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江西省高安中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题(创新班)


江西省高安中学 2015-2016 学年度上学期期中考试

高一年级数学试题(创新班)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项)
2 1.已知集合 A={2,0,1,4}, B ? k k ? R, k ? 2 ? A, k ? 2 ? A ,则集合 B 中所有的

?

r />
?

元素之和为( A.2

) B.-2 C.0 D. 2 )

2.下列给出的同组函数中,表示同一函数的是(

(1) f ( x) ? x 2 和g ( x) ? 3 x 3 ; (2) f ( x) ? ?1, x ? 0 | x| 和g ( x) ? ? ; x ??1, x ? 0
B.(2) C. (1)、(3) D.(3)

(3) f ( x) ? 1和g ( x) ? x 0 .
A.(1)、 (2) 3.设 f,g 都是由集合 A 到 A 的映射,其对应法则如下表(从上到下) :

则 f [ g (1)] 的值为( A. 1 4.函数 A. ( ,1) 5.设 a ? ?? 1,?

) B. 2 的定义域为( B. ( ,∞) C. 3 ) D. ( ,1)∪(1,+∞) D. 4

C. (1,+∞)

? ?

1 1 1 ? , , ,1,2,3? ,则使幂函数 y ? x a 为奇函数且在 (0,??) 上单调递增的 2 3 2 ?
) D. 六棱锥 )

) A. 6 B.5 C. 4 D.3 6.若正棱锥底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( A.三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥
x

a 值的个数为(

7.已知 a ? 0, b ? 0 且 ab ? 1 ,则函数 f ( x) ? a 与 g ( x) ? ? logb x 的图象可能是(

A

B

C ) D.

D

8.设函数 f ( x ) ? f ( ) lg x ? 1 ,则 f (10) 的值为( A. 1 B. ?1 C. 10

1 x

1 10


9.一只蚂蚁从正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行 到达顶点 C1 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图(

A.①②

B. ①③

C. ②④

D. ③④

1 x 10. 已知 x0 是函数 f ( x ) ? 2 ? 的一个零点.若 x1 ? (1, x0 ), x2 ? ( x0 , ? ?) ,则 1-x
( ) A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0
2 ? ??m ? 2mn ? 1 m ? n ,设 2 n ? mn m ? n ? ?

11.对于实数 m, n 定义运算“ ? ”: m ? n ? ?

f ? x ? ? (2x ?1) ? ( x ?1) ,且关于 x 的方程 f ? x ? ? a 恰有三个互不相等的实数根
) x1 , x2 , x3 ,则 x1x2 x3 的取值范围是( 1 1 , 0) A. ( ? B. ( ? , 0) 32 16 C. (0,

1 ) 32

D. (0,

1 ) 16

12.奇函数 f(x)、偶函数 g(x)的图象分别如图 1、2 所示,方程 f(g(x))=0、 g(f(x) )=0 的实根个数分别为 a、b,则 a+b=( )

A.14

B.10

C.7

D.3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f ( x) ? log1 ( x ? x 2 ) 的单调递增区间是
2

? 1 x ? ( x ? 2) ,则 f (ln 3) ? 14.已知函数 f ( x ) ? ? 3 e ? ? f ( x ? 1) ( x ? 2)



15.已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,其中俯视图是顶角为

120? 的等腰三角形,则该三棱锥的侧视图面积为

.

16.关于 x 的一元二次方程 x 2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 在区间[0,2]上恰有唯一 根,则实数 m 的取值范围是 三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分,17 题 10 分,其余 5 题各 12 分.解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤) 17.(1)计算: log3 (2)设集合 A={x| 围. +lg25+lg4+ log7 7 2 + log2 3 ? log3 4 ; ≤2 ≤4},B={x|m﹣1<x<2m+1}.若 A∪B=A,求 m 的取值范
﹣x

18.设函数 f(x)=

,则:

(1)证明:f(x)+f(1﹣x)=1; (2)计算:f(

1 2 3 2014 )+f( )+f( )+?+f( ) . 2015 2015 2015 2015
2

19.设二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象过点(0,1)和(1,4) ,且对于任意的实数 x, 不等式 f(x)≥4x 恒成立. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)设 g(x)=kx+1,若 G(x)= 在区间[1,2]上是增函数,求实 数 k 的取值范围。

20.已知函数 f ( x) ? log a

1 ? mx , (a ? 0且a ? 1) 是奇函数. x ?1

⑴求 m 的值; ⑵判断 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上单调性并加以证明;

21.已知函数 f(x)=



+3(﹣1≤x≤2) .

(1)若 λ = 时,求函数 f(x)的值域; (2)若函数 f(x)的最小值是 1,求实数 λ 的值.

22.已知函数 f(x)= 2 和函数 g(x)=x|x﹣m|+2m﹣8,其中 m 为参数,且满足 m≤5. (1)若 m=2,写出函数 g(x)的单调区间(无需证明) ; (2)若方程 f(x)= 2 在 x∈[﹣2,+∞)上有唯一解,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意 x1∈[4,+∞) ,存在 x2∈(﹣∞,4],使得 f(x2)=g(x1)成立,求实 数 m 的取值范围.
m

x?m

江西省高安中学 2015-2016 学年度上学期期中考试

高一年级数学(创新班)试题答案
一、选择题 1-5.BBAAD 二、填空题 13. ( 6-10.DBACB 11-12.AB

1 ,1) 2

14. e

15.1

16. ( ?? ,? ] ? ?? 1?

3 2

三、简答题 17.(1) ; (2) (﹣∞,﹣2]∪[-1,2]

18.解答: (1)∵f(x)=



∴f(x)+f(1﹣x)=

+

=

+

=

+

=



(2)∵f(x)+f(1﹣x)=1, ∴设 f(

1 2 3 2014 )+f( )+f( )+?+f( )=m, 2015 2015 2015 2015 2014 2013 2 1 则 f( )+f( )+??+f( )+f( )=m, 2015 2015 2015 2015

两式相加得 2m=2014, 则 m=1007, 故答案为:1007

19.解答: (1)由题意



[Z-XK]

?(4 分)

(2)
2



由 G(x)在区间[1,2]上是增函数得 F(x)=﹣x +(k﹣2)x 在[1,2]上为增函数且恒 非负 故

20.⑴由 f (? x) ? f ( x) ? 0 ? m ? ?1 ① m ? 1 时, ② m ? ?1 时,

1 ? mx ? ?1 ? 0 ,舍去 x ?1

1? x ? 0 解得 x ? 1 或 x ? ?1 1? x x ?1 x ?1

? m ? ?1
⑵ f ( x) ? log a

任意设 x2 ? x1 ? 1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? log a

( x2 ? 1)( x1 ? 1) ( x2 ? 1)( x1 ? 1)

?1 ? x1 ? x2
?0 ? ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ?1 ( x2 ? 1)( x1 ? 1)

? 0 ? a ? 1 时, f ( x) 为 (1, ??) 增函数
a ? 1 时, f ( x) 为 (1, ??) 减函数

21.解答: (1)
设 当 时, ,得 g(t)=t ﹣2λ t+3(
2

(﹣1≤x≤2) ) . ( ) .

所以 所以 ,

, , ].
2 2



故函数 f(x)的值域为[ ,
2

(2)由(1)g(t)=t ﹣2λ t+3=(t﹣λ ) +3﹣λ ( ①当 令 ②当
2



时, ,得 时, ,或 ,不符合舍去;



, ,不符合舍去;

令﹣λ +3=1,得

③当 λ >2 时,g(t)min=g(2)=﹣4λ +7, 令﹣4λ +7=1,得 综上所述,实数 λ 的值为 ,不符合舍去. .

22.(1)m=2 时,



∴函数 g(x)的单调增区间为(﹣∞,1) , (2,+∞) , 单调减区间为(1,2) .

(2)由 f(x)=2 在 x∈[﹣2,+∞)上有唯一解, 得|x﹣m|=|m|在 x∈[﹣2,+∞)上有唯一解. 即(x﹣m) =m ,解得 x=0 或 x=2m, 由题意知 2m=0 或 2m<﹣2, 即 m<﹣1 或 m=0. 综上,m 的取值范围是 m<﹣1 或 m=0. (3)由题意可知 g(x)的值域应是 f(x)的值域的子集.
2 2

|m|



①m≤4 时,f(x)在(﹣∞,m)上单调递减,[m,4]上单调递增, ∴f(x)≥f(m)=1. g(x)在[4,+∞)上单调递增, ∴g(x)≥g(4)=8﹣2m, ∴8﹣2m≥1,即 .

②当 4<m≤5 时,f(x)在(﹣∞,4]上单调递减, 故 f(x)≥f(4)=2
m﹣4

,g(x)在[4,m]上单调递减,

[m,+∞)上单调递增, 故 g(x)≥g(m)=2m﹣8 ∴2
m﹣4

≤2m﹣8,

解得 5≤m≤6. 又 4<m≤5, ∴m=5 综上,m 的取值范围是


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