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2013年山东省聊城市中考数学试题及答案


2013 年聊城市初中学业考试数学试题
(满分 120 分,时间 120 分钟,不准使用计算) 一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1. ? ? 2 ? 的相反数是(
3

) . C. ?

A. ?6

B. 8

1

6

D.

1 8

主 视 图

左 视 图

2. PM 2.5 是指大气中直径 ? 0.0000025 米的颗粒物,将 0.0000025 用科学记数法表示为( C. 2.5 ? 10
?5

) .A. 0.25 ? 10 D. 2.5 ? 10

?5

B. 0.25 ? 10

?6

俯 视 图
第3题图

?6

3.右图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图,小立方块的个数是( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ) .
(A) 0 1

)个.

? 3 x ? 1 ? 2, 4.不等式组 ? 的解集在数轴上为( ?4 ? 2 x ? 0
5.下列命题中的真命题是( ) .

2

x x x x

(B)

0

1

2

A.三个角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D.正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形

(C)

0

1

2

(D)

0

1

2 第4题图

6.下列事件:①在足球赛中,弱队战胜强队;②抛掷一枚硬币,落地后正面朝上;③任取两个正整数,其和大 于 1;④长分别为 3、5、9 厘米的三条线段能围成一个三角形.其中确定事件的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )个.

7.把地球看成一个表面光滑的球体,假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝,然后把钢丝加长,使钢丝圈沿赤道处处高 出球面 16 厘米,那么钢丝大约需加长( A. 10
2

)厘米. D. 10
8

B. 10
2

4

C. 10

6

8.二次函数 y ? ax ? bx 的图象如图所示,那么一次函数 y ? ax ? b 的图象大致是( y y y y

) .

y

x
0

x

0

x
(A)

0

x
(B)

0

0

x
(D)

-1(C)

9.河堤横断面如图所示,堤高 BC=6 米,迎水坡 AB 的坡比为 1: 3 , 则 AB 的长为( A. 12 )米. C. 5 3 D. 6 3

B

B. 4 3

C

A

10.某校七年级共 320 名学生参加数学测试,随机抽取 50 名学生的成绩进行统计,其中 15 名学生的成绩达到 优秀.估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有( A. 50 B. 64 C. 90 D. 96 )人.

A

11.如图,点 D 是 ? ABC 的边 BC 上任一点,已知 AB=4,AD=2, ∠DAC=∠B.若 ? ABD 的面积为 a ,则 ? ACD 的面积为( A. a B. ) .

B
1 2 a
C. a

D

C

1

3

D.

2 5

a

y

12.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y ?

1 2

x 2 经过平移得到抛物线

y?

1 2

x 2 ? 2 x ,其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为( ) .
B. 4 C. 8 D. 16

0

x

A. 2

二、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分,只要求填写最后结果) 13.若 x1 ? ?1 是关于 x 的方程 x ? mx ? 5 ? 0 的一个根,则此方程的另一个根 x2 ? _____________ .
2

14.已知一个扇形的半径为 60 厘米,圆心角为 150 .用它围成一个圆锥的侧面,那么圆锥的底面半径为
_____________ 厘米.

0

15.某市举办“体彩杯”中学生篮球赛,初中男子组有市直学校的 A、B、C 三个队和县区学校的 D、E、F、G、 H 五个队.如果从 A、B、D、E 四个队与 C、F、G、H 四个队中各抽取一个队进行首场比赛,那么参加首场 比赛的两个队都是县区学校队的概率是 _____________ . 16.如图,在等边 ? ABC 中,AB=6,点 D 是 BC 的中点.将 ? ABD 绕点 A 旋转后得到 ? ACE,那么线段 DE 的长度为 _____________ . 17.如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点 O 出发,按向上、 向右、向下、向右的方向依次不断地移动,每次移动一个单位, 得到点 A1 ? 0,1? , A2 ?1,1? , A3 ?1, 0 ? , A4 ? 2, 0 ? , ? ,
A1

A

E

B

D
A6 A9

C
A10 A13

y
0

A2

A5

那么点 A4 n ?1 ( n 是自然数)的坐标为 _____________ .
A3 A4 A7 A8 A11 A12
-2-

x

三、解答题(本题共 8 个小题,共 69 分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 18. (本题满分 7 分)

C B

? x2 ? 4x ? 4 x ? x ?1 ? 计算: ? . ?? 2 x?2? x?2 ? x ?4
19. (本题满分 8 分)
0

A

E

D

如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠BCD= 90 ,BC=CD,CE⊥AD,垂足为 E,求证:AE=CE. 20. (本题满分 8 分) 小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛,两人各投了 10 次,下图是他们投标成绩的统计图.

平均数 小亮 小莹 7

中位数 7

众数 9

⑴根据图中信息填写下表:

⑵分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好.

21. (本题满分 8 分)夏季来临,天气逐渐炎热起来.某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了 10%,将某种 果汁饮料每瓶的价格下调了 5%. 已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费 7 元, 调价后买上述碳酸饮料 3 瓶和果 汁饮料 2 瓶共花费 17.5 元,问这两种饮料在调价前每瓶各多少元? 22. (本题满分 8 分)如图,一只猫头鹰蹲在一颗树 AC 的点 B 处,发现一只老鼠躲进短墙 DF 的另一侧,猫头 鹰的视线被短墙遮住.为了寻找这只老鼠,猫头鹰向上飞至树顶 C 处.已知点 B 在 AC 上,DF=4 米,短墙底部 D 与树的底部 A 的距离 AD=2.7 米,猫头鹰从 C 点观察 F 点的俯角为 53 ,老鼠躲藏处 M 距 D 点 3 米,且点 M 在 DE 上. (参考数据: sin 37 ? 0.60, cos 37 ? 0.80, tan 37 ? 0.75 ) .
0 0 0

0

C F

⑴猫头鹰飞至 C 处后,能否看到这只老鼠?为什么? ⑵要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米(精确到 0.1 米)?

B

A

D

G

23. (本题满分 8 分)如图,一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别相交于 A、B 两点,且与反比例函数 y ? ? 图象在第二象限交于点 C.如果点 A 的坐标为 ? 2, 0 ? ,B 是 AC 的中点. ⑴求点 C 的坐标; ⑵求一次函数的解析式.
C B 0 A

8 x

E



y

x

-3-

24. (本题满分 10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,AF 是⊙O 的切线,CD 是垂直于 AB 的弦, 垂足为 E,过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F,CD= 4 3 ,BE=2. 求证:⑴四边形 FADC 是菱形;⑵FC 是⊙O 的切线. 25. (本题满分 12 分)已知在 ? ABC 中,边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 20. ⑴写出 ? ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式,并求出面积为 48 时 BC 的长; ⑵当 BC 多长时, ? ABC 的面积最大?最大面积是多少?
C F

A

O E B D

⑶当 ? ABC 面积最大时,是否存在其周长最小的情形?如果存在,请说明理由,并求出其最小周长;如果不 存在,请给予说明.

参考答案
一、选择题:答案 BDBAC BACAD CB

11. 【解析】由已知∠DAC=∠B,∠ACD=∠BCA,∴ ? ABC∽ ? DAC,∴

S ?ABC S ?DAC

? AB ? ?? ? ? 4, ? DA ?

2

即 S ?ABC ? 4 S ?DAC ,∴ S ?ABD ? 3S ?DAC ,∴ S ?DAC ?

1 3

y
a.
D

12. 【解析】依据平移的定义及抛物线的对称性可得: 区域 D 的面积=区域 C 的面积=区域 B 的面积, ∴阴影面积=区域 A 的面积加上区域 D 的面积=正方形的面积 4. 二、填空题:答案 5 25
2

A 0 B C

x

0.375

3 3

? 2 n,1?

13. 【解析】把 x1 ? ?1 代入 x ? mx ? 5 ? 0 得: m ? ?4 ,由根与系数的关系得: x1 x2 ? ?5 ,∴ x2 ? 5 . 14. 【解析】依题意得: r? 360 =60 ? 150 ,解得: r ? 25 .
0 0

15. 【解析】依题意得:概率 P ?

1 2

?

3 4

?

3 8

? 0.375 .

16. 【解析】依题意知: ? ACE≌ ? ABD≌ ? ACD,∴ ? ADE 是等边三角形,∴ DE ? AD ? 3 3 . 17. 【解析】不难发现规律:动点的横坐标每变换 4 次就增加 2,纵坐标不变,故点 A4 n ?1 的坐标为 ? 2 n,1? . 三、解答题

? ? x ? 2 ?2 ?2 x ? 2 2 x ? x ?1 x ? x ?1 ? x ? 2 ? ? ?? ?? ? 18. 【解析】原式 ? ? . ? ?? ?? x ?1 ? ? x ? 2 ?? x ? 2 ? x ? 2 ? x ? 2 ? x ? 2 x ? 2 ? x ? 2 x ? 2 x ? 1 ? ?
-4-

19. 【证明】连接 BD、AC,∵BC=CD,∠BCD= 90 ,∴ ? BCD 是等腰直角三角形,∴∠CBD= 45 ,
0 0

∵∠A=∠BCD= 90 ,∴A、B、C、D 四点共圆, ∴∠CAE=∠CAD=∠CBD= 45 , 又∵CE⊥AD,∴ ? ACE 是等腰直角三角形,∴AE=CE. 【法二】作 BF⊥CE 于 F,∵∠BCF+∠DCE= 90 ,∠D+∠DCE= 90 ,
0 0 0

0

C B A D

E

C B A

∴∠BCF=∠D,又 BC=CD,∴Rt ? BCF≌Rt ? CDE,∴BF=CE, 又∠BFE=∠AEF=∠A= 90 ,∴四边形 ABFE 是矩形,∴BF=AE,
0

F E D

因此 AE=CE. 20. 【解析】⑴ 小亮 小莹

平均数 7 7

中位数 7 7.5

众数 7 9

⑵平均数相等说明:两人整体水平相当,成绩一样好;小莹的中位数大说明:小莹的成绩比小亮好. 21. 【解析】设调价前碳酸饮料每瓶 x 元,果汁饮料每瓶 y 元,依题意得:

? x ? y ? 7, ? x ? 3, ?19 x ? 19 y ? 7 ? 19, 即? 解得: ? ? ? y ? 4, ? 33 x ? 19 y ? 175, ? 3 ?1 ? 10% ? x ? 2 ?1 ? 5% ? y ? 17.5,
答:调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为 3 元,这种果汁饮料每瓶的价格为 4 元. 22. 【解析】⑴依题意得:∠AGC= 53 ,∠GFD=∠GCA= 37 , ∴DG=DF tan 37 =3 米=DM,因此这只猫头鹰能看到这只老鼠;
0 0 0

C B F

A

D

G

E

⑵ ∵AG=AD+DG=2.7+3=5.7,∴CG=AG ? sin 37 =9.5(米) ,因此猫头鹰至少要飞 9.5 米.
0

23. 【解析】⑴作 CD⊥ x 轴于 D,则 CD∥BO, ∵B 是 AC 的中点,∴O 是 AD 的中点,∴点 D 的横坐标为﹣2, 把 x ? ?2 代入到 y ? ?

y
C B D0 A

8 x

中,得: y ? 4 ,因此点 C 的坐标为 ? ? 2, 4 ? ;

⑵ 设一次函数为 y ? ax ? b ,由于 A、C 两点在其图象上,

x

∴?

? 0 ? 2 a ? b, ? 4 ? ?2 a ? b,

解得: ?

? a ? ? 1, ? b ? 2,

因此一次函数的解析式为 y ? ? x ? 2 .

-5-

A F

24. 【证明】⑴连接 OC, 依题意知:AF⊥AB,又 CD⊥AB,∴AF∥CD, 又 CD∥AD,∴四边形 FADC 是平行四边形,

O C E B D F

A

由垂径定理得:CE=ED= CD ? 2 3

1

O C E B D

2

设⊙O 的半径为 R,则 OC=R,OE=OB﹣BE=R﹣2, 在 ? ECO 中,由勾股定理得: R 2 ? ? R ? 2 ? ? 2 3
2

?

? ,解得:R=4,
2

∴AD=

AE 2 ? DE 2 ? 6 2 ? 2 3

?

?

2

? 4 3 ,∴AD=CD,因此平行四边形 FADC 是菱形;
0

⑵ 连接 OF,由⑴得:FC=FA,又 OC=OA,FO=FO,∴ ? FCO≌ ? FAO,∴∠FCO=∠FAO= 90 , 因此 FC 是⊙O 的切线. 25 . 解 析 】 ⑴ 依 题 意 得 : y ? 【

1 2

x ? 20 ? x ? ? ?

1 2

x 2 ? 10 x ? 0 ? x ? 20 ? , 解 方 程 4 8 ? ?

1 2

x2 ? 1 0 得 : x

x1 ? 12, x2 ? 8 ,∴当 ? ABC 面积为 48 时 BC 的长为 12 或 8;
⑵ 由⑴得: y ? ?

B'

1 2

x 2 ? 10 x ? ?

1 2

? x ? 10 ?

2

? 50 ,

∴当 x ? 10 即 BC=10 时, ? ABC 的面积最大,最大面积是 50; ⑶ ? ABC 的周长存在最小的情形,理由如下: 由⑵可知 ? ABC 的面积最大时,BC=10,BC 边上的高也为 10, 过点 A 作直线 L 平行于 BC,作点 B 关于直线 L 的对称点 B ' , 连接 B ' C 交直线 L 于点 A ' ,再连接 A ' B, AB ' ,

A'

A

L

B
则由对称性得: A ' B ' ? A ' B, AB ' ? AB , ∴ A ' B ? A ' C ? A ' B '? A ' C ? B ' C ,

C

当点 A 不在线段 B ' C 上时,则由三角形三边关系可得: L ? AB ? AC ? BC ? AB '? AC ? BC ? B ' C ? BC , 当点 A 在线段 B ' C 上时,即点 A 与 A ' 重合,这时 L ? AB ? AC ? BC ? A ' B '? A ' C ? BC ? B ' C ? BC , 因此当点 A 与 A ' 重合时, ? ABC 的周长最小; 这时由作法可知: BB ' ? 20 ,∴ B ' C ?

20 2 ? 10 2 ? 10 5 ,∴ L ? 10 5 ? 10 ,

因此当 ? ABC 面积最大时,存在其周长最小的情形,最小周长为 10 5 ? 10 .
-6-


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