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2016年吉林省白山市高考数学四模试卷(文科)(解析版)


2016 年吉林省白山市高考数学四模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。 1.在复平面内,复数 z= 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若集合 A={x∈N|﹣1<x<5},B={y|y=4﹣x,x∈A},则( ) A.A∪B={1,2,3} B.A=B C.A∩B={1,2,3} D.B? A 3.下列函数中,不是偶函数的是( ) 2 x ﹣x A.y=1﹣x B.y=3 +3 C.y=cos2x D.y=tanx 4.2015 年某企业员工有 500 人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第 1 组[25,30) ,第 2 组[30,35) ,第 3 组[35,40) ,第 4 组[40,45) ,第 5 组[45,50) ,得到的频率分布直方 图如图所示.现在要从年龄较小的第 1,3,4 组中用分层抽样的方法抽取 16 人,则在第 4 组抽取的人数为( )

A.3

B.6

C.4

D.8 ) (ω>0)下的最小正周期为 π,则函数的图象( ,0)对称 ,0)对称 )

5.已知函数 f(x)=sin(2ωx+ A.关于直线 x= C.关于直线 x=﹣

对称 B.关于点(﹣ 对称 D.关于点(

6.若双曲线 C:mx2+y2=1 的离心率为 2k(k>0) ,其中 k 为双曲线 C 的一条渐近线的斜率, m 则 的值为( ) A.﹣ B. C.﹣3 D.

7. 一直三棱柱的每条棱长都是 3, 且每个顶点都在球 O 的表面上, 则球 O 的表面积为 ( ) A.21π B.24π C.28π D.36π 8. 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n, 则记为 N≡n (mod m) , 例如 10≡4 (mod 6) . 下 面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的(中国剩余定理) ,执行该程序框图,则输出的 n 等于( )

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A.17

B.16

C.15

D.13 =3,若 an?100,则 n 的最大值为( )

9.已知数列{an}中,a1=2, A.4 B.5 C.6 D.7

10.一锥体的三视图如图所示,设该棱锥的最长棱和最短棱的棱长分别为 m,n,则 等于 ( )

A.

B.

C.

D.

11.设 a>0,且 x,y 满足约束条件

,若 z=x+y 的最大值为 7,则



最大值为( A. B.

) C. D.

12.设函数 f(x)=﹣|x|,g(x)=lg(ax2﹣4x+1) ,若对任意 x1∈R,都存在 x2∈R,使 f (x1)=g(x2) ,则实数 a 的取值范围为( ) A. 4 B 0 4 C 4 0 D ∞ (﹣ , ] . ( , ] . (﹣ , ] .[4,+∞) 二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分. 13.在边长为 4 的正△ABC 中,D 为 BC 的中点,则 ? = 14.曲线 f(x)=(x3+7x)ex 在点(0,0)处的切线方程为
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. .

15.已知椭圆 C:

+

=1,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分 . }的前 2n 项和

别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则△ABN 的周长为 16.设在正项数列{an}中,a12+ 为 . + +…+ =4n﹣3,则数列{

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A= (1)若 C= (2)若 B= ,求 ; ,b=2 ,求 BC 边上的中线长. .

18.已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表: X 人数 Y A B C

A

B

C

14 a 28

40 36 8

10 b 34

若抽取学生 n 人,成绩分为 A(优秀) 、B(良好) 、C(及格)三个等级,设 x,y 分别表示 数学成绩与地理成绩,例如:表中地理成绩为 A 等级的共有 14+40+10=64 人,数学成绩为 B 等级且地理成绩为 C 等级的有 8 人.已知 x 与 y 均为 A 等级的概率是 0.07. (1)设在该样本中,数学成绩优秀率是 30%,求 a,b 的值; (2)已知 a?8,b?6,求数学成绩为 A 等级的人数比 C 等级的人数多的概率. 19.如图,在四棱锥 A﹣EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面 AEF⊥平面 EFCB,EF=2, 四边形 EFCB 是高为 的等腰梯形,EF∥BC,O 为 EF 的中点. (1)求证:AO⊥CF; (2)求 O 到平面 ABC 的距离.

20.已知圆 M 与圆 N: (x﹣ )2+(y+ )2=r2 关于直线 y=x 对称,且点 D(﹣ , )在 圆M上 (1)判断圆 M 与圆 N 的位置关系

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(2)设 P 为圆 M 上任意一点,A(﹣1, ) .B(1, ) ,



不共线,PG 为∠APB

的平分线,且交 AB 于 G,求证△PBG 与△APG 的面积之比为定值. 21.已知函数 f(x)=x+ ,g(x)=x+lnx,其中 a≠0.

(1)若 x=1 是函数 h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数 a 的值及 h(x)的单调区间; (2)若对任意的 x1,x2∈[1,2],f(x1)?g(x2)恒成立,且﹣2<a<0,求实数 a 的取 值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延 长线上. (1)若 = , =1,求 的值;

(2)若 EF2=FA?FB,证明:EF∥CD.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2acosθ(a≠0) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半 轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .

(1)求圆 C 的直角坐标方程(化为标准方程)和直线 l 的极坐标方程; (2)若直线 l 与圆 C 只有一个公共点,且 a<1,求 a 的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|3x﹣1|+ax+3 (Ⅰ)若 a=1,解不等式 f(x)?4; (Ⅱ)若函数 f(x)有最小值,求 a 的取值范围.

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2016 年吉林省白山市高考数学四模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。 1.在复平面内,复数 z= 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出. 【解答】解:复数 z= 限. 故选:C. 2.若集合 A={x∈N|﹣1<x<5},B={y|y=4﹣x,x∈A},则( A.A∪B={1,2,3} B.A=B C.A∩B={1,2,3} D.B? A ) = = 对应的点 位于第三象

【考点】交集及其运算. 【分析】列举出 A 中的元素确定出 A,把 A 中的元素代入 y=4﹣x 确定出 B,找出两集合的 交集、并集,即可作出判断. 【解答】解:∵A={x∈N|﹣1<x<5}={0,1,2,3,4},B={y|y=4﹣x,x∈A}={4,3,2, 1,0}, ∴A=B,A∩B=A∪B={0,1,2,3,4}, 故选:B. 3.下列函数中,不是偶函数的是( ) 2 x ﹣x A.y=1﹣x B.y=3 +3 C.y=cos2x D.y=tanx 【考点】函数奇偶性的判断. 【分析】 由条件根据奇函数和偶函数的定义, 判断各个选项中函数的奇偶性, 从而得出结论. 【解答】解:设 y=f(x) ,容易求得选项 A、B、C 中的函数满足 f(﹣x)=f(x) ,故选项 A、 B、C 中的函数为偶函数, 而选项 D 中的函数,y=f(x)=tanx,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,它是奇函数, 故选:D. 4.2015 年某企业员工有 500 人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第 1 组[25,30) ,第 2 组[30,35) ,第 3 组[35,40) ,第 4 组[40,45) ,第 5 组[45,50) ,得到的频率分布直方 图如图所示.现在要从年龄较小的第 1,3,4 组中用分层抽样的方法抽取 16 人,则在第 4 组抽取的人数为( )

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A.3

B.6

C.4

D.8

【考点】频率分布直方图. 【分析】根据频率分布直方图,结合分层抽样原理,计算第 4 组应抽取的人数即可. 【解答】解:根据频率分布直方图,得; 第 1,3,4 组的频率之比为 0.02:0.08:0.06=1:4:3, 所以用分层抽样的方法抽取 16 人时, 在第 4 组应抽取的人数为 16× 故选:B. =6.

5.已知函数 f(x)=sin(2ωx+ A.关于直线 x= C.关于直线 x=﹣

) (ω>0)下的最小正周期为 π,则函数的图象( ,0)对称 ,0)对称



对称 B.关于点(﹣ 对称 D.关于点(

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由题意和函数的周期性可得 ω 值,验证可得对称性. 【解答】解:∵函数 f(x)=sin(2ωx+ ∴ 由 2x+ =π,解得 ω=1,∴f(x)=sin(2x+ =kπ+ 可得 x= + ,k∈Z, , ) (ω>0)下的最小正周期为 π, ) ,

结合选项可知当 k=2 时,函数一条对称轴为 x= 故选:A.

6.若双曲线 C:mx2+y2=1 的离心率为 2k(k>0) ,其中 k 为双曲线 C 的一条渐近线的斜率, 则 m 的值为( ) A.﹣ B. C.﹣3 D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】双曲线 C:mx2+y2=1 可化为 y2﹣ =1,利用双曲线 C:mx2+y2=1 的离心率为

2k(k>0) ,其中 k 为双曲线 C 的一条渐近线的斜率,建立方程,即可求出 m 的值.
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【解答】解:双曲线 C:mx2+y2=1 可化为 y2﹣

=1,

∴a=1,b=

,c=



∵双曲线 C:mx2+y2=1 的离心率为 2k(k>0) ,其中 k 为双曲线 C 的一条渐近线的斜率, ∴ =2 ,

∴m=﹣3. 故选:C. 7. 一直三棱柱的每条棱长都是 3, 且每个顶点都在球 O 的表面上, 则球 O 的表面积为 ( A.21π B.24π C.28π D.36π )

【考点】球的体积和表面积. 【分析】 正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心, 球心与顶点的连线长就是 半径,求出球的半径,即可求出球的表面积 【解答】解:正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心,球心与顶点的连线长 就是半径, 所以,r= 故选:A. 8. 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n, 则记为 N≡n (mod m) , 例如 10≡4 (mod 6) . 下 面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的(中国剩余定理) ,执行该程序框图,则输出的 n 等于( ) = ,球的表面积为:4πr2=4π( )2=21π

A.17

B.16

C.15

D.13

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足 条件: ①被 3 除余 2, ②被 5 除余 2, 即被 15 除余 2,最小两位数,
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故输出的 n 为 17, 故选:A

9.已知数列{an}中,a1=2, A.4 B.5 C.6 D.7

=3,若 an?100,则 n 的最大值为(



【考点】数列递推式. 【分析】 =3,可得数列{an﹣1}是公比为 3,首项为 1 的等比数列,利用等比数列

的通项公式即可得出. 【解答】解:∵ =3,∴数列{an﹣1}是公比为 3,首项为 1 的等比数列,

∴an=3n﹣1+1, ∵a5=82,a6=244, ∴an?100,则 n 的最大值为 5. 故选:B.

10.一锥体的三视图如图所示,设该棱锥的最长棱和最短棱的棱长分别为 m,n,则 等于 ( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】如图所示,由三视图可知:该几何体为一个四棱锥,侧面 PBC⊥底面 ABCD.EC=3BE=3.可得该棱锥的最长棱和最短棱的棱长分别为 PD,AB. 【解答】解:如图所示,由三视图可知:该几何体为一个四棱锥,侧面 PBC⊥底面 ABCD. EC=3BE=3. ∴该棱锥的最长棱和最短棱的棱长分别为 PD,AB. ∴m=PD= ∴ = .
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=

,n=AB=BC=CD=DA=4.

故选:C.

11.设 a>0,且 x,y 满足约束条件

,若 z=x+y 的最大值为 7,则



最大值为( A. B.

) C. D.

【考点】简单线性规划的应用;简单线性规划. 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,利用 z=x+y 的最大值为 7,推出直线 x+y=7 与 x+4y﹣16=0 的交点 A 必在可行域的边缘顶点,得到 a,利用所求的表达式的几何意义,可 得 的最大值.

【解答】解:作出不等式组约束条件

表示的平面区域,直线 x+y=7 与 x+4y

﹣16=0 的交点 A 必在可行域的边缘顶点. ﹣y﹣9=0 上, 可得 12a﹣3﹣9=0,解得 a=1.

解得

,即 A(4,3)在 3ax

的几何意义是可行域的点与(﹣3,0)连线的斜率,由可行域可知(﹣3,0)与 B 连 线的斜率最大, 由 故选:D. 可得 B(﹣1, ) , 的最大值为: = .

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12.设函数 f(x)=﹣|x|,g(x)=lg(ax2﹣4x+1) ,若对任意 x1∈R,都存在 x2∈R,使 f (x1)=g(x2) ,则实数 a 的取值范围为( ) A. B. (﹣∞,4] (0,4] C. (﹣4,0] D.[4,+∞) 【考点】函数的值. 【分析】求出 f(x) ,g(x)的值域,则 f(x)的值域为 g(x)的值域的子集. f x 【解答】解: ( )=﹣|x|?0,∴f(x)的值域是(﹣∞,0]. 设 g(x)的值域为 A, ∵对任意 x1∈R,都存在 x2∈R,使 f(x1)=g(x2) , ∴(﹣∞,0]? A. 设 y=ax2﹣4x+1 的值域为 B, 则(0,1]? B. 显然当 a=0 时,上式成立. 当 a>0 时,△=16﹣4a?0,解得 0<a?4. 当 a<0 时,ymax= 综上,a?4. 故选 A. 二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分. 13.在边长为 4 的正△ABC 中,D 为 BC 的中点,则 ? = 12 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意求得 BA=4,DA=2 ,< >=150°,再根据 ? =| |?| < >,计算求得结果. 【解答】解:边长为 4 的正△ABC 中,D 为 BC 的中点,∴BA=4,DA=4?sin60°=2 >=150°, =| |?| |?cos< ? ∴ >=2 ?4?cos150°=12, 故答案为:12. 14.曲线 f(x)=(x3+7x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
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?1,即 1﹣ ?1 恒成立.

|?cos ,<

y=7x .

【分析】欲求在点(0,0)处的切线的方程,只须求出其斜率即可利用导数求出在 x=0 处 的导函数值, 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率, 最后利用点斜式方程表示切线即 可. 【解答】解:∵f(x)=(x3+7x)ex, ∴f′(x)=(x3+7x+3x2+7)ex ∴f′(0)=7,即切线的斜率为 7. ∴曲线 f(x)=(x3+7x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 y=7x. 故答案为:y=7x.

15.已知椭圆 C:

+

=1,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分

别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则△ABN 的周长为 40 . 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】利用椭圆的定义及其三角形中位线定理即可得出. 【解答】解:由椭圆 C: + =1,可得 a=6,b=2 ,c= =4.

如图所示,设线段 MN 的中点为 P. 由题意利用三角形中位线定理可得:|AN|=2|PF1|,|BN|=2|PF2|,|AB|=2|F1F2|, ∵|PF1|+|PF2|=2a=12,|F1F2|=2c=8, :|AN|+|BN|+|AB|=2×(12+8)=40, 故答案为:40.

16.设在正项数列{an}中,a12+

+

+…+

=4n﹣3,则数列{

}的前 2n 项和





【考点】数列的求和. 【分析】利用递推关系、“裂项求和”方法即可得出. 【解答】解:∵a12+ ∴n=1 时, + +…+ =4n﹣3,

=1,a1>0,解得 a1=1,
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n?2 时,a12+

+

+…+

=4n﹣7,



=4,an>0,解得 an=2n. = = }的前 2n 项和= = . .

∴ 则数列{ =

. + +…+

故答案为:

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A= (1)若 C= (2)若 B= ,求 ; ,b=2 ,求 BC 边上的中线长. .

【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)由正弦定理可得: ,利用特殊角的三角函数值即可求值. (2)利用三角形内角和可求 C,由正弦定理可解得 c 的值,在△ABD 中,由余弦定理即可 解得 AD 的值,即可得解. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)△ABC 中,∵A= ,C= ,∴B=π﹣A﹣C= ,

∴由正弦定理可得:

=

=

=

.…4 分

(2)∵B=

,b=2

,A=

,C=π﹣A﹣B=



∴AB=BC,由正弦定理可得 c=2,取 BC 中点 D, 在△ABD 中,由余弦定理可得:AD2=AB2+BD2﹣2×AB×BD×cosB=7, ∴AD= ,即 BC 边上的中线长为 .…12 分 18.已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表: X 人数 Y

A

B

C

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A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取学生 n 人,成绩分为 A(优秀) 、B(良好) 、C(及格)三个等级,设 x,y 分别表示 数学成绩与地理成绩,例如:表中地理成绩为 A 等级的共有 14+40+10=64 人,数学成绩为 B 等级且地理成绩为 C 等级的有 8 人.已知 x 与 y 均为 A 等级的概率是 0.07. (1)设在该样本中,数学成绩优秀率是 30%,求 a,b 的值; (2)已知 a?8,b?6,求数学成绩为 A 等级的人数比 C 等级的人数多的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (1)由频率= ,能求出 a,b 的值.

(2)由 14+a+28>10+b+34,得 a>b+2.由此利用列举法能求出所求概率. 【解答】解: (1)由频率= ∴ ,故 a=18, ,得到 ,

而 14+a+28+40+36+8+10+b+34=200, ∴b=12.… (2)∵a+b=30 且 a?8,b?6, ∴由 14+a+28>10+b+34,得 a>b+2. (a,b)的所有结果为(8,22) , (9,21) , (10,20) , (11,19) ,…(24,6)共 17 组, 其中 a>b+2 的共 8 组, 故所求概率为: .…

19.如图,在四棱锥 A﹣EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面 AEF⊥平面 EFCB,EF=2, 四边形 EFCB 是高为 的等腰梯形,EF∥BC,O 为 EF 的中点. (1)求证:AO⊥CF; (2)求 O 到平面 ABC 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的性质. 【分析】 (1)证明 AO⊥EF,推出 AO⊥平面 EFCB,即可证明 AO⊥CF. (2)取 BC 的中点 G,连接 OG.推出 OG⊥BC,OA⊥BC,得到 BC⊥平面 AOG,过 O 作 OH⊥AG,垂足为 H,说明 OH⊥平面 ABC,O 到平面 ABC 的距离为 OH,求解即可. 【解答】 (1)证明:因为△AEF 等边三角形,O 为 EF 的中点,所以 AO⊥EF… 又因为平面 AEF⊥平面 EFCB,AO? 平面 AEF,平面 AEF∩平面 EFCB=EF, 所以 AO⊥平面 EFCB,… 又 CF? 平面 EFCB,所以 AO⊥CF… (2)解:取 BC 的中点 G,连接 OG.
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由题设知,OG⊥BC… 由(1)知 AO⊥平面 EFCB, 又 BC? 平面 EFCB,所以 OA⊥BC,因为 OG∩OA=O,所以 BC⊥平面 AOG… 过 O 作 OH⊥AG,垂足为 H,则 BC⊥OH,因为 AG∩BC=G,所以 OH⊥平面 ABC. … 因为 ,所以 , . (另外用等体积法亦可)…

即 O 到平面 ABC 的距离为

20.已知圆 M 与圆 N: (x﹣ )2+(y+ )2=r2 关于直线 y=x 对称,且点 D(﹣ , )在 圆M上 (1)判断圆 M 与圆 N 的位置关系 (2)设 P 为圆 M 上任意一点,A(﹣1, ) .B(1, ) , 与 不共线,PG 为∠APB

的平分线,且交 AB 于 G,求证△PBG 与△APG 的面积之比为定值. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (1)先求得点 N 关于直线 y=x 对称点 M 的坐标,可得圆 M 的方程,再根据圆心 距大于两圆的半径之和,可得两圆相离.

(2)设∠PAB=2α,则∠APG=∠BPG=α,可得

=

=

.设点

P(x,y) ,求得 PA2 和 PB2 的值,可得

的值.

【解答】解: (1)由于点 N( ,﹣ )关于直线 y=x 对称点 M(﹣ , ) , 故圆 M 的方程为: (x+ )2+(y﹣ )2=r2. 把点 D(﹣ , )在圆 M 上,可得 r2= 可得圆 N: (x﹣ )2+(y+ )2= ,故圆 M 的方程为: (x+ )2+(y﹣ )2= .

,N( ,﹣ ) ,

根据|MN|=

=

> ,故两圆相离.

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(2)设∠PAB=2α,则∠APG=∠BPG=α,∴

=

=



设点 P(x,y) ,则(x+ )2+(y﹣ )2= PA2=(x+1)2+(y﹣ )2=(x+1)2+ PB2=(x﹣1)2+(y﹣ )2=(x﹣1)2+

. x; x;

﹣(x+ )2= ﹣(x+ )2=﹣



=4,∴

=2,即

=2.

21.已知函数 f(x)=x+

,g(x)=x+lnx,其中 a≠0.

(1)若 x=1 是函数 h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数 a 的值及 h(x)的单调区间; (2)若对任意的 x1,x2∈[1,2],f(x1)?g(x2)恒成立,且﹣2<a<0,求实数 a 的取 值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)对 h(x)求导数,利用 h′(x)=0 时存在极值点,求出 a 的值,再利用导数讨 论 h(x)的单调性; (2)设存在实数 a,对任意的 x1,x2∈[1,2]都有 f(x1)?g(x2)成立,等价于对任意的 x1,x2∈[1,2]时,都有[f(x)]min?[g(x)]max, 分别求出函数 f(x)在区间[1,2]的最小值与 g(x)在[1,2]上的最大值,列出不等式求 出实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)∵h(x)=f(x)+g(x)=2x+ +lnx,其定义域为(0,+∞) ,

∴h′(x)=2﹣

+ ;

又 x=1 是函数 h(x)的极值点, ∴h'(1)=0,即 3﹣a2=0, ∵a>0, ∴a= ; 经检验,a= 时,x=1 是函数 h(x)的极值点, ∴a= ; 又 h′(x)= = ,

∴当 0<x<1 时,h′(x)<0,h(x)是单调减函数, x>1 时,h′(x)>0,h(x)是单调增函数; ∴h(x)的单调减区间为(0,1) ,增区间为(1,+∞) ; (2)假设存在实数 a,对任意的 x1,x2∈[1,2]都有 f(x1)?g(x2)成立,
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等价于对任意的 x1,x2∈[1,2]时,都有[f(x)]min?[g(x)]max, 当 x∈[1,2]时,g′(x)=1+ >0. ∴函数 g(x)=x+lnx 在[1,2]上是增函数. ∴[g(x)]max=g(2)=2+ln2. ∵f′(x)=1﹣ = ,且 x∈[1,2],﹣2<a<0,

①当﹣1<a<0 且 x∈[1,2]时,f′(x)=

>0,

∴函数 f(x)=x+

在[1,2]上是增函数.

∴[f(x)]min=f(1)=1+a2. 由 1+a2?2+ln2,得 a?﹣ ∴a?﹣ 不合题意.

,又﹣1<a<0,

②当﹣<?a?﹣1 时,若 1?x<﹣a,则 f′(x)=

<0,

若﹣a<x?2,则 f′(x)=

>0,

∴函数 f(x)=x+

在[1,﹣a)上是减函数,在(﹣a,2]上是增函数.

∴[f(x)]min=f(﹣a)=﹣2a ﹣2a?2+ln2,得 a?﹣1﹣ ln2, ∴﹣2<a?﹣1﹣ ln2. 综上,存在实数 a 的取值范围为(﹣2,﹣1﹣ ln2) .

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延 长线上. (1)若 = , =1,求 的值;

(2)若 EF2=FA?FB,证明:EF∥CD.

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【考点】与圆有关的比例线段;弦切角. 【分析】 (1)根据圆内接四边形的性质,可得∠ECD=∠EAB,∠EDC=∠B,从而△EDC∽ △EBA,所以有 = = ,利用比例的性质可得 ? =( = )2,得到 = ;

(2)根据题意中的比例中项,可得

,结合公共角可得△FAE∽△FEB,所以∠FEA=

∠EBF,再由(I)的结论∠EDC=∠EBF,利用等量代换可得∠FEA=∠EDC,内错角相等, 所以 EF∥CD. 【解答】解: (1)∵A,B,C,D 四点共圆, ECD= ∴∠ ∠EAB,∠EDC=∠B ∴△EDC∽△EBA,可得 ∴ ∴ ? = =( . = = , )2

)2,即 ? =(

证明: (2)∵EF2=FA?FB, ∴ = ,

又∵∠EFA=∠BFE, ∴△FAE∽△FEB,可得∠FEA=∠EBF, 又∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠EDC=∠EBF, ∴∠FEA=∠EDC, ∴EF∥CD. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2acosθ(a≠0) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半 轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .

(1)求圆 C 的直角坐标方程(化为标准方程)和直线 l 的极坐标方程; (2)若直线 l 与圆 C 只有一个公共点,且 a<1,求 a 的值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)圆 C 的方程为 ρ=2acosθ(a≠0) ,即 ρ2=2aρcosθ,利用 ρ2=x2+y2,x=ρcosθ 即 可化为直角坐标方程.设直线 l 的参数方程为 方程. (2)由直线 l 与圆 C 只有一个公共点,且 a<1,因此直线与圆相切,可得 =|a|, (t 为参数) ,消去参数 t 化为 p 普通

解出 a 即可得出. x2+y2 【解答】 解: (1) 圆 C 的方程为 ρ=2acosθ (a≠0) , 即 ρ2=2aρcosθ, 化为直角坐标方程: ﹣2ax=0,配方为(x﹣a)2+y2=a2,圆心 C(a,0) ,半径 r=|a|. 设直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,消去参数 t 化为:4x﹣3y+5=0.
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(2)∵直线 l 与圆 C 只有一个公共点,且 a<1,∴ a= .

=|a|,化为:4a+5=±5a,解得:

[选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|3x﹣1|+ax+3 (Ⅰ)若 a=1,解不等式 f(x)?4; (Ⅱ)若函数 f(x)有最小值,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)需要去掉绝对值,得到不等式解得即可, (Ⅱ)把含所有绝对值的函数,化为分段函数,再根据函数 f(x)有最小值的充要条件, 即可求得. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=|3x﹣1|+x+3, 当x 当x 时,f(x)?4 可化为 3x﹣1+x+3?4,解得 时,f(x)?4 可化为﹣3x+1+x+3?4,解得 }, ; .

综上可得,原不等式的解集为{x|

(Ⅱ)f(x)=|3x﹣1|+ax+3=

函数 f(x)有最小值的充要条件为 即﹣3?a?3.



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2016 年 9 月 3 日

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