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圆复习讲义---经典之作


圆复习讲义
一、圆的有关概念 1、圆:可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合. 2、圆心、半径、直径、弧 3、圆心角:顶点在圆心上,角的两边与圆周相交的角叫圆心角. 4、圆周角:顶点在圆周上,并且角的两边为圆的两条弦的角叫做圆周角. 二、与圆有关的位置关系: 1

、点与圆的位置关系: O (1)点在圆内 ?d<r ?点 C 在圆内 A d (2)点在圆上 ?d=r ?点 B 在圆上 r d C B (3)点在圆外 ?d>r ?点 A 在圆外 2、直线与圆的位置关系: (1)直线与圆相离 ?d>r ?无交点 (2)直线与圆相切 ?d=r ?有一个交点 (3)直线与圆相交 ?d<r ?有两个交点 3、圆与圆的位置关系:

O d r

O d r

O d r

d R r R

d r R

d r

d R r

d

r

R

图5 图3 图4 图2 图1 (1)外离(图 1) ?无交点 ?d>R+r A E (2)外切(图 2) ?有一个交点 ?d=R+r (3)相交(图 3) ?有两个交点 ?R-r<d<R+r F O O (4)内切(图 4) ?有一个交点 ?d=R-r D (5)内含(图 5) ?无交点 ?d<R-r C D E A 三、关于圆的定理: C B B 1、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧. C ★推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. B O 2、圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等. A 3、圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半. D C 即:∵∠AOB 和∠ ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ ACB ★ 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧. O B 即:在⊙O 中,∵∠C、∠D 都是弧 AB 所对的圆周角 ∴∠C=∠D ★推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径. C 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 B ★推论 3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 O 即:在△ABC 中,∵OC=OA=OB C ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°
B O A

A

A

1

4、切线的性质与判定定理: (1)判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线 O 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN⊥OA 于 A 点,且 A 点在⊙O 上 ∴MN 是⊙O 的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径 M N A ★推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点 ★推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心 即:过圆心—过切点—垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 四、三角形与圆 1.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的_____________,它的圆心叫做三角形的外心;三角形的外心 是三角形的___________________的交点.外心到三角形三个顶点的距离相等,都等于圆的半径. 2.与三角形的三边都_______的圆叫做三角形的________圆,它的圆心叫做三角形的内心;三角形的内心 是三角形的三条______________________的交点.内心到三角形三边的距离相等,都等于圆的半径. C 五、圆内正多边形的计算: (1)正三角形:在⊙O 中,△ABC 是正三角形, O C B 有关计算在 Rt△BOD 中进行,OD:BD:OB= 1: 3 : 2 A B D (2)正四边形: O 四边形的有关计算在 Rt△OAE 中进行,OE :AE:OA= 1:1: 2 A A D E 六、弧长、扇形面积公式: (1)弧长公式:l ?

n? R 180

O

S

l

B1

(2)扇形面积公式: S ? 七、侧面展开图: (1)圆柱侧面展开图

n? R 1 ? lR 360 2
2

B

A

D

D1 母线长 底面圆周长

O

S表 ? S侧 ? 2S底
(2)圆锥侧面展开图
B C

R
C1

S表 ? S侧 ? S底
八、圆中双解问题 1、点与圆的不同位置: 点 P 到⊙O 的最小距离为 4,最大距离为 9,则圆的半径是 2、平行弦与圆心的不同位置: .

C A

r

B

在半径为 5cm 的圆内有两条平行弦,一条为 6cm,另一条为 8cm,则两条弦之间的距离为 3、点在弧上的位置不同: △ABC 是半径为 2cm 的圆的内接三角形,BC= 2 3 cm,则∠A= 4、圆心与弦的位置不同: ⊙O 的半径 OA=2,弦 AB、 AC 长分别为 2 2 和 2 3 ,则∠ BAC= 5、弦与直径的位置不同: 半圆直径 AB=13,C 为半圆上一点,CD =12 且 CD⊥AB 于点 D,则 AD= 6、两圆相切的不同位置: 半径分别为 1 和 2 的两圆相外切,半径为 3 的圆与这两个圆都相切,这样的圆共有________个 7、圆心距与圆的不同位置: 相交两圆公共弦长为 24,两圆半径分别为 15 和 20 ,则这两圆的圆心距为
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【热点试题归类】 题型 1 圆的有关性质 1. 如图 1, △ABC 为⊙O 的内接三角形, AB 为⊙O 的直径, 点 D? 在⊙O 上, ∠BAC=35° , 则∠ADC=_____.

C A
B

O

(1) D (2) (3) (4) www.czsx.com.cn 2.如图 2,在⊙O 中,∠ACB=∠D=60° , AC=3,则△ ABC 的周长为______. 3.如图 3,AB 是⊙O 的弦,圆心 O 到 AB 的距离 OD=1, AB=4,则该圆的半径是________. 4.如图 4,⊙O 的直径 AB=8cm,C 为⊙O 上的一点,∠BAC=30° ,则 BC=_____cm.

(5) (6) (7) (8) 5.我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连线的所有线段中,垂线段最短”.在此基 础上,人们定义了点与点的距离,点到直线的距离.类似地,如图 5,若 P 是⊙O 外一点,直线 PO 交 ⊙O 于 A、B 两点,PC 切⊙O 于点 C,则点 P 到⊙O 的距离是( ) A.线段 PO 的长度 B.线段 PA 的长度 C.线段 PB 的长度 D.线段 PC 的长度 6.如图 6,AB 是⊙O 的直径,BC、CD、DA 是⊙O 的弦,且 BC=CD=DA,则∠ BCD=( ) A.100° B.110° C.120° D.135° 7.如图 7,⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G,∠EOD=40° ,则∠DCF 等于( ) A.80° B.50° C.40° D.20° 8.图 8 中∠BOD 的度数是( ) A.55° B.110° C.125° D.150° 题型 2 直线与圆的位置关系 1.已知∠ABC=60° ,点 O 在∠ABC 的平分线上,OB=5cm,以 O 为圆心,3cm 为半径作圆,则⊙O 与 BC 的位置关系是________. 2.如图 1,AB 是⊙O 的切线,OB=2OA,则∠ B 的度数是_______.

(1) (2) (3) 3.如图 2,已知直线 CD 与⊙O 相切于点 C,AB 为直径,若∠ BCD=40° ,则∠ ABC 的大小等于_____. 4.如图 3,PB 为⊙O 的切线,B 为切点,连结 PO 交⊙O 于点 A,PA=2,PO=5,则 PB 的长为( ) A.4 B. 10 C.2 6 D.4 3 5.如右图,AB 与⊙O 切于点 B, AO=6cm,AB=4cm,则⊙O 的半径为( A.4 5 cm B.2 5 cm C.2 13 cm D. 13 cm 6.如右图,已知⊙O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 35° , 过 C 点的切线 PC 与 AB 的延长线交于点 P,那么∠P 等于( A.15° B.20° C.25° D.30° 7.⊙O 的半径为 4,圆心 O 到直线 L 的距离为 3, 则直线 L 与⊙O 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
3





8. 如图, A 是⊙O 外一点, B 是⊙O 上一点, AO 的延长线交⊙O 于点 C, 连结 BC, ∠C=22. 5° , ∠A=45° . 求 证:直线 AB 是⊙O 的切线.

9.如图,⊙O 的直径 AB=4,∠ ABC=30° , BC=4 3 ,D 是线段 BC 的中点. (1)试判断点 D 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)过点 D 作 DE⊥AC,垂足为点 E,求证直线 DE 是⊙O 的切线.

题型 3 圆与圆的位置关系 1.已知⊙O 与⊙O 半径的长是方程 x2 -7x+12=0 的两根,且 O1 O2 =0.5,则⊙ O1 与⊙O2 的位置关系是 ( ) A.相交 B.内切 C.内含 D.外切 2.已知两圆的半径分别为 1 和 4,圆心距为 3,则两圆的位置关系是 ( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 3.若⊙A 和⊙B 相切,它们的半径分别为 8cm 和 2cm,则圆心距 AB 为 ( ) A.10cm B.6cm C.10cm 或 6cm D.以上都不对 题型 4 弧长、扇形面积,侧面展开图 1.已知扇形的圆心角为 120° ,半径为 15cm,则扇形的弧长为 cm(结果保留? ).

1 2.如图,如果从半径为 9cm 的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处 3
不重叠),那么这个圆锥的高为( A.6cm B. 3 5 cm C.8cm )

D. 5 3 cm 3.如图,在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的一个圆锥模型.设圆的半径为 r, 扇形的半径为 R,则圆的半径与扇形半径之间的关系为( ) 9 A.R=2r B.R= r 4 C.R=3r D.R=4r

剪 去

4


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