那么实数 a
2

的取值范围是( A.[0,+∞)



1 1 B.{ }C.(0, ] 5 5

1 D.[0, ] 5

2.证明函数的单调性(可先观察、猜想再证明)

基本步骤: 1: _________________ 2.________________ 3. ________________
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请阅读 p29 页 例 2:物理学中的玻意耳定律
p? k ( k为正常数 ) V 告诉我们,对于一定量的气体,当其体

积 V 减小时,压强 p 将增大。试用函数的单调性证明之。 练习 p32.4 作业:讨论函数 f ( x) ? x ? 3.函数最大值和最小值定义

2 在( 0, 2 )和( 2 ,?? )的单调性,并画出函数基本图形。 x

(1)定义:一般地,设_____,如果存在实数 M 满足: ①对于任意的____,都有______ ②存在_____,使得___________ 那么,我们称 M 是函数_______的__________(maximum value). 同理,(学生类比定义函数最小值)
4.最值得求解: (图像法:观察清楚函数的变化;单调法) 【练练】习题 1.3B 组题第 1 题 例 1:已知函数(1)f(x)=x2-2x(2)g(x)=x2-2x,定义域[2,4]求函数的最值 例 2: ‘菊花’烟花是最壮观的烟花之一,一般烟花期望在最高点爆裂,如果烟花距地面的 高度 hm 与时间 ts 的函数关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是爆裂最佳时 刻?这时距地面的高度是多少?(悦 29)

对应习题 作业:习题 4,5 例 3:已知函数 f ( x ) ?

2 ( x ? ?2,6?) ,求函数的最大值最小值。 (还有哪些方法) x ?1

利用函数单调性求最值

单调性最值基础运用拓展精练
1.在区间 (??,0) 上为增函数的是 A. y ? 1 C. y ? ? x ? 2 x ? 1 判断问题
2 2





x ?2 1? x 2 D. y ? 1 ? x
B. y ? ( )

2.函数 y ? x ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围

A. b ? ? 2 B. b ? ? 2 C . b ? ?2 D. b ? ?2 已知区间单调求解参数范围 3. 函数 f ( x) 在 ( a, b) 和 (c, d ) 都是增函数, 若 x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) , 且 x1 ? x 2 那么 ( A. f ( x1 ) ? f ( x2 )
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B. f ( x1 ) ? f ( x2 )
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C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 4.已知函数在 R 上为递减函数 f ( x) ? ?
2

D.无法确定

? x ? 3 x ? a, x ? 0 ,则 a 的取值范围_________. ax ? 4 , x ? 0 ?
( )

整体局部单调辨析 5.函数 f ( x) 只在区间 [?2,3] 是增函数,则 y ? f ( x ? 5) 的递增区间是 A. [3,8] B. [?7,?2] C. [0,5] D. [?2,3] 复合函数的单调性 6.函数 y ? (2k ? 1) x ? b 在实数集上是增函数,则 A. k ? ?





1 1 B. k ? ? C. b ? 0 D. b ? 0 2 2 b 7. 函数 y ? x 2 ? bx ? 5 ( x ? (??,1)) 是单调递减函数, ( x ? (1, ? ?)) 是单调递增函数时,
=________ 已知区间单调求解参数范围 8.已知 f ( x) 在实数集上是减函数,若 a ? b ? 0 ,则下列正确的是 ( A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 单调性的简单线性判断(增加增 减加减 增的相反函数 倒数规律)并比较大小。 9.函数 y ? ? x ? | x | ,单调递减区间为
2



,最大值和最小值的情况为

.

10.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,在闭区间 ?0, m? 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范 围是____________. 11. x ? 3 ? x ? a 在 x 为实数集上恒成立则 a 范围是______, x ? 3 ? x ? a 在 x 为实数 集上能成立,则 a 范围是______ 12.用 min{a,b}表示 a,b 两个数的最小值, 设函数 f(x)=min{x=2,10-x}(x ? 0)则 f(x)的最大值 为_______. 利用函数图像求最值 13.已知函数 f(x)在定义域【-2,2】上递增,且 f(x)满足 f(1-m)>f(m),求 m 的范围

抽象函数不等式求解 14.函数 f ( x), g ( x) 在区间 [ a, b] 上都有意义,且在此区间上 ① f ( x) 为增函数, f ( x) ? 0 ;② g ( x) 为减函数, g ( x) ? 0 . 判断 f ( x) g ( x) 在 [ a, b] 的单调性,并给出证明.

15.函数 f(x)与 g(x)定义域均为 R,f(x)为增,g(x)为减,讨论 f(g(x))的单调性,并归纳规律。

16.请说出函数的 f ( x ) ?

1 单调区间。 x ? 2x ? 6
2

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