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2.1.2椭圆的简单几何性质(1)


2.1.2 椭圆的简单几何性质(1)
1.椭圆 6x2+y2=6 的长轴端点坐标为( ) A.(-1,0),(1,0) B.(-6,0),(6,0) C.(- 6,0),( 6,0) D.(0,- 6),(0, 6) 解析:选 D.椭圆方程化为标准式 +x2=1, 6 2 ∴a =6,且焦点在 y 轴上. ∴长轴端点坐标为(0,- 6),(0, 6).

y2

x2 y2 1 2.若焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值为( 2 m 2
A. 3 B. 3 2 C. 8 3 D. 2 3

)

解析:选 B.∵焦点在 x 轴上,∴a= 2,b= m,c= a2-b2, c 2-m 1 3 ∴c= 2-m,e= = = ,∴m= . a 2 2 2 3.(2011 年高考课标全国卷)椭圆 A. 1 3 B. 1 2

x2
16

+ =1 的离心率为( 8 3 3 D. 2 2

y2

)

C.

解析:选 D.∵

c 2 2 2 + =1 中,a2=16,b2=8,∴c2=a2-b2=8,∴c=2 2.∴e= = = . 16 8 a 4 2

x2

y2

4 .椭圆的短轴长等于 2 ,长轴端点与短轴端点间的距离等于 5 ,则此椭圆的标准方程是 ________. 解析:设椭圆的长半轴长为 a,短半轴长为 b,焦距为 2c,则 b=1,a2+b2=( 5)2,即 a2= 4.所以椭圆的标准方程是 +y =1 或 +x =1.答案: +y =1 或 +x2=1 4 4 4 4 一、选择题 1.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( A.5、3、0.8 B.10、6、0.8 C.5、3、0.6 D.10、6、0.6 解析:选 B.把椭圆的方程写成标准形式为 + =1, 9 25 知 a=5,b=3,c=4.∴2a=10,2b=6, =0.8. 2.一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,则该椭圆 的标准方程是( ) A. C.

x2

2

y2

2

x2

2

y2

)

x2

y2

c a

x2
16

+ =1 或 + =1 9 9 16 + =1 或 + =1 16 25 16

y2

x2

y2

B.

x2
25

+ =1 或 + =1 9 25 9

y2

y2

x2

x2
25

y2

y2

x2

D.椭圆的方程无法确定

解析:选 C.由题可知,a=5 且 c=3,∴b=4,∴椭圆方程为
1

x2
25



y2
16

=1 或

y2
25



x2
16

=1.

3.椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是(4,0),(0,2),则此椭圆的方程 是( ) A. + =1 或 + =1 4 16 16 4

x2

y2

x2

y2

B. + =1 4 16

x2

y2

C.

x2
16

+ =1 4

y2

D.

x2
16



y2
20

=1

解析:选 C.由已知 a=4,b=2,椭圆的焦点在 x 轴上,所以椭圆方程是

x2
16

+ =1.故选 C. 4

y2

4.椭圆 + =1 上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) 25 9 A.8,2 B.5,4 C.5,1 D.9,1 解析:选 D.因为 a=5,c=4,所以最大距离为 a+c=9,最小距离为 a-c=1. 5.若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为 ( ) 2 3 5 6 A. B. C. D. 2 2 3 3 解析:

x2

y2

2 . 2 6.(2010 年高考广东卷)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆 的离心率是( ) 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 2 2 2 解析:选 B.由题意知 2b=a+c,又 b =a -c ,∴4(a2-c2)=a2+c2+2ac. 3 ∴3a2-2ac-5c2=0.∴5c2+2ac-3a2=0.∴5e2+2e-3=0.∴e= 或 e=-1(舍去). 5 二、填空题 7.与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点,且短轴长为 4 5的椭圆方程是________. 解析:依题意得椭圆的焦点坐标为(0, 5),(0,- 5),故 c= 5,又 2b=4 5,所以 b 选 A.如图所示,四边形 B1F2B2F1 为正方形,则△B2OF2 为等腰直角三角形,∴ = =2 5,a =b +c =25.答案: + =1 20 25 8. 若椭圆的短轴长为 6, 焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1, 则椭圆的离心率为________. 解析:依题意,得 b=3,a-c=1.又 a =b +c ,解得 a=5,c=4,∴椭圆的离心率为 e= 4 4 = .答案: 5 5 9.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 点的距离之和为 12,则椭圆 G 的标准方程为________. 解析:设椭圆的长半轴长为 a,由 2a=12 知 a=6. c 3 又 e= = ,故 c=3 3,∴b2=a2-c2=36-27=9. a 2
2
2 2 2 2 2 2

c a

x2

y2

c a

3 ,且 G 上一点到 G 的两个焦 2

∴椭圆标准方程为 + =1.答案: + =1 36 9 36 9 三、解答题 10.求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 A(2,0); (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解:(1)若椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 4 设方程为 2+ 2=1(a>b>0),∵椭圆过点 A(2,0),∴ 2=1,a=2,

x2

y2

x2

y2

a

b

a

∵2a=2·2b,∴b=1,∴方程为 +y2=1. 4

x

2

y2 x2 若椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b
∵椭圆过点 A(2,0),∴ 2+ 2=1,∴b=2,2a=2·2b,∴a=4,∴方程为 02 4

y2
16

a

b

+ =1. 4

x2

综上所述,椭圆的标准方程为 +y =1 或 + =1. 4 16 4 ?a=2c (2)由已知得? ?a-c= 3 ∴所求椭圆的标准方程为 ?a=2 3 ? ,∴? ? ?c= 3 .从而 b2=9,

x2

2

y2

x2

+ =1 或 + =1. 12 9 9 12 3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长及 2

x2

y2

x2

y2

11.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 顶点坐标.

x2 y2 m m? m+2? m 解:椭圆方程可化为 + =1,因为 m- = >0,所以 m> . m m m+3 m+3 m+3 m+3
即 a2=m,b2=

m m+3

,c= a2-b2=

1 所以 a=1,b= ,椭圆的标准方程为 x + =1.所以椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1, 2 1 4 1 1 四个顶点的坐标分别为 A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,- ),B2(0, ). 2 2 12.如图所示,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标, 2 其纵坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3

m? m+2? 3 .由 e= ,得 m+3 2 2 y 2

m+2 3 = ,解得 m=1. m+3 2

解:法一:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a、b、c.则焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),

3

M 点的坐标为(c, b),则△MF1F2 为直角三角形.在 Rt△MF1F2 中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即
4 4c2+ b2=|MF1|2.而|MF1|+|MF2|= 9 4 2 4c2+ b2+ b=2a, 9 3

2 3

b2 4 c2 a2-b2 整理得 3c2=3a2-2ab.又 c2=a2-b2,所以 3b=2a.所以 2= .∴e2= 2= 2 a 9 a a b2 5 5 =1- 2= ,∴e= . a 9 3
法二:设椭圆方程为

x2 y2 2 c2 4b2 + =1(a>b>0),则 M(c, b).代入椭圆方程,得 2+ 2=1, a2 b2 3 a 9b
c2 5 c 5 5 所以 2= ,所以 = ,即 e= . a 9 a 3 3

4



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