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【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业:3-7 Word版含解析]


课时作业(二十三)
一、选择题 1. (2013· 天津十二区县联考(一))在钝角△ABC 中, 已知 AB= 3, AC=1,∠B=30° ,则△ABC 的面积是( 3 3 3 3 A. 2 B. 4 C.2 D.4 AC AB 1 3 3 解析: 由正弦定理得sin B=sin C即1=sin C, sin C= 2 .则 C=60° 2 或 120° ,C=60°

时,△ABC 为直角三角形(舍去);C=120° 时,A= 1 3 30° 所以 S=2×1× 3×sin 30° =4. 答案:B 2.(2013· 辽宁五校第二次模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别是三 内角 A,B,C 的对边,设 A=60° ,a=4 3,b=4 2,则 B=( A.45° 或 135° B.135° C.45° D.以上都不对 ) )

4 3 b 2 解析:由正弦定理可得:sin A=sin B?sin B= 2 ,又∵a>b,∴ ∠A>∠B,故∠B=45° ,所以选 C. 答案:C 3.(2013· 泰安市高三复习质检)在△ABC 中,∠A=60° ,AB=2, 3 且△ABC 的面积为 2 ,则 BC 的长为( A. 3 B.3 C. 7 D.7 1 1 3 3 解析:S△ABC=2AB· AC· sin A=2×2×AC× 2 = 2 ,∴AC=1, )

由余弦定理得 BC= 3,选 A. 答案:A 4.(2013· 天津五区县质量调研(一))设△ABC 的内角 A,B,C 的 1 对边分别为 a,b,c,且 a=2,b=3,cos C=4,则 sin A=( 15 15 6 6 A. 4 B. 8 C. 4 D. 8 1 15 解析:由余弦定理得 c= 10,由 cos C=4得 sin C= 4 ,所以 6 由正弦定理得出 sin A= 4 ,选 C. 答案:C 5.(2013· 重庆市六区高三调研抽测)设△ABC 的内角 A,B,C 所 对的边分别为 a,b,c.若 C=2(A+B),则下列正确的是( A.c2<3ab C.c2≤3ab B.c2>3ab D.c2≥3ab ) )

2π 解析:由 C=2(A+B)=2(π-C),得 C= 3 ,由余弦定理,c2= a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab≥2ab+ab,当且仅当 a=b 时取等号, 故 c2≥3ab. 答案:D 6.(2013· 湖北八校第一次联考)在△ABC 中,sin(A-B)+sin C= 3 2,BC= 3AC,则∠B=( π π π π π A.3 B.6 C.6或3 D.2 3 解析:∵sin(A-B)+sin C=2 )

3 ∴sin(A-B)+sin(A+B)=2sin Acos B=2



a sin A 又∵a= 3b,∴b=sin B= 3,∴sin A= 3sin B 代入①得 3 3 2 3sin Bcos B=2,∴sin 2B= 2 ,∴2B=120° 或 60° , ∴B=60° 或 30° 3 当 B=60° 代入①sin A=2(舍),故 B=30° ,选 B. 答案:B 二、填空题 1 7.(2013· 北京昌平期末)在△ABC 中,若 b=3,c=1,cos A=3, 则 a=________. 解析:由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bc cos A=9+1- 1 2×3×1×3=8,故 a=2 2. 答案:2 2 8.(2013· 山东泰安第二次模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边 3 分别是 a, b, c, 若 sin B=2sin C, a2-b2=2bc, 则角 A 等于________. 3 解析:由 sin B=2sin C 得:b=2c,又 a2-b2=22c×c=3c2,cos b2+c2-a2 2 c2 1 2π A= 2bc =-4c2=-2,∴A= 3 . 2 答案:3π 9.(2013· 河南洛阳高三统考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c,2bcos B=acos C+ccos A,且 b2=3ac,则角 A 的大小为 ________.

解析:依题意得,2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+ 1 π 3 C)=sin B>0,则 cos B=2,B=3,sin B= 2 ,又 3sin Asin C=sin2B 3 =4,∴4sin Asin C=1,即 2[cos(A-C)-cos(A+C)]=1,2[cos(A-C) π +cos B]=1,∴cos(A-C)=0.又-π<A-C<π,∴A-C=± 2;又 A+ 2π π 7π C= 3 ,∴A=12或 A=12. π 7π 答案:12或12 三、解答题 10.(2014· 河北沧州高三质量监测)已知△ABC 中,角 A,B,C π? ? 的对边分别为 a,b,c,tan?B+3?=- 3.
? ?

(1)求角 B 的大小; →· → =4,a=2c,求 b 的值. (2)若BA BC tan B+ 3 π? ? 解:(1)由 tan?B+3?=- 3,得 =- 3, ? ? 1- 3tan B π ∴tan B= 3,∵0<B<π,∴B=3. →· → =4,得 accos π=4,即 ac=8, (2)由BA BC 3 ∵a=2c,∴a=4,c=2. π 又 b2=a2+c2-2accos 3=12,∴b=2 3. 11.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)

如图,在△ABC 中,∠ABC=90° ,AB= 3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° . 1 (1)若 PB=2,求 PA; (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA. 解:(1)由已知得,∠PBC=60° ,所以∠PBA=30° . 1 1 7 在△PBA 中,由余弦定理得 PA2=3+4-2× 3×2cos 30° =4.故 7 PA= 2 . (2)设∠PBA=α,由已知得 PB=sin α. 3 sin α 在△PBA 中,由正弦定理得sin 150° = ,化简得 3cos sin?30° -α? α=4sin α. 3 3 所以 tan α= 4 ,即 tan∠PBA= 4 . 12.(2014· 河北名校名师俱乐部二调)已知△ABC 的三个内角 A、 cos2A 5 B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos 2 - 2 =8.
2A

(1)求角 A 的大小; 3 (2)若 a= 3,cos B=5,求 b 的值. 1+cos A cos2A 5 cos2A 5 解:(1)由 cos 2 - 2 =8,得 - 2 =8,得(2cos A- 2
2A

1)2=0, 1 即 cos A=2,因为 0<A<π,所以 A=60° . 3 4 (2)由 cos B=5,得 sin B=5, a b 由正弦定理sin A=sin B, 4 3×5 asin B 8 得 b= sin A = =5. 3 2 [热点预测] x x x 13.(2013· 海淀区期末练习)已知函数 f(x)= 3sin2cos2+cos22- 1 2,△ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(B+C)=1,a= 3,b=1,求角 C 的大小. x x x 1 解:(1)因为 f(x)= 3sin2cos2+cos22-2 cos x+1 1 3 = 2 sin x+ 2 -2 π? ? 3 1 = 2 sin x+2cos x=sin?x+6? ? ? π π? ? 又 y=sin x 的单调递增区间为?2kπ-2,2kπ+2?,(k∈Z)
? ?

π π π 所以令 2kπ-2<x+6<2kπ+2 2π π 解得 2kπ- 3 <x<2kπ+3 2π π? ? 所以函数 f(x)的单调增区间为?2kπ- 3 ,2kπ+3?,(k∈Z)
? ?

π? ? (2)因为 f(B+C)=1,所以 sin?B+C+6?=1,
? ?

π ?π 7π? 又 B+C∈(0,π),B+C+6∈?6, 6 ?
? ?

π π π 2π 所以 B+C+6=2,B+C=3,所以 A= 3 sin B sin A 由正弦定理 b = a 1 把 a= 3,b=1 代入,得到 sin B=2 π π 又 b<a,B<A,所以 B=6,所以 C=6.


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