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1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 学案(人教B版必修2)


1.1.3

圆柱、圆锥、圆台和球
自主学习

学习目标 1.在复习圆柱、圆锥概念的基础上了解圆台和球的概念,并认识由这些几何体组成的 简单组合体. 2.会用旋转的方法定义圆柱、圆锥、圆台和球.会用集合的观点定义球. 3.理解这几种几何体的轴截面的概念和它在解决几何体时的重要作用,提高动手操作 能力. 自学导引 1.圆柱、圆锥、圆

台 (1)________、________、________可以看作分别以矩形的一边、直角三角形的一直角 边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯形分别 旋转一周而形成的曲面所围成的几何体. (2)旋转轴叫做所围成的几何体的______; 在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体 的______; 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的________; 不垂直于轴的边旋转 而成的曲面叫做这个几何体的 ________ ,无 论旋转到什么位置,这条 边都叫做侧面的 ________. 2.球 (1)球面可以看作一个半圆绕着__________所在的直线旋转一周所形成的曲面,球面围 成的几何体,叫做______. (2)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于______的点的集合. (3)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的________;被不经过球心的平面截得的圆 叫做球的________. (4)在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的 长度,我们把这个弧长叫做两点的____________. 3.组合体 由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做______. 对点讲练 知识点一 圆柱、圆锥、圆台的有关概念 例1 下列命题中正确的是( )

A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线 点评 此类题应以圆柱、圆锥、圆台的定义为基础进行判断,同时要结合各种旋转体的 结构特征,详细地分析,不可粗心大意.此类题在做的时候容易只注意到旋转的问题,而忽 视了以什么为旋转轴的问题,旋转轴不同则得到的旋转体也是不同的. 变式训练 1 下列说法: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;

③在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 知识点二 旋转体中有关元素的计算问题 例2 圆台侧面的母线长为 2a,母线与轴的夹角为 30° ,一个底面的半径是另一个底面

半径的 2 倍.求两底面的半径与两底面面积之和.

点评

解有关圆台的基本元素问题, 一般要画出圆台的轴截面或将圆台还原为圆锥, 有

关元素之间的关系就体现出来了. 变式训练 2 已知圆锥的底面半径为 r,高为 h,正方体 ABCD— A1 B1 C1 D1 内接于圆锥, 求这个长方体的棱长.

知识点三 球中有关元素的计算问题 例3

球面上有 M、N 两点,在过 M、N 的球的大圆上, MN 的度数为 90° ,在过点 M、N 的球的小圆上, MN 的度数 120° ,又点 M、N 两点间的距离为 3 cm,求球心与小圆圆心 的距离为多少?

变式训练 3

设地球的半径为 R,在北纬 45° 圈上有两个点 A、B, A 在西经 40° ,B 在

东经 50° ,求 A、B 两点间纬线圈的弧长及球面距离.

1.在解圆台问题时,常将圆台转化为圆锥问题,即化台为锥. 2.圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形,圆台的母线、高、上、下底面半径构 成直角梯形.解圆锥、圆台问题时,常归结为解此直角三角形或直角梯形. 3.小圆的圆心与球心连线垂直于该小圆所在平面.

课时作业 一、选择题 1.图①②③中的图形折叠后的图形分别是(

)

A.圆柱、圆锥、棱柱 C.圆台、球、棱锥 2.下列命题中不正确的是( )

B.圆柱、圆锥、棱锥 D.圆台、圆锥、棱柱

A.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,截面与底面之间的部分是圆台 B.过球面上两个不同的点,只能作一个大圆 C.以直角梯形垂直于底的腰所在的直线为旋转轴,另一腰和两底边旋转一周所围成的 几何体是圆台 D.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 3.圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为 5 cm 的正方形 ABCD,则圆柱侧 面上从 A 到 C 的最短距离为( ) A.10 cm B. 5 2 π +4 cm 2

C.5 2 cm D.5 π2 +1 cm 4.底面半径为 2 且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截,则截得 的截面圆的面积为( ) A.π B.2π C.3π D.4π 5.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

题 答

号 案

1

2

3

4

5

二、填空题 6.圆台上、下底面面积分别为 25π cm2 、64π cm2 ,高为 12 cm,这个圆台的母线长为 ________cm. 7.用不过球心 O 的平面截球 O,截面是一个球的小圆 O1 ,若球的半径为 4 cm,球心 O 与小圆圆心 O1 的距离为 2 cm,则小圆半径为________cm. 8.下列命题中:①用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫 棱台; ②棱台的各侧棱延长后一定相交于一点; ③圆台可以看作直角梯形绕与底边垂直的腰 所在直线旋转而成的;④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.正确命题的序号为 ________. 三、解答题

9.一个圆台的母线长为 12 cm,两底面面积分别为 4π cm 和 25π cm ,求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长.

2

2

10.一个圆锥的底面半径为 4,高为 12,在其中有一个高为 x 的内接圆柱. (1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S; (2)当 x 为何值时,S 最大.

【答案解析】 自学导引 1.(1)圆柱 圆锥 圆台 (2)轴 高 底面 侧面 母线 2.(1)它的直径 球 (2)定长 (3)大圆 小圆 (4)球面距离 3.组合体 对点讲练 例 1 C [A 错误,应为直角三角形绕其一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥.若绕 其斜边旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体. B 错误, 没有说明这两个平行截面的位置 关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况则是错误的.D 错误,通过圆台侧面 上一点,只有一条母线.] 变式训练 1 D [由母线的定义知②④正确,所以选 D.] 例2 解

设圆台上底面半径为 r,则下底面半径为 2r,如图所示,∠ASO=30° , 在 Rt△SO′A′中, r SA′

=sin 30° , ∴SA′=2r. 在 Rt△SOA 中, ∴SA=4r. 又 SA-SA′= AA′,即 4r-2r=2a,∴r=a. ∴S=S1 +S2 =πr2 +π(2r)2 =5πr2 =5πa2 . ∴圆台上底面半径为 a,下底面半径为 2a,两底面面积之和为 5πa . 变式训练 2 解
2

2r =sin 30° , SA

过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,如图所示. 设圆锥内接正方体的棱长为 x,则在轴截面中,正方体的对角面 A1 ACC1 的一组邻边的 长分别为 x 和 2x. 2x h-x = . 2r h 2rh ∴ 2hx=2rh-2rx,∴x= . 2r+ 2h 2rh 即圆锥内接正方体的棱长为 . 2r+ 2h 例 3 解 取 MN 的中点 P,连接 OP、O1P, ∵△VA1 C1 ∽△ VMN,∴

由已知∠MON=90° ,∠MO1 N=120° , 又 OM=ON,O1 M=O1 N, 可求 OP= ∴OO′= 3 1 ,O1 P= . 2 2

2 . 2 变式训练 3 解

设 45° 纬线圈的中心为 O1 ,地球中心为 O,如图所示, 则∠AO1 B=40° +50° =90° .

∵O1 O⊥圆 O1 所在平面, ∴OO1 ⊥O1 A,OO1 ⊥O1 B. ∵点 A,B 在北纬 45° 圈上, ∴∠OBO1 =∠OAO1 =45° . ∴O1 A=O1 B=OA· cos 45° = 2 R. 2

在 Rt△AO1 B 中,∵ AO1 = BO1 ,∴ AB= 2AO1 , ∴△AOB 为等边三角形,∴∠ AOB=60° . ∴A, B 两点间纬线圈的弧长为 l1 = 90π 2 2 · R= πR, 180 2 4 60πR πR = . 180 3

A, B 两点间球面距离为 l2 = 课时作业 1.B 2. B 3. B 4.A

r 1 [设截面圆半径为 r,由相似三角形的知识可知 = ,所以 r=1, 2 2 所以 S=πr2 =π. ] 5.A 6.3 17 7.2 3 8.①②③ 9.解

(1)圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD(如图). 由已知可得上底半径 O1 A=2 cm,下底半径 OB=5 cm. 又因为腰长为 12 cm, 所以高为 AM= 122 -?5-2?2 =3 15 (cm). (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为 l, 则由△SAO1 ∽△SBO 可得 ∴l=20 cm. l-12 2 = , l 5

即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm. 10.解 半径为 r, 根据圆柱和圆锥的图形特征可作出它们的轴截面图(如图所示),设圆柱的底面

则由三角形相似的性质可知 12-x r = , 12 4 x 解得:r=4- . 3 (1)圆柱的轴截面面积为 2 2 ?4-x?· S=2r· x=2· ? 3? x=-3x +8x,x∈(0,12); 2 2 (2)∵S=- x +8x,x∈(0,12), 3 2 2 2 2 ∴S=- (x -12x)=- (x-6) +24,x∈(0,12), 3 3 ∴当 x=6 时,S 最大为 24.


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