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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第23课 变化率与导数、导数的计算


第四章

导数及其应用

第 23 课 变化率与导数、导数的计算 1 1. (2012 深圳二模)曲线 y ? ( ) x 在 x ? 0 点处的切线方程是( ) 2
A. x ? y ln 2 ? ln 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 【答案】B 【解析】∵ y? ? ( ) x ? ln B. x ln 2 ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

1 2

1 1 ? ?( ) x ? ln 2 , 2 2
x ?0

∴在点 (0,1) 处的切线的斜率 k ? y?

? ? ln 2 .

∴点 (0,1) 处的切线的方程是 y ? 1 ? ? x ln 2 .

x 2 . 2011 广 州 二 模 ) 已 知 f1 ( x) ? s i nx? c o s, f n ?1 ( x) 是 f n ( x) 的 导 函 数 , 即 f 2 ( x ) ? f1? ( x ) , (
f 3 ( x ) ? f 2? ( x ) ,…, f n ?1 ( x) ? f n? ( x) , n ? N* ,则 f 2011 ( x) ? (
A. ? sin x ? cos x 【答案】A 【解析】 f1 ( x) ? sin x ? cos x , f 2 ( x) ? cos x ? sin x , B. sin x ? cos x C. ? sin x ? cos x ) D. sin x ? cos x

f3 ( x) ? ? sin x ? cos x , f 4 ( x) ? ? cos x ? sin x ,

f5 ( x) ? sin x ? cos x ,…
∴ f n ( x) 的周期为 4 , f 2011 ( x) ? f3 ( x) ? ? sin x ? cos x . 3. (2012 肇庆二模)曲线 y ? x ? 3x ? 6 x ? 1 的切线中,斜率最小的切线方程为
3 2

.

【答案】 3x ? y ? 2 ? 0 . 【解析】 y? ? 3x ? 6 x ? 6 ? 3( x ? 1) ? 3 ? 3 ,
2 2

? 当 x ? ?1 时, ymin ? 3 ;当 x ? ?1 时, y ? ?5 .
∴切线方程为 y ? 5 ? 3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 2 ? 0 . 4.函数 y ? x ? 1(0 ? x ? 1) 图象上点 P 处的切线与直线 y ? 0 , x ? 0 , x ? 1 围成的梯形面积等于 S ,
2

则 S 的最大值等于 【答案】

,此时点 P 的坐标是



5 1 5 ,( , ) 4 2 4 2 2 【解析】函数 y ? x ? 1(0 ? x ? 1) 在 P( x0 , x0 ? 1) 点处的
切线方程为 y ? ( x0 ? 1) ? 2 x0 ( x ? x0 ) ,
2

即 y ? 2 x0 x ? x0 ? 1 ,
2

1

它与 y 轴的交点为 (0,1 ? x0 ) ,
2

与 x ? 1 的交点为 (1, 2 x0 ? x0 ? 1) .
2

∴S ? 当 x0 ?

1 1 5 2 2 2 [(1 ? x0 ) ? (2 x0 ? x0 ? 1)] ?1 ? ? x0 ? x0 ? 1 ? ?( x0 ? )2 ? . 2 2 4 1 5 1 5 时, S 取得最大值为 ,此时 P 点坐标为 ( , ) . 2 4 2 4
3

5.已知函数 f ( x) ? x ? 3x 及 y ? f ( x) 上一点 P(1, ?2) ,过点 P 作直线 l . (1)求使直线 l 和 y ? f ( x) 相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和 y ? f ( x) 相切且切点异于 P 的直线方程. 【解析】(1)由 f ( x) ? x ? 3x ,得 f ?( x) ? 3x ? 3 ,
3 2

过点 P 且以 P(1, ?2) 为切点的直线的斜率 f ?(1) ? 0 , ∴所求的直线方程为 y ? ?2 . (2)设过 P(1, ?2) 的直线 l 与 y ? f ( x) 切于另一点 ( x0 , y0 ) , 则 f ?( x0 ) ? 3x0 ? 3 .
2

又∵直线过 ( x0 , y0 ) , P(1, ?2) 的斜率为
3 y0 ? 2 x0 ? 3 x0 ? 2 ? , x0 ? 1 x0 ? 1

∴ 3 x0 ? 3 ?
2
3 2

3 x0 ? 3x0 ? 2 , x0 ? 1

∴ 2 x0 ? 3x0 ? 1 ? 0 , ∴ (2 x0 ? 1)( x0 ? 1) ? 0 ,
2

∴ x0 ? 1 (舍去)或 x0 ? ?

1 , 2 1 9 ?3 ? ? , 4 4

∴所求直线的斜率为 k ? 3 ? ∴ y?2??

9 ( x ? 1) ,即 9 x ? 4 y ? 1 ? 0 . 4

2

6.设函数 f ( x) ? ax ?

b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 . x

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面积为定值, 并求此 定值. 【解析】(1)∵ f ( x) ? ax ?

b b ,∴ f ?( x) ? a ? 2 , x x 1 . 2

方程 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 ,当 x ? 2 时, y ?

b 1 ? ? 2a ? 2 ? 2 ?a ? 1 3 ? ∴? ,解得 ? ,∴ f ( x) ? x ? . x ?b ? 3 ?a ? b ? 7 ? ? 4 4
(2)设 P( x0 , y0 ) 为曲线上任一点, 由 f ?( x) ? 1 ?

3 知曲线在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 x2
3 )( x ? x0 ) , 2 x0

y ? y0 ? (1 ?
即 y ? ( x0 ?

3 3 ) ? (1 ? 2 )( x ? x0 ) . x0 x0

令 x ? 0 ,得 y ? ?

6 , x0 6 ). x0

从而得切线与直线 x ? 0 的交点坐标为 (0, ? 令 y ? x ,得 y ? x ? 2 x0 ,

从而得切线与直线 y ? x 的交点坐标为 (2 x0 , 2 x0 ) , ∴点 P( x0 , y0 ) 处的切线与直线 x ? 0 , y ? x 所围成的三角形的面积为

S?

1 6 ? ? 2 x0 ? 6 . 2 x0

故曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线与直线 x ? 0 , y ? x 所围成的三角形的面积为定值,且此定值为 6 .

3


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