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2013高考数学 解题方法攻略 不等式 理


不等式问题的题型与方法
一.复习目标: 1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简 单不等式的解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能 力; 2.掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不 等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式; 3.通过复习不等式的性质及常

用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等), 使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题; 4.通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等 式的能力; 5.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题. 6.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析 几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能 力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意 识. . 二.考试要求: 1.理解不等式的性质及其证明。 2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会 简单的应用。 3.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4.掌握简单不等式的解法。 5.理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。 。 三.教学过程: (Ⅰ)基础知识详析 1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依 据,方 程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互 相转化.在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等

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式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、 形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰. 2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质 及函 数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想, 分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的 解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的 不等式 化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系, 对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰.通过复习,感悟到不等式的 核心问题是不等式的同解变形,能否正确的得到不等式的解集,不等式同解变形的理论起了 重要的作用. 4.比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法,比较法的一般步骤是:作差(商)→ 变形 →判断符号(值). 5.证明不等式的方法灵活多样,内容丰富、技巧性较强,这对发展分析综合能力、正逆 思维 等,将会起到很好的促进作用.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内 在联系,选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟 知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系 列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因”,后者是“由因导果”,为沟通联系的途径, 证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的. 6.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等 式的 基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证 法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点. 7.不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式 应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通, 起到了很好的促进作用.在解决问题时,要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适
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当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串 在整个中学数学之中.诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域 的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等 式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。 8.不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类:一类是建立不等 式、解不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时, 要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可,有时需要适当拼凑,使之符合这三个条 件.利用不等式解应用题的基本步骤:10 审题,20 建立不等式模型,30 解数学问题,40 作答。 9.注意事项: ⑴解不等式的基本思想是转化、化归,一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或 一元二次不等式(组)来求解, 。 ⑵解含参数不等式时,要特别注意数形结合思想,函数与方程思想,分类讨论思想的录 活运用。 ⑶不等式证明方法有多种,既要注意到各种证法的适用范围,又要注意在掌握常规证法 的基础上,选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。 ⑷根据题目结构特点,执果索因,往往是有效的思维方法。 1.函数 y ?
log 1 ( x ? 1) 的定义域为
2 2





A. ?

?

2 ,?1 ? 1,

? ?

2

?

B. ( ? 2 ,?1) ? (1, 2 ) D. ( ?2,?1) ? (1,2)

C. ?? 2,?1? ? ?1,2? 答案:A 2.不等式 1 ? x ? 1 ? 3 的解集为 A. ?0,2 ? 答案:D 3.设函数 f ( x ) ? ? ( ) A. ?? ?,?2? ? ?0,10?
?( x ? 1) 2 , x ? 1 ? ?4 ? ? x ? 1, x ? 1



) C. ?? 4,0 ? D. ?? 4,?2 ? ? (0,2)

B. ?? 2,0 ? ? ( 2,4)

,则使得 f ( x ) ? 1 的自变量 x 的取值范围为

B. ?? ?,?2? ? ?0,1?
-3-

C. ?? ?,?2? ? ?1,10? 答案:A

D. [?2,0] ? ?1,10?

4.某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左.右两侧与后侧 内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少 时?蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少? 分析:本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题,应用不等式等基础知识和方法解决问题 的能力. 解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab=800. 蔬菜的种植面积
S ? ( a ? 4)(b ? 2) ? ab ? 4b ? 2a ? 8 ? 808 ? 2( a ? 2b).

2

所以 S ? 808 ? 4 2ab ? 648(m 2 ). 当 a ? 2b, 即a ? 40(m), b ? 20(m)时, S 最大值 ? 648(m ).
2

答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面 积为 648m2. 5.设集合 P={1,2,3,4},Q={ x A.{1,2} 答案:A 6 . 函 数 ( ) B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19
f ( x) ? x ? 3x ? 1
3

x ? 2, x ? R

},则 P∩Q 等于 (

) D. {-2,-1,0,1,2}

B. {3,4}

C. {1}

在 闭 区 间 [-3 , 0] 上 的 最 大 值 、 最 小 值 分 别 是

A.1,-1 答案:C 7.设函数
f ( x) ? ? x 1? x

( x ? R)

,区间 M=[a,b](a<b),集合 N={ y y ? ( )

f ( x ), x ? M

},则使 M=N

成立的实数对(a,b)有 A.0 个 答案:A B.1 个

C.2 个

D.无数多个

8.二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4
-4-

y

6

0

-4

-6

-6

-4

0

6

则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是_______________________. 答案: (??,?2) ? (3,??) 9.已知函数
f ( x )( x ? R ) 满足下列条件:对任意的实数 x1,x2 都有
2

λ ( x1 ? x 2 )

? ( x1 ? x 2 )[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )]



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x 2

,其中 λ 是大于 0 的常数.
f ( a 0 ) ? 0 和 b ? a ? λf ( a ) ? a 0 ,使得 f (b0 ) ? 0 ;
2

设实数 a0,a,b 满足 (Ⅰ)证明 λ ? 1 ,并且不存在 b0 (Ⅱ)证明 (b ? a 0 ) 2 (Ⅲ)证明 [ f (b)] 2
2

? (1 ? λ )(a ? a 0 )
2 2



? (1 ? λ )[ f ( a )]

.

分析:本题主要考查函数、不等式等基本知识,以及综合运用数学知识解决问题的能力。 证法一: (I)任取 x1 , x 2 ? R, x1 ? x 2 , 则由 ? ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 )[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )]
2

和 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?| x1 ? x 2 |



可知 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 )[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ?| x1 ? x 2 | ? | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?| x1 ? x 2 | 2 , 从而 ? ? 1 . 假设有 b0 ? a 0 , 使得f (b0 ) ? 0, 则由 ①式知
0 ? ? ( a 0 ? b0 ) ? ( a 0 ? b0 )[ f ( a 0 ) ? f (b0 )] ? 0矛盾.
2

∴不存在 b0 ? a 0 , 使得f (b0 ) ? 0. (II)由 b ? a ? ?f (a ) 可知
2 2 2


2 2

(b ? a 0 ) ? [ a ? a 0 ? ?f ( a )] ? ( a ? a 0 ) ? 2? ( a ? a 0 ) f ( a ) ? ? [ f ( a )]

④ ⑤

由 f (a 0 ) ? 0和 ①式,得 (a ? a 0 ) f (a ) ? (a ? a 0 )[ f (a ) ? f (a 0 )] ? ? (a ? a 0 ) 2 由 f (a 0 ) ? 0 和②式知, [ f (a )] 2 ? [ f (a ) ? f (a 0 )] 2 ? (a ? a 0 ) 2 ⑥

由⑤、⑥代入④式,得 (b ? a 0 ) 2 ? (a ? a 0 ) 2 ? 2?2 (a ? a 0 ) 2 ? ?2 (a ? a 0 ) 2
? (1 ? ? )(a ? a 0 )
2 2

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(III)由③式可知 [ f (b)] ? [ f (b) ? f (a ) ? f (a )]
2 2

2

? [ f (b) ? f ( a )] ? 2 f ( a )[ f (b) ? f ( a )] ? [ f ( a )]
? (b ? a ) ? 2 ?
2

2

b?a

?
2

[ f (b) ? f ( a )] ? [ f ( a )]

2

(用②式)
2

? ? [ f ( a )] ?
2 2

?
2

(b ? a )[ f (b) ? f ( a )] ? [ f ( a )]
2 2

? ? [ f (a) ?
2 2

?

? ? ? (b ? a ) ? [ f ( a )]
2 2 2

(用①式)

? ? [ f ( a )] ? 2? [ f ( a )] ? [ f ( a )]
2 2

? (1 ? ? )[ f ( a )]
2

2

证法二: 题目中涉及了八个不同的字母参数 a, b, a 0 , b0 , x, x1 , x 2 , ? 以及它们的抽象函数值
f (*) 。参数量太多,让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“消

元”——把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示,然而再进行运 算证明。“消元”的模式并不难唯一,这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想,供参考。 题设 中两个主要条 件是关于 x1 ? x 2 与 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 的齐次式。而点 ( x1 , f ( x1 )) 、
( x 2 , f ( x 2 )) 是函数图象上的两个点, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) / x1 ? x 2 是连接这两点的弦的斜率。若欲

证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示,则可以借助斜率进行“整体消元”。 设 x1 , x 2 为不相等的两实数,则 ( x1 ? x 2 ) ? 0, | x1 ? x 2 |? 0 由题设条件可得:
2

0?? ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

和|

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

|? 1 。

令k ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2



则对任意相异实数 x1 , x 2 ,有 0 ? ? ? k 及 | k |? 1 ,即 0 ? ? ? k ? 1 。 由此即得 ? ? 1 ; 又对任意 x1 ? x 2 有 k ? 0 , 得函数 f (x) 在 R 上单调增, 所以函数 f (x) 是 R 上的单调增函数。 如果 b0 ? a 0 ,则 f (b0 ) ? f (a 0 ) ,因为 f (a 0 ) ? 0 ,所以 f (b0 ) ? 0 。即不存在 b0 ? a 0 , 使得 f (b0 ) ? 0 。于是, (Ⅰ)的结论成立。 考虑结论(Ⅱ) :
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因为 b ? a ? ?f (a ) ,故原不等式为
[ a ? a 0 ? ?f ( a )] ? (1 ? ? )(a ? a 0 ) ;
2 2 2

当 a ? a 0 时,左右两边相等; 当 a ? a 0 时, (a ? a 0 ) 2 ? 0 ,且 f (a 0 ) ? 0 ,则原不等式即为:
[ a ? a 0 ? ?f ( a ) ? ?f ( a 0 )] (a ? a0 )
2 2

? 1? ? ,
2

令k ?

f (a) ? f (a0 ) a ? a0

,则原不等式化为 (1 ? ?k ) ? 1 ? ? ,即为 ? (1 ? k ) ? 2k 。
2 2 2

因为 0 ? ? ? k ? 1 ,则 ?k 2 ? ? ? k ,所以 ? ? ?k 2 ? 2k 成立,即(Ⅱ)中结论成立。 再看结论(Ⅲ) : 原不等式即 [ f (b)] ? [ f (a )] ? ? [ f (a )] ? 0 ,
2 2 2 2

即 [ f (b) ? f (a )] ? [ f (b) ? f (a ) ? 2 f (a )] ? ? [ f (a )] ? 0 ,注意到 b ? a ? ?f (a ) ,则
2 2

则原不等式即为 [ f (b) ? f (a )] ? [ f (b) ? f (a ) ? 2(b ? a ) / ? ] ? (b ? a ) ? 0 b ? a ? ??f (a ) ,
2



f (b) ? f ( a ) b?a

?[

f (b) ? f ( a ) b?a
2

?

2

?

] ? 1 ? 0 ,令 k ?

f (b) ? f ( a ) b?a

,则原不等式即化为
2

k ( k ? 2 / ? ) ? 1 ? 0 ,即 ?k ? ? ? 2k ,因为 0 ? ? ? k ? 1 ,则 ?k

? ? ? k ,所以

?k ? ? ? 2k 成立,即(Ⅲ)的结论成立。
2

在一般的“消元”方法中,本题三个小题中不等关系的证明过程差异较大。尤其是(Ⅱ)与 (Ⅲ) ,许多尖子学生证明了(Ⅱ)的结论而不能解决(Ⅲ) 。 借 助 斜率 k“整体 消元 ”的 想 法把 (Ⅱ ) (Ⅲ )中 的 不等 关系 都 转化 为相 同 的不 等关 系 、
?k ? ? ? 2k ,然后由条件 0 ? ? ? k ? 1 推证,有独到之处。
2

(Ⅲ)范例分析

b)∈M,且对 M 中的其它元素(c,d),总有 c≥a,则 a=____. 分析:读懂并能揭示问题中的数学实质,将是解决该问题的突破口.怎样理解“对 M 中的其它 元素(c,d),总有 c≥a”?M 中的元素又有什么特点?

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解:依题可知,本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3)· |y-1|+(y+3)

(2)当 1≤y≤3 时, 所以当 y=1 时,xmin=4.

说明:题设条件中出现集合的形式,因此要认清集合元素的本质属性,然后结合条件,揭示 其 数 学 实 质 . 即 求 集 合 M 中 的 元 素 满 足 关 系 式

例 2.解关于 x 的不等式: x x ? a ?

2a 9

2

?a ? 0?

分析:本例主要复习含绝对值不等式的解法,分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a 进行 讨论,而是去绝对值时必须对末知数进行讨论,得到两个不等式组,最后对两个不等式组的 解集求并集,得出原不等式的解集。 解:当 x ? a时,不等式可转化为?
?x ? a ?x ? a 即? 2 2 ?9 x? x ? a ? ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0
2

?a ? x ?

3 ? 17 b

a

?x ? a ?x ? a 当x ? a时不等式可化为? 即? 2 2 2 ?ax ( a ? x ) ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0
?x ? a 3 或 2a 3 a 3 ?x?a

故不等式的解集为( ??,

?? ?

? 2a 3 ? 17 ? , a? 。 6 ? 3 ?

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例 3. 己知三个不等式:① 2 x ? 4 ? 5 ? x



x?2 x ? 3x ? 2
2

?1

③ 2 x 2 ? mx ? 1 ? 0

(1)若同时满足①、②的 x 值也满足③,求 m 的取值范围; (2)若满足的③ x 值至少满足①和②中的一个,求 m 的取值范围。 分析:本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法,以及数形结合思想,解 本题的关键弄清同时满足①、②的 x 值的满足③的充要条件是:③对应的方程的两根分别在

?? ?,0? 和 ?3,??) 内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系,在解决
问题的过程中,要适时地联系它们之间的内在关系。 解:记①的解集为 A,②的解集为 B,③的解集为 C。 解①得 A=(-1,3) ;解②得 B= ?0,1) ? (2,4 ?,? A ? B ? ?0,1) ? (2,3) (1) 因同时满足①、②的 x 值也满足③,A ? B ? C 设 f ( x) ? 2 x ? mx ? 1 ,由 f (x) 的图象可知:方程的小根小于 0,大根大于或等于 3 时,
2

即可满足 A ? B ?? ?

? f (0) ? 0 ?? 1 ? 0 17 即? ?m ? ? 3 ? f (3) ? 0 ?3m ? 17 ? 0

(2) 因满足③的 x 值至少满足①和②中的一个,? C ? A ? B, 而A ? B ? (?1,4 ? 因 此 C ? (?1,4 ?? 方程2 x ? mx ? 1 ? 0 小根大于或等于-1,大根小于或等于 4,因而
2

? ? f ( ?1) ? 1 ? m ? 0 ? 31 ? ? m ?1 ? f ( 4) ? 4m ? 31 ? 0, 解之得 ? 4 ? m ? ?4 ?? 1 ? ? 4 ?

说明:同时满足①②的 x 值满足③的充要条件是:③对应的方程 2x +mx-1=0 的两根分别在 (-∞,0)和[3,+∞)内,因此有 f(0)<0 且 f(3)≤0,否则不能对 A∩B 中的所有 x 值满足条件.不 等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的,在解决问题的过程中,要适时 地联系它们之间的内在关系.

2

例 4.已知对于自然数 a,存在一个以 a 为首项系数的整系数二次三项式,它有两个小于 1 的 正根,求证:a≥5.
-9-

分析:回忆二次函数的几种特殊形式.设 f(x)=ax +bx+c(a≠0).①
2

顶点式.f(x)=a(x-x 0 ) +f(x 0 )(a≠0).这里(x 0 ,f(x 0 ))是二次函数的顶点,x 0 = ?
2

))、(x 2 ,f(x 2 ))、(x 3 ,f(x 3 ))是二次函数图象上的不同三点,则系数 a,b,c 可由

证明:设二次三项式为:f(x)=a(x-x 1 )(x-x 2 ),a∈N. 依题意知:0<x 1 <1,0<x 2 <1,且 x 1 ≠x 2 .于是有 f(0)>0,f(1)>0. 又 f(x)=ax -a(x 1 +x 2 )x+ax 1 x 2 为整系数二次三项式, 所以 f(0)=ax 1 x 2 、f(1)=a· 1 )(1-x 2 )为正整数.故 f(0)≥1,f(1)≥1. (1-x 从而 f(0)·f(1)≥1. ①
2

另一方面,

且由 x 1 ≠x 2 知等号不同时成立,所以

由①、②得,a 2 >16.又 a∈N,所以 a≥5. 说明:二次函数是一类被广泛应用的函数,用它构造的不等式证明问题,往往比较灵活.根 据题设条件恰当选择二次函数的表达形式,是解决这类问题的关键. 例 5.设等差数列{a n }的首项 a1>0 且 Sm=Sn(m≠n).问:它的前多少项的和最大? 分析:要求前 n 项和的最大值,首先要分析此数列是递增数列还是递减数列.

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解:设等差数列{a n }的公差为 d,由 Sm=Sn 得

ak≥0,且 ak+1<0.

(k∈N).

说明:诸多数学问题可归结为解某一不等式(组).正确列出不等式(组),并分析其解在具体问 题的意义,是得到合理结论的关键. 例 6.若二次函数 y=f(x)的图象经过原点,且 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求 f(-2)的范围. 分析:要求 f(-2)的取值范围,只需找到含人 f(-2)的不等式(组).由于 y=f(x)是二次函数,所以 应先将 f(x)的表达形式写出来.即可求得 f(-2)的表达式,然后依题设条件列出含有 f(-2)的不等 式(组),即可求解. 解:因为 y=f(x)的图象经过原点,所以可设 y=f(x)=ax2+bx.于是

解法一(利用基本不等式的性质) 不等式组(Ⅰ)变形得

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(Ⅰ)所以 f(-2)的取值范围是[6,10]. 解法二(数形结合)

建立直角坐标系 aob,作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域,如图 6 中的阴影部分.因为 f(-2)=4a-2b,所以 4a-2b-f(-2)=0 表示斜率为 2 的直线系.如图 6,当直线 4a-2b-f(-2)=0 过点 A(2, B(3, 1), 1)时, 分别取得 f(-2)的最小值 6, 最大值 10. f(-2)的取值范围是: 即 6≤f(-2)≤10. 解法三(利用方程的思想)

又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4, 所以 3≤3f(-1)≤6. ① ②

①+②得 4≤3f(-1)+f(1)≤10,即 6≤f(-2)≤10. 说明:(1)在解不等式时,要求作同解变形.要避免出现以下一种错解:

2b,8≤4a≤12,-3≤-2b≤-1,所以 5≤f(-2)≤11. (2)对这类问题的求解关键一步是,找到 f(-2)的数学结构,然后依其数学结构特征,揭示 其代数的、几何的本质,利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法,从不同
- 12 -

角度去解决同一问题.若长期这样思考问题,数学的素养一定会迅速提高.

例 7.(2002 江苏)己知 a ? 0, 函数f ( x) ? ax ? bx ,
2

(1) 当b ? 0时,若对任意x ? R都有f ? x ? ? 1, 证明:a ? 2 b ; (2) 当b ? 1时 ,证明:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是 b ? 1 ? a ? 2 b ;
时, (3) 当0 ? b ? 1 讨论:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件。
a 2b a 2b a
2

证明: (1)依题意,对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 1.? f ( x) ? ?b( x ?

) ?
2

a

2

4b

?f(

)?

? 1,? a ? 0, b ? 0 ? a ? 2 b .

4b
2 2

(2)充分性:? b ? 1, a ? b ? 1, 对任意x ? ?0,1?, 可推出 : ax ? bx ? b( x ? x ) ? x
? ? x ? ?1,即ax ? bx ? ?1; 又 ? b ? 1, a ? 2 b , 对任意x ? ?0,1?, 可知
2

ax ? bx ? 2 b x ? bx ? ( 2 b x ? bx ) max ? 2 b ?
2 2 2

1 b

?b?(

1 b

) ? 1,即ax ? bx ? 1
2 2

? ?1 ? f ( x ) ? 1

必要性:对任意 x ? ?0,1?, f ( x) ? 1,? f ( x) ? ?1,? f (1) ? ?1
即 a ? b ? ? 1 ? a ? b ? 1; 又 ? b ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 ? ? 1, 由 f ? x ? ? 1知 f ? ??1 b ? b ?



a b

? 1 ? 1,? a ? 2 b , 故b ? 1 ? a ? 2 b

综上, 对任意x ? ?0,1?, f ( x ) ? 1 的充要条件是b ? 1 ? a ? 2 b

(3)? a ? 0,0 ? b ? 1时, 对任意x ? ?0,1?, f ( x) ? ax ? bx 即 f ( x) ? ?1; 又由f ( x) ? 1知f (1) ? 1,即a ? b ? 1,即a ? b ? 1

2

? ?b ? ?1

而当 a ? b ? 1时, f ( x) ? ax ? bx ? (b ? 1) x ? bx ? ?b( x ?
2 2

b ?1 2b

) ?
2

(b ? 1) 4b

2

? 0 ? b ? 1,?

b ?1 2b

?1

- 13 -

? 在?0,1?上, y ? (b ? 1) x ? bx 是增函数, 故在x ? 1 时取得最大值1? f ( x ) ? 1
2

?当a ? 0,0 ? b ? 1时, 对任意x ? ?0,1?, f ( x) ? 1 的充要条件是a ? b ? 1

例 8.若 a>0,b>0,a3+b3=2.求证 a+b≤2,ab≤1. 分析:由条件 a3+b3=2 及待证的结论 a+b≤2 的结构入手,联想它们之间的内在联系,不妨用 作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法,架起沟通二者的“桥梁”. 证法一 (作差比较法)

因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以 (a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0, 即 (a+b)3≤23.

证法二

(平均值不等式—综合法)

因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以

所以 a+b≤2,ab≤1. 说明:充分发挥“1”的作用,使其证明路径显得格外简捷、漂亮. 证法三 (构造方程)

设 a,b 为方程 x2-mx+n=0 的两根.则

因为 a>0,b>0,所以 m>0,n>0 且 Δ=m2-4n≥0.① 因此 2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n],所以

- 14 -

所以 a+b≤2. 由 2≥m 得 4≥m2,又 m2≥4n,所以 4≥4n,即 n≤1.所以 ab≤1. 说明:认真观察不等式的结构,从中发现与已学知识的内在联系,就能较顺利地找到解 决问题的切入点. 证法四 (恰当的配凑)

因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b), 于是有 6≥3ab(a+b),从而 8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3, 所以 a+b≤2.(以下略)

即 a+b≤2.(以下略) 证法六 (反证法)

假设 a+b>2,则 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab). 因为 a3+b3=2,所以 2>2(4-3ab),因此 ab>1. ①

另一方面,2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)· ab>2ab, 所以 ab<1. 于是①与②矛盾,故 a+b≤2.(以下略)
- 15 -



说明:此题用了六种不同的方法证明,这几种证法都是证明不等式的常用方法.

例 9.设函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与两直线 y=x,y=-x,均不相

分析:因为 x∈R,故|f(x)|的最小值若存在,则最小值由顶点确定,故设 f(x)=a(x-x0)2+f(x0). 证明:由题意知,a≠0.设 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),则 又二次方程 ax2+bx+c=± 无实根,故 x Δ1=(b+1)2-4ac<0, Δ2=(b-1)2-4ac<0. 所以(b+1)2+(b-1)2-8ac<0,即 2b2+2-8ac<0,即 b2-4ac<-1,所以|b2-4ac|>1.

说明:从上述几个例子可以看出,在证明与二次函数有关的不等式问题时,如果针对题设条 件,合理采取二次函数的不同形式,那么我们就找到了一种有效的证明途径.

例 10. (2002 理)某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车 保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超 过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 解:设 2001 年末的汽车保有量为 a1 ,以后每年末的汽车保有量依次为 a2 , a3 .... ,每年新增汽 车 x 万辆。

- 16 -

由题意得 an ?1 ? 0.94an ? x即an ?1 ?
an ? (30 ? x 0.06 )0.94
n ?1

x 0.06

? 0.94( an ?

x 0.06

)

?

x 0.06 30 1 ? 0.94
n ?1

令a n ? 60, 解得x ? (30 ?

) ? 0.06

上式右端是关于n的减函数, 且当n ? ?时, 上式趋于3.6 故要对一切自然数n满足an ? 60, 应有x ? 3.6,即每年新增汽车不应超过3.6万辆

例 11.已知奇函数 f (x)在( ? ?, ? 0, ?)上有定义,在(0, ?)上是增函数, 0)( ? ?
f (1) ? 0, 又 知函数 g (? ) ? sin ? ? m cos ? ? 2m,? ? [0,
2

?
2

], 集合

M ? m 恒有g (? ) ? 0 , N ? m 恒有f ( g (? )) ? 0 , 求M ? N

?

?

?

?

分析:这是一道比较综合的问题,考查很多函数知识,通过恰当换元,使问题转化为二次函 数在闭区间上的最值问题。
解 ? 奇数函数f ( x )在(0, ?)上是增函数, f(x )在( ? ?, ? ? 0)上也是增函数。 ? g (? ) ? 0 ? g (? ) ? 0 又由f (1) ? 0得f ( ?1) ? ? f (1) ? 0 ? 满足 ? 的条件是? ? f ( g (? ) ? 0 ? f ( ?1) ? g (? ) ? ?1 即g (? ) ? ?(? ? 0, ] 1 ( ),即 sin ? ? m cos ? ? 2m ? ?1, 2
2

?

也即 ? cos ? ? mcor? ? 2m ? 2 ? 0 ?
2

令 t ? cos? , 则t ? [0,1], 又设?(t ) ? ?t ? mt ? 2m ? 2,0 ? t ? 1
2

1] 要使 ? (t ) ? 0, 必须使? (t )在[0,内的最大值小于零
m ?m ? 0 ? 0即m ? 0时,? (t ) max ? ? (0) ? ?2m ? 2, 解不等式组? 知m ? ? 2 ?? 2 m ? 2 ? 0

10 当

2 当0 ?
0

m 2

? 1即0 ? m ? 2时, ? (t ) max ?

m ? 8m ? 8
2

,

4

?0 ? m ? 2 ? 解不等式组? m 2 ? 8m ? 8 ? 0得4 ? 2 2 ? m ? 2 ? 4 ?

30 当

m

?m ? 2 ? 1即m ? 2时,? (t ) max ? ? m ? 1, 解不等式组? 2 ?? m ? 1 ? 0得m ? 2

综上: M ? N ? m m ? 4 ? 2 2

?

?
- 17 -

例 12.如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧道全 长 2.5 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。 (1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 米,则应如何设计拱高 h 和拱 宽 l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小? (半个椭圆的面积公式为 s= 高, 2 ? 1.414 , 7 ? 2.646 本题结果均精确到 0.1 米) 分析:本题为 2003 年上海高考题,考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。 解:1)建立如图所示直角坐标系,则 P(11,4.5) 椭圆方程为:
x a
2 2

?
4

底面积乘以 lh, 柱体体积为:

?

y b

2 2

?1

将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程得
a? 44 7 7 , 此时l ? 2a ? 88 7 7 ? 33.3 故隧道拱宽约为 33.3 米

2)由椭圆方程
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1得

11 a

2

2

?

4.5 b
2

2

?1

?

11 a

2

?

4.5 b
2

?

2 ? 11 ? 4.5 ab 99? 2 9 2 2

,? ab ? 99 11 a
2

?s ?

?
4

lh ?

?ab
2

?

,当s最小时有

2

?

4.5 b
2

2

?

1 2

? a ? 11 2 , b ?

此时l ? 2a ? 31.1, h ? b ? 6.4

故当拱高约为 6.4 米,拱宽约为 31.1 米时,土方工程量最小.

例 13.已知 n∈N,n>1.求证 分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题,但不一定选用数学归纳法,观其“形”,它具有较 好规律,因此不妨采用构造数列的方法进行解.

- 18 -



说明:因为数列是特殊的函数,所以可以因问题的数学结构,利用函数的思想解决.

例 14.已知函数 f ( x) ?

x ? 2x ? 2
2

x ?1

(1) 设 〈 x ? 1, 0 ? t ? 1, 求证: t ? x ? t ? x ? 0

f ?tx ? 1 ?

?f ( 2)设x是正实数,求证: ? x ? 1?? ? f x ? 1 ?
n n

?

?

分析:本例主要复习函数、不等式的基础知识,绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基 本思路先将函数不等式转化为代数不等式,利用绝对值不等式的性质及函数的性质。 证明(1)再利用二项展开式及基本不等式的证明(2) 。 证明: (1)? f ( x) ?
( x ? 1) ? 1
2

x ?1

? f (tx ? 1) ? tx ?

1 tx

- 19 -

? f (tx ? 1) ? tx ?

1 tx

? tx ?

1 tx

? 2 tx ?

1 tx

? 2, 当且仅当 tx ? 1 时,上式取等号。

? 0 ? x ? 1,0 ? t ? 1? tx ? 1, ? f (tx ? 1) ? 2
s ? ( t ? x ? t ? x ? 2(t ? x ) ? 2 t ? x ? ( t ? x ? t ? x ) ? 2(t ? x ) ? 2 t ? x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

当 t ? x 时, s ? 4t ? 4;当 t ? x 时s ? 4 x ? 4
2 2

? t ? x ? t ? x ? 2 ? f (tx ? 1) 即 t ? x ? t ? x ? f (tx ? 1)

(2) n ? 1 时,结论显然成立 当 n ? 2 时, ? f ( x ? 1)? ? f ( x n ? 1) ? ( x ?
n

1 x

) ? (x ?
n n 2 n?4

1 x
n

) ? Cn x
n?2

1

n ?1

? 1

1 x

? Cn x ? Cn

2

n?2

? 1

1 x
2

? .....

? Cn

n?2

x ?
2

1 x
n?2

? Cn

n ?1

x? x

1
n ?1

? Cn x

1

n?2

? Cn x

? ...... ? Cn

? x

n ?1

n?4

? x

n?2

?

1 ? 1 n?2 1 1 1 ? 2 n ?1 n?4 n?2 C (x ? n ? 2 ) ? Cn ( x ? n ? 4 ) ? .... ? Cn ( x ? n?2 ) ? n ? 2? x x x ?
1 2

?

?2 ? (C

1 n

? Cn ? ... ? Cn

2

n ?1

) ? Cn ? Cn ? ... ? Cn

?

1

2

n ?1

?2 ?2
n

例 15.己知 i, m, n是正整数,且1 ? i ? m ? n (1) 证明:n Am ? m An
i i
n

i

i

(2) 证明: ? m ? ? ?1 ? n ? ?1

m

证明: (1) 对于1 ? i ? m, 有Am ? m.(m ? 1)......(m ? i ? 1),
i

i

Am m
i

i

?

m m

?

m ?1 m ? 2 m ? i ?1 ? ...... m m m

同理

An n
i

?

n n ?1 n ? 2 n ? i ?1 ? ? ...... 由于m ? n, 对整数k ? 1,2,......, i ? 1, 有 n n n n An n
i i

n?k n

?

m?k m

,?

?

Am m
i

i

即m An ? n Am
i i

i

i

(2)由二项式定理有 (1 ? m) n ? ? m i Cn , (1 ? n) m ? ? n i Cm , (1)知m i An ? n i Am 由
i i i i ?0 i ?0 i i

n

m

i

(1 ? i ? m ? n), 而Cn ?

i

An i!

, Cm ?

i

Am i!

? m cn ? n Cm (1 ? i ? m ? n)
i i

i

i

- 20 -

因此 ? m i Cn ? ? n i Cm , 又m oCn ? n oCm ? 1, mCn ? nCm ? mn, m i Cn ? 0
i i o o 1 1 i i ?2 i ?2 n m

m

m

( m ? i ? n) ? ? m Cn ?? n Cm 即(1 ? m) ? (1 ? n) 。
i i i i n m i ?0 i ?0

四、强化训练 1.已知非负实数 x , y 满足 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 且 3x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是( ) A.
7 3

B.

8 3

C. 2

D. 3
x

2.已知命题 p:函数 y ? log 0.5 ( x 2 ? 2 x ? a ) 的值域为 R,命题 q:函数 y ? ?(5 ? 2a ) 是减函数。若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a≤1 3. 解关于 x 的不等式 B.a<2
a?x x ?2 x ? 3
2

C.1<a<2 >0

D.a≤1 或 a≥2

4.求 a,b 的值,使得关于 x 的不等式 ax2+bx+a2-1≤0 的解集分别是: (1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3){2};(4)[-1,+∞). 5. 解关于 x 的不等式 1 ? a
2x

? a ? a ( a ? 0且a ? 1)
x

6.数列 xn 由下列条件确定: x1 ? a ? 0, x n ?1 ? (1)证明:对于 n ? 2, 总有x n ?

? ?

1? a ? ? xn ? ?, n ? N ? ? 2? xn ? ?

a,

(2)证明:对于 n ? 2, 总有xn ? xn ?1 . 7.设 P=(log2x) +(t-2)log2x-t+1,若 t 在区间[-2,2]上变动时,P 恒为正值,试求 x 的变化范 围. 8.已知数列 ?a n ? 的通项为a n , 前n项和为s n , 且a n 是s n 与2的等差中项,数列?bn ?中, b1=1,点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上。
、 的通项公式a n , bn Ⅰ)求数列 ?a n ? ?bn ?
2

Ⅱ)设 ?bn ?的前 n 项和为 Bn, 试比较

1 B1

?

1 B2

? ... ?

1 Bn

与2的大小 。

Ⅲ)设 Tn=

b1 a1

?

b2 a2

? ... ?

bn an

, 若对一切正整数n, Tn ? c (c ? Z )恒成立, 求c的最小值

- 21 -

五、参考答案 1.解:画出图象,由线性规划知识可得,选 D 2.解:命题 p 为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数 x 2 ? 2 x ? a 的判 别式 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,从而 a ? 1 ;命题 q 为真时, 5 ? 2a ? 1 ? a ? 2 。 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,故 p 和 q 中只有一个是真命题,一个是假命题。 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2,故选 C. 3.分析:本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的基 本步骤。本题的关键是对分母分解因式,将原不等式等价转化为 ? x ? a ?? x ? 3?? x ? 1? ? 0 和比较 a 与 ? 1 及 3 的大小,定出分类方法。 解:原不等式化为: ? x ? a ?? x ? 3?? x ? 1? ? 0 (1) 当 a ? ?1 时,由图 1 知不等式的解集为 ?x x ? a或 ? 1 ? x ? 3? (2) 当 ? 1 ? a ? 3时,由图2知不等式的解集为?x x ? ?1或a ? x ? 3? (3) 当 a ? 3时,由图3知不等式的解集为?x x ? ?1或3 ? x ? a? 4.分析:方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地 联系起来,相互转化和相互交通. 解(1) 由题意可知,a>0 且-1,2 是方程 ax2+bx+a2-1≤0 的根,所以

(3)由题意知,2 是方程 ax2+bx+a2-1=0 的根,所以 4a+2b+a2-1=0. 又{2}是不等式 ax2+bx+a2-1≤0 的解集,所以 ①

- 22 -

(4)由题意知,a=0.b<0,且-1 是方程 bx+a2-1=0 的根,即-b+a2-1=0,所以 a=0,b=-1. 说明:二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系.在解决具体 的数学问题时,要注意三者之间相互联系相互渗透,并在一定条件下相互转换。 5.分析:在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧,通过换元,可将较复杂的不等 式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,数形结合,则可将不等式的解化归为直观, 形象的图象关系,对含参数的不等式,运用图解法,还可以使得分类标准更加明晰。 解:设 t ? a x ,原不等式化为 1 ? t 坐标系中作出两函数图象
? y1 ? y2 , 故(1)当 0 ? a ? 1 ,0 ? t ? 1, 即0 ? a 时
x
2

? a ? t (t ? 0)设y1 ?

1 ? t (t ? 0), y 2 ? a ? t ,在同一
2

? 1? x ? ?0,??)
2

当1 ? a ? 2时, 如右图, 解方程 1 ? t

2

? a ? t得t1 , 2 ?

a? 2?a 2
2

(2)
? a? 2?a 2
2

?t ?

a? 2?a 2

2

? x ? (log a

2? 2?a 2

, log a

a? 2?a 2

2

)

(3)当 a ?

2 时,原不等式的解集为 φ

综上所述,当 a ? (0,1) 时,解集为 ?0,?? ) ;当 a ? (1, 2 ) 时,解集为
2? 2?a 2
2

(log a

, log a

2?

2?a 2

2

);当a ?

?

2 ,??) 时,解集为 φ。

6.证明: (1) x1 ? a ? 0及xn?1 ?
?当n ? 2时xn ?

1 2

( xn ?

a xn

)知xn ? 0, 从而xn?1 ?

1 2

( xn ?

a xn

)?

xn ?

a xn

? a (n ? N ?)

a成立
1 2 a xn 1 a

(2)当 n ? 2 时, x n ?

a ? 0, x n ?1 ?

(xn ?

),? x n ?1 ? x n ?

(

2 xn

? xn )

=

1 2

?

a ? xn xn

2

? 0. ? n ? 2时, xn ? xn ?1成立

7.分析:要求 x 的变化范围,显然要依题设条件寻找含 x 的不等式(组),这就需要认真思考

- 23 -

条件中“t 在区间[-2,2]上变动时,P 恒为正值.”的含义.你是怎样理解的?如果继续思考有 困难、请换一个角度去思考.在所给数学结构中,右式含两个字母 x、t,t 是在给定区间内变 化的,而求的是 x 的取值范围,能想到什么? 解:设 P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1.因为 P=f(t)在 top 直角坐标系内是一直线,所以 t 在区间[-2,2]上变动时,P 恒为正值的充要条件

解得 log2x>3 或 log2x<-1.

说明:改变看问题的角度,构造关于 t 的一次函数,灵活运用函数的思想,使难解的问题转化 为熟悉的问题. 8.分析:本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。 略解:Ⅰ) an ? 2 n , bn ? 2n ? 1 Ⅱ)Bn=1+3+5+…+(2n-1)=n2
? 1 B1 ?1? ? 1 1? 2 1 n
1 2
1 2 1 2
2

1 B2

? ... ? 1 2?3 1 B1

1 Bn

?

1 1
2

? 1

1 2
2

?

1 3
2

? ... ?

1 n 1 2
2

?

? .. ? ? 1 B2
2

( n ? 1).n ? ... ? 1 Bn
n ?1 n

? 1 ? (1 ? ?2

)?(

1 2

?

1 3

) ? ... ? (

1 n ?1

?

1 n

)

?2?

? 2?

Ⅲ)Tn=
1 2

?

3 2
2

?
3 2
3

5 2
2

? ... ?
5 2
4


2n ? 1 2
n ?1

2

Tn ?

?

? ?

? ... ? ? 1 2
3


2 2
n

①-②得 Tn ?
? Tn ? 3 ? 1 2 ?
n?2

1 2 ? ?

1 2 2
2

?

2 2
3

? ... ?

?

2n ? 1 2
n ?1

2n ? 1
n

?3 ? 37 16 ?2

又 T4 ?

1 2

3 2
2

4 2
3

?

7 2
4

- 24 -

? 满足条件Tn ? c的最小值整数c ? 3 。

- 25 -


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