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基本初等函数与初等函数


第一节
数 开学
启 科 学 大 门 的 钥 匙

映射与函数
a

一些概念
1.邻域: 设a与?是两个实数, 且? ? 0.

数集{ x x ? a ? ? }称为点a的?邻域 ,


U ( a,? ) ? {x a ? ? ? x ? a

? ? }.
?
a??

?
a

x a?? 点a叫做这邻域的中心,? 叫做这邻域的半径.
点a的去心的?邻域, 记作U ( a,? ).
?

2.函数概念 ?定义 设数集X、Y为两个非空实数集合,对任意X中的元 素x,按照某一对应规则f ,Y中都有唯一的一个数y与之 对应,则称规则f : X ?Y为定义在X上的函数, 通常简记 为 y?f(x), 其中x称为自变量, y称为因变量, X称为定义域, 记作 Df, 即Df?X.
说明: 函数的记号还可用“ g”、“F”、“?”等 , 此时函数就 记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量 x和因变量 y之间的 记作 y?g(x 、 y?F(x)、y??(x)等. 对应法则 , )而后者表示与自变量 x对应的函数值. 同一题中, 不同的函数应用不同的记号.
下页

几个特殊的函数举例
y

(1) 符号函数 ? 1 当x ? 0 ? y ? sgn x ? ? 0 当x ? 0 ? ? 1 当x ? 0 ?
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过x 的最大整数

1 o -1 y 4321 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 阶梯曲线 x

x ? sgn x ? x

3.函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、有界性
若存在数K1, 使对任一x?X, 有f(x)?K1, 则称函数f(x)在

X上有上界. 若存在数K2, 使对任一x?X, 有f(x)?K2, 则称函数f(x)在 X上有下界.
若存在正数M, 使对任一x?X, 有

|f(x)|?M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x) 在X上无界.

函数的有界性
下页

函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、有界性
例、判断函数的奇偶性
1 1? x 1. y ? ln . 2 1? x

2. y ? ln(x ? x 2 ? 1 )

e x ? e? x 3. y ? 2

e x ? e? x 4. y ? 2

5. y ? x 3 sinx

6. y ? (| x | ? x 2 ) cos x 1、奇,2、奇,3、偶,

4、奇,5、偶,6、偶

例、 求函数y=

x —, x-6

2

+arcsin 2 x-1

7

的定义域.。

? 3 ? x ? ?2或3 ? x ? 4

3.基本初等函数
1)幂函数 y ? x
2)指数函数
?

y
(?是常数)
y ? x2
1
(1,1)

y? x
y? x

y ? ax

(a ? 0, a ? 1)
1 y? ? 1) x

o

1

x

3)对数函数

y ? loga x (a ? 0, a

4)三角函数 与反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.

2)指数函数

y?a

x

(a ? 0, a ? 1)

1 x y?( ) a

y ? ax

(a ? 1)

3)对数函数

y ? loga x (a ? 0, a ? 1)

y ? log a x
(a ? 1)

y ? log 1 x
a

4)三角函数 与反三角函数
正弦函数 y ? sin x
定义域: R,值域: [-1,1]

求y ? sin x , x ? [?

? ?

, ]的反函数: 2 2

? x ? arcsin y

? y ? arcsin x

反正弦函数
?
2

定义域x ? [?1,1], 值域 ?

? y?

?
2

余弦函数 y ? cos x

求y ? cos x , x ? [0, ? ]的反函数:
? y ? arccos x
反余弦函数

定义域x ? [?1,1], 值域0 ? y ? ?

正切函数 y ? tan x
定义域: x?

求y ? tan x , x ? ( ?

? ?

?
2

? k?, 值 域 : R

? y ? arctan x
?
2

, )的反函数: 2 2

反正切函数

? ? 定义域x ? (??,??), 值域 ? ? y ? 2 2

?

?
2

余切函数 y ? cot x

定义域: x ? k?,值域: R

求y ? cot x , x ? (0, ? )的反函数: ? y ? arc cot x 反余切函数
定义域x ? (??,??), 值域0 ? y ? ?
?

y ? arccot x

4.复合函数与初等函数 定义: 设函数 y ? f ( u)的定义域 D f , 而函数

x ?自变量,
u ?中间变量,

u ? ?( x ) 的值域为 Z ? , 若 D f ? Z ? ? ? , 则称
函数 y ? f [?( x )]为 x 的复合函数.

y ?因变量,

例:分析下列复合函数的结构
x (1) y ? cot 2

(2) y ? e sin

2

( 3 x ? 1)

x y ? u , u ? cot v , v ? . 2 y ? e u, u ? v 2 , v ? sin w, w ? 3 x ? 1

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函 数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函 数. **分段函数不是初等函数**
双曲函数 双曲正弦sh x
,

shx e x ? e? x chx e x ? e? x ? x ? x , 双曲余切cth x ? 双曲正切th x ? ?x shx e ? e? x chx e ? e

e ?e ? 2
x

?x

,

e x ? e? x 双曲余弦ch x ? 2

等都是初等函数.

x ? e , x?1 ? x ? 2, 例1 设 f ( x ) ? , ?( x ) ? ? 2 ? ? x ? 1, ? x, x ? 1 求 f [?( x )]. ? e ? ( x ) , ?( x ) ? 1 f [?( x )] ? ? 解 ??( x ), ?( x ) ? 1

x?0 , x?0

10

当?( x ) ? 1时,

或 x ? 0, ?( x ) ? x ? 2 ? 1, 或 x ? 0, ?( x ) ? x 2 ? 1 ? 1,

x ? ?1;

0 ? x ? 2;

?e x , 例1 设 f ( x ) ? ? ? x, 求 f [?( x )].
20 当?( x ) ? 1时,

x?1 ? x ? 2, , ?( x ) ? ? 2 x?1 ? x ? 1,

x?0 , x?0

或 x ? 0, ?( x ) ? x ? 2 ? 1, 或 x ? 0, ?( x ) ? x 2 ? 1 ? 1,
综上所述

? 1 ? x ? 0;

x ? 2;

? e x?2 , x ? ?1 ? ? x ? 2, ? 1 ? x ? 0 f [? ( x )] ? ? 2 . x ?1 ?e , 0? x ? 2 2 ? x x? 2 ? ? 1,

双曲函数与反双曲函数
1、双曲函数

e ?e 双曲正弦 shx ? 2
x

?x

y ? chx
1 x y? e 2 1 ?x y? e 2

D : ( ??,?? ), 奇函数.

e ?e 双曲余弦 chx ? 2
x

?x

D : ( ??,?? ), 偶函数.

y ? shx

shx e ? e 双曲正切thx ? ? x ?x chx e ? e
D : ( ??,?? )
奇函数,

x

?x

有界函数,

双曲函数常用公式

sh( x ? y ) ? shx ?chy ? chx ? shy; ch( x ? y ) ? chxchy ? shx ? shy; 2 2 ch x ? sh x ?1; sh2 x ? 2shx ?chx; 2 2 ch2 x ? ch x ? sh x.

2、反双曲函数

反双曲正弦

y ? arshx

y ? arshx 2 ? ln( x ? x ?1)
D : ( ??,?? )
奇函数,

在 (??,??) 内单调增加 .

反双曲余弦 y ? archx
y ? archx 2 ? ln( x ? x ?1).
D : [1,?? )
y?

archx

在 [1,??) 内单调增加.

反双曲正切 y ?
1 1? x ? ln . 2 1? x
D : ( ?1,1)
奇函数,

arth x
y?

y ? arthx

arthx

在 (?1,1) 内单调增加.

1 例1 已知函数 f ( x ? 2) ? x ? 1,求 f ( ) .



? f ( x ? 2) ? x ? 1 ? ?x ? 2? ? 3

x

? f ( x) ? x ? 3
1 1 ? f( ) ? ?3 x x

例2 已知函数


1 ? 1? f ?1 ? ? ? 1 ? 2 x ? x?
2

,求 f ?x ? .
2

1 ? 1? 2 ? 1? ? 1? ? 1? ? f ?1 ? ? ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? 2?1 ? ? ? 2 x ? x? x ? x? ? x? ? x?


? 1, ? f ( x ) ? 例3 ? 0, ?? 1, ?

| x |? 1,

x | x |? 1, g ( x) ? e ,求 f ( g ( x))和g ( f ( x)) x?0 ? 1, | x |? 1, ?1 ? x ? 1 ? e,

? g ( f ( x)) ? ? 1, x ?1 ? 1 ?e , x ? ?1, 或x ? 1 ?

? f ( g ( x)) ? ? 0, ?? 1, ?

x?0 x?0

? x, x ? 0 ? 0, x ? 0 例、f ( x ) ? ? ,? ( x) ? ? 2 , 则f [? ( x )] ? ________ . ? 0, x ? 0 ?? x , x ? 0

?? ( x ),? ( x ) ? 0 解:f [? ( x )] ? ? ? 0, ? ( x ) ? 0
(1)? ( x ) ? 0时:
当x ? 0时, ? ( x ) ? 0 ? 0 ? x ? 0

当x ? 0时,? ( x) ? ? x 2 ? 0 ? x ? 0

(2)? ( x ) ? 0时:
当x ? 0时, ? ( x ) ? 0 ? 0 ? 不成立

? 0, x ? 0 f [? ( x)] ? ? 2 ?? x , x ? 0

当x ? 0时,? ( x) ? ? x 2 ? 0 ? 不成立


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