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九江三中高中数学竞赛专题讲座立体几何


竞赛试题选讲之六:立体几何
一、选择题部分 1. (2006 吉林预赛)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,过顶点 A1 作直线 l,使 l 与直线 AC 和直 线 BC1 所成的角均为 60° ,则这样的直线 l 的条数为 ( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于 3 2.(2006 陕西赛区预赛)如图 2,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1

中,P 为棱 过点 P 在空间作直线 l,使 l 与平面 ABCD 和平面 AB C1 D1 均成 30 角,
0

AB 上一点, 则这样的直

线 l 的条数为(B) A. 1 B .2 C. 3 D .4 3.(集训试题)设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面是三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与 PA、PB 的延长线分别交于 Q、R,则和式

1 1 1 ? ? PQ PR PS



) B.有最小值而无

A.有最大值而无最小值 最大值 C.既有最大值又有最小值,两者不等 D.是一个与面 QPS 无关的常数

解 :设正三 棱锥 P-ABC 中 ,各侧棱 两两夹 角为 α ,PC 与面 PAB 所成 角为β , 则 vS-PQR= h= PQR·

1 S△ 3

1 1 PRsinα )· PS· sinβ 。 另一方面, O 到各面的距离为 d, vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS, 记 则 ( PQ· 3 2 1 1 1 1 d 1 d 1 d 1 S△PQR·d= △PRS·d+ S△PRS·d+ △PQS·d= ? PQ·PRsinα + ? PS·PRsinα + ? PQ·PS·sin 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2
1 1 1 sin ? =常数。故选 ? ? ? PQ PR PS d

α ,故有:PQ·PR·PS·sinβ =d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS),即 D。

4. (2006 年江苏)过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线 共有(C) A.0 条 B.1 条 C.4 条

D.无数多条

5.(2006 天津)已知 P 为四面体 S ? ABC 的侧面 SBC 内的一个动点,且点 P 与顶点 S 的距离等于点 P 到底 面 ABC 的距离,那么在侧面 SBC 内,动点 P 的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线一定是 ( D ) A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆 6. (2006 年南昌市)四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是单位正方形( A, B, C, D 按反时针方向排列),侧棱 PB 垂直于底面,且 PB = 3 ,记 ?APD ? ? ,则 sin ? =(C) A.

2 2

B.

3 3

C.

5 5
第1页

D.

6 6

共8页

7. (2005 年浙江)正方体的截平面不可能是: (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边 形 (5) 正六边形; 下述选项正确的是(B) A.(1)(2)(5) B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4) D.(3)(4)(5) 【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝角三角形,直角三 角形(证明略) ;对四边形来讲,可以是梯形(等腰梯形) 、平行四边形、菱形,矩形、但不可能是直角梯 形(证明略) ;对五边形来讲,可以是任意五边形,不可能是正五边形(证明略) ;对六边形来讲,可以是 六边形(正六边形) 。 ?选 【 B 】 8.(2005 全国)如图, ABCD ? A?B?C ?D? 为正方体。任作平面 ? 与对角线 AC ? 垂直,使得 ? 与正方体的每 个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l .则( ) A.S 为定值, l 不为定值 B.S 不为定值, l 为定值 C.S 与 l 均为定值 D.S 与 l 均不为定值 解:将正方体切去两个正三棱锥 A ? A?BD与 C? ? D?B?C 后,得到一个以平行平面 A?BD与D?B?C 为上、下 底面的几何体 V,V 的每个侧面都是等腰直角三 角形, 截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面 上的一条边平行, V 的侧面沿棱 A?B? 剪开, 将 展 平在一张平面上,得到一个 ,显然 A?B?B1 A1 ,而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 A?A1 平行的线段(如图中 E ?E1 )

E ?E1 ? A?A1 ,故 l 为定值.
当 E ? 位于 A?B? 中点时,多边形 W 为正六边形,而当 E ? 移至 A? 处时,W 为正三角形,易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为

3 2 3 2 l 与 l ,故 S 不为定值。选 B. 24 36

9.(2006 浙江省)在正 2006 边形中,与所有边均不平行的对角线的条数为(C) A.2006 B. 1003
2

C. 1003 ? 1003
2

D. 1003 ? 1002 .
2

解: 正 2n 边形 A1 A2 ? A2 n ,对角线共有

1 ? 2n ? (2n ? 3) ? n(2n ? 3) 条. 2

计算与一边 A1 A2 平行的对角线条数,因 A1 A2 // An ?1 An ? 2 ,与 A1 A2 平行的对角线的端点只能取自 2n-4 个 点,平行线共 n-2 条。故与某一边平行的对角线共 n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有 n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C. 10. (2005 四川)如图,一个立方体,它的每个角都截去一个三棱锥,变成一个新的立体图形。那么在新图形 顶点之间的连线中,位于原立方体内部的有 120 条. 解:据题意新的立体图形中共有 24 个顶点,每两点连一条线, 共 C 24 ? 12 ? 23 ? 276 ,其中所有的棱都在原立方体的表面,
2

有 36 条.原立方体的每个面上有 8 个点,除去棱以外,还可以 连

5?8 ? 20 条,6 个面共 120 条都在原立方体的表面,除此 2

之外的直线都在原立方体的内部.

共8页

第2页

二、填空题部分 1. (2006 年南昌市)棱长为 1 的正四面体在水平面上的正投影面积为 s ,则 s 的最大值为_

1 _. 2

2. (2006 天津)在一个棱长为 5 的正方体封闭的盒内,有一个半径等于 1 的小球,若小球在盒内任意地运动, 则小球达不到的空间的体积的大小等于

44 ?

31? 3



3. (2006 年上海)在△ABC 中,已知 ?A ? 30?, ?B ? 105? ,过边 AC 上一点 D 作直线 DE,与边 AB 或者 BC

? CD ? 相交于点 E,使得 ?CDE ? 60? ,且 DE 将△ABC 的面积两等分,则 ? ? ? ? AC ?

2

3 6



4. (2006 年上海)在直三棱柱中,已知底面积为 s 平方米,三个侧面面积分别为 m 平方米,n 平方米,p 平方 米,则它的体积为

s 2

4

(m ? n ? p)(m ? n ? p)( p ? m ? n)(n ? p ? m)

立方米.

5. (2006 陕西赛区预赛)用 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架,铁棒的粗细和焊接误差不计设此 框架能容纳得下的最大球的半径为 R1 ,能包容此框架的最小球的半径为 R2 ,则

R1 等于 R2

3 3

.

6. (2006 年江苏)长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AB1 ? 4 , AD1 ? 3 ,则对角线 AC1 的取值范围是

? 4,5 ?



7.(2005 全国)如图,四面体 DABC 的体积为

AC 1 ,且满足 ?ACB ? 45?, AD ? BC ? ? 3, 则 CD ? 3 . 6 2

解:?

1 1 1 AD ? ( ? BC ? AC ? sin 45?) ? VDABC ? , 3 2 6
AC 2 ? 1.
AC 2 AC 2
第 7 题图

即 AD ? BC ?

又 3 ? AD ? BC ?

? 3 AD ? BC ?

? 3,

等号当且仅当 AD ? BC ?

AC 2

? 1 时成立,这时 AB ? 1, AD ? 面 ABC,? DC ? 3 .

8. (2004 全国)如图、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,二面角 A ? BD1 ? A1 的度数是____. 解:连结 D1C , 作CE ? BD1 ,垂足为 E,延长 CE 交 A1 B 于 F,则
D1 C1

FE ? BD1 ,
连结 AE,由对称性知 AE ? BD1 , ??FEA 是二面角

A1 F E

B1

D C A

B

共8页

第3页

A ? BD1 ? A1 的平面角.连结 AC,设 AB=1,则
AC ? AD1 ? 2, BD1 ? 3.

在Rt ?ABD1 中, AE ?

AB ? AD1 ? BD1

2 , 3

4 ?2 AE 2 ? CE 2 ? AC 2 2 AE 2 ? AC 2 3 1 在 ?AEC中, cos ?AEC ? ? ? ?? . 2 4 2 AE ? CE 2 AE 2 3

??AEC ? 1200 , 而?FEA是?AEC 的补角,??FEA ? 600 .

【原创】2008 年高考立体几何问题研究综述
直线、平面、简单几何体是高考的必考内容。一般以客观题的形式考查基础知识,以解答题的形式考查 综合问题。2008 年高考立体几何的考点主要包括:空间位置关系的判断与论证,空间角与距离的计算,直线、 平面、简单几何体与其它知识的交汇与运用等。试题设置形式和数量不一:有 12 份试卷是“两小一大”共三 道题、4 份试卷是“一小一大”共两道题、全国Ⅱ和四川卷是“三小一大”共四道题、江苏卷仅一道大题,分 值由 13 ? 27 不等,平均分不足 22,题目难度一般仍在中等左右。

1、客观题的考查研究
1.1、线面位置关系的判断问题 例 1. (湖南 5)设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列四个命题中,正确的是( A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ? )

解析 对每个选支逐一分析判断,可得正确答案(D) 。 评注 本题综合考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,同类的还有天津 5、安徽 4。线 面位置关系的判断是立体几何的基本知识和基本技能,是高考的必考内容,多出现在填空、选择题中。 1.2、几何元素的计数问题 例 2.(辽宁 11)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间中与三条直线 A1D1, a EF,CD 都相交的直线( )A.不存在 B.有且只有两条 b
1

C.有且只有三条

D.有无数条

b

c1

c GF E

解析 方法 1:易知三条异面直线 A1D1,EF,CD 平行于同一平面,记它 们依次为 a,b,c,在直线 a 上任取一点 E,过 E 作直线 b1 ? b, c1 ? c (如图 1) 。 设直线 b1 , b 确定平面α ,直线 c1 , c 确定平面β ,又两平面有公共点 E,故它

l

?

图1

?

们必交于过 E 的一条直线 l 。在α 内直线 l 与 b1 交于 E,则必与 b1 的平行线 b 相交,记交点为 F;同理记直线 l 与 c 的交点为 G,则直线 l 与直线 a,b,c 分别交于点 E,F,G。因为点 E 是任取的,故这样的直线有无数条。 方法 2:过直线 a 的平面旋转扫过全空间时,除去与 b,c 都平行的平面外,其余位置上的平面都与 b,c 同
共8页 第4页

时相交(记交点为 M,N) ,这些同时与 b,c 相交的平面中,除一个会出现 MN∥a 外,其余的直线 MN 都与直线 a 相交,因此这样的直线有无数条。 方法 3:在直线 EF 上任取一点 P,则 P 与直线 A1D1 确定一个平面γ ,该平面与直线 CD 必有交点,记为 Q, 直线 PQ 与直线 A1D1 共面且不平行,故它们必有交点,这样直线 PQ 与直线 A1D1,EF,CD 都相交,又直线 PQ 随 P 的变化而变化,故这样的直线有无数条。 评注 本题以正方体为载体研究三条异面直线有公共交线的问题,有一定的难度,极易错选为(C) (3

条直线为 DE, A1C , D1 F ) ,同类的试题还有四川9。例 2 源于“1997 年全国高中联赛题:如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么,与直线 a,b,c 都相交的直线有(D) (A)0 条, (B)1 条, (C)多于 1 的有限条, (D)无穷多条” 。此赛题中的直线 a,b,c 可以不共面,故可“不妨构造平行六面体”求解,而例 2 不可用这种 方法求解。几何元素的计数问题可较好地考查空间想象能力和思维的发散能力。 1.3、组合体问题 例 3.(1) (江西 16)如图 2,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块,容器 内盛有 a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点 P。如果将容器倒置,水面也恰好过点 P (图 3) 。有下列四 个命题: A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点 P C.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点 P D.若往容器内再注入 a 升水,则容器恰好能装满 其中真命题的代号是: (写出所有真命题的代号) . 图2 图3

P P

(2) (海南 15)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为

9 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 ______ 8
图4

(3) (重庆 9)如图 4,体积为 V 的大球内有 4 个小球,每个小球的球面过大 球球心且与大球球面有且只有一个交点,4 个小球的球心是以大球球心为中 心的正方形的 4 个顶点.V1 为小球相交部分(图中阴影部分)的体积,V2 为大 球内、小球外的图中黑色部分的体积,则下列关系中正确的是( ) (A)V1=

V 2

(B) V2=

V (C)V1> V2 2

(D)V1< V2

解析 (1) 、图 2 中设底面积为 S,正四棱锥的高为 h,则 a= Sh ?

1 3a ,故 A 错;侧放时, Sh ? h ? 3 2S

有一半的水填在空白,而水的体积与上面空白体积相等,故 B 对;任意摆放时,如水面与正四棱锥的侧面平行 时,水面不会恰好是侧面,因而水面不会恰好过点 P ;由两次操作可知 D 正确,因此填 B,D。 (2) 、设该六棱柱的高为 h。由底面正六边形的周长为 3,得底面边长为

1 ,过底面中心的对角线长为 1, 2

底面正六边形面积为 S ? 6 ?

3 1 2 3 3 3 3 9 ?( ) ? h ? ? h ? 3 。过底面中心和球心的六棱柱的 ,则有 4 2 8 8 8
共8页 第5页

截面矩形的对角线即球的直径为 2,故球的体积为

4 ?。 3

(3) 、设小球半径为 r,则大球半径为 2r, V大球 ? V2 ? 4 ? V小球 ? V1 ,

4 4 16 。 V1 ? V2 ? 4 ? ? r 3 ? ? (2r )3 ? ? ? r 3 ? 0 ,故选(D) 3 3 3
评注 (1)是多面体与多面体的组合,其过程和结果都具有开放性; (2)是多面体与球的组合,关键是 找准最佳截面; (3)是球与球的组合,无需求出具体的 V1 与 V2。球的知识在 2008 年的高考中考查相当多,理 科 19 套数学卷中有 12 套考查了球的问题,主要考查求距离(如安徽 16、湖南 9 等考球面距离) 、面积(如四 川8、山东 6 等)和体积等。它们有的单独考查,有的以球为载体综合考查。组合体问题有利于考查学生的解 题目标意识、运动变化思想、问题或图形的分解与重组能力,以及综合解决问题的能力。 1.4、交汇性问题 高考命题以能力立意,注重在知识的交汇处命制试题。因而交汇型试题在近年的高考中频繁出现, 2008 年高考立体几何中的交汇型客观试题有如下特点。 1.4.1、与简易逻辑交汇 例 5 (天津 4)设 a, b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是() (A) a ? ? ,b // ? , ? ? ? (C) a ? ? , b ? ? , ? // ? (B) a ? ? , b ? ? , ? // ? (D) a ? ? ,b // ? , ? ? ?

解析 题设条件比较零散, 宜逐一检验: 和 D 中 a 与 b 的位置关系不确定; 中 a 与 b 平行; 中 a⊥ b, A B C 故选(C) 评注 简易逻辑知识年年考,这是直接考查(还如上海 13) ,但多是融入大题中隐性考查。 1.4.2、与平面几何知识类比交汇 例 6. (全国Ⅱ卷 16) 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个, 如两组对边分别平行, 类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① ;充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)

解析 可对平行四边形的两个具体的充要条件进行类比推广,如答案可为:两组相对侧面分别平行;一组 相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边形等. 评注 本题是有限度的开放性问题, 它将平面几何中平行四边形的判定定理类比推广到立体几何的四棱柱 中。 不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中, 这需要考生具有较好的基础知识和敏锐的 洞察力。 1.4.3、与函数交汇 例 7.(北京 8)如图 5,动点 P 在正方体 ABCD ? A B1C1 D1 的对角线 BD1 上.过点 P 作垂直于平面 1

BB1 D1 D 的直线,与正方体表面相交于 M,N .设 BP ? x , MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的图象大致是( )

共8页

第6页

D1 A1 D M A B B1 P N

C1

y

y

y

y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

解析 设 CC1 , BD1 的中点分别为 E,F,连结 BE,EF, ED1 ,则点 N 在折线 BE D1 上,且当 N 在 BE 上时

1 1 y MN PN EF 有 ?BPN ? ?BFE , 故 2 ? 2 , ? ? ? sin ?EBD1 , 所 以 y ? 2 s i n?E B D ? x 又 正 方 体 1 x BN BN BE

ABCD ? A1 B1C1D1 中的 sin ?EBD1 为定值,故 y ? 2sin ?EBD1 ? x 的轨迹为直线,排除 C,D;又 y 的最大值
只在 x=BF 时取得,故选(B) 。 评注 本题将一次函数寓于正方体中,考查最基本的三角形相似、三角函数、直线方程等知识,将数与 形较好地结合在一起。2008 年高考理科立几客观题中,还有与三角函数(都是正弦或余弦)的交汇题 5 道, 如全国Ⅰ16、全国Ⅱ10、福建 6 等。 1.4.4、与不等式交汇 例 8 (海南 12)某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a + b 的最大值为( A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 解析 假设这条棱是长方体 ABCD- A1 B1C1 D1 的体对角线 A C1 ,如 图 6,设 AB=x,BC=y,C C1 =z,则其在正视图、侧视图与俯视图中的 投影分别是 D C1 、B C1 与 AC,故有 a ? b ? 6 ? ( y ? z ) ? ( x ? y ) ?
2 2 2 2 2 2



A1

D1 B1

C1

( x 2 ? z 2 ) ? 2( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ,又 x 2 ? z 2 ? 6 , y ? ( 7)2 ? ( 6) 2 ? 1 , 2 2 2 2 代入整理得 a ? b ? 8 ,所以 a ? b ? 2( a ? b ) ? 4 ,故选 C。
评注 本题以三视图为载体,将长方体的体对角线与三条互不相等 A

D

C

B 图6 的面对角线巧妙地联系在一起, 考查三视图知识以及运用不等式知识求线段和的最值问题, 三视图试题还有广 东 5 和山东 6。 1.4.5、与解析几何交汇 例 9. (浙江 10)如图 7, AB 是平面 ? 的斜线段, A 为斜足,若点 P 在平面 ? 内运动,使得 △ ABP 的 ... 面积为定值,则动点 P 的轨迹是( ) B A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线 解析 直接求点 P 的轨迹方程是不现实的。 △ ABP 的面积为定值, 把定线段 AB 看作底,则 P 到 AB 的距离为定值,故 P 点在一个圆柱 A ? 上;又 P 点在平面 ? 上,所以 P 点的轨迹是该平面斜截该圆柱的交线 P ——椭圆,故选(B) 。 图7 评注 本题由空间图形生成圆锥曲线,考查用交轨法求轨迹,以及数形结合、空间想象和问题转化的能力。

1.4.6、与排列组合交汇 例 10 (重庆 16)某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多) ,要在图 8 的 6 个点 A、B、C、A1、 B1、C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 C 共8页 第7页 A B

______种(用数字作答). 解析 方法 1:设 4 种颜色的灯泡为 a,b,c,d, 因为共顶点的 3 条线段的 4 个顶 点的灯泡不同色,故有 A4 种;如设点 A、A1、B、C 依次放灯泡 a,b,c,d,, 则 C1 可放 a 或 b,若 C1 放 a 则 B1 放 c;若 C1 放 b 则 B1 放 a 或 c,即此时 B1,C1 有 3 种按法;又图中有 6 个顶点,上述过程中都计算重复了一次,所 以每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有
4

1 4 ? 6 ? 3 ? A4 ? 216 种。 2
4 2

方法 2:分 3 类求解,① A1 , B1 , C1 , A 四点装四种不同颜色的灯泡,有 A4 A2 =48;② A1 , B1 , C1 , A 四点装三 种不同颜色的灯泡,有 C4C3 C2 (3 ? 3) =144;③ A1 , B1 , C1 , A 四点装 2 种不同颜色的灯泡,有 C4C3 A2 =24。所
1 2 1 1 1 2

以共有 48+144+24=216 种方法。 评注 图 8 就是一个三棱台,要注意条件“同一条线段两端的灯泡不同色”的限制,还可以绘树状图求解。 本题考查排列组合知识的综合运用、 分类讨论的思想方法、 逻辑推理能力, 以及数学的应用性与思维的深刻性。

共8页

第8页


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