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2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题


2009 届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷
一、填空题: 1.设集合 M ? ? x x ? sin

? ?

? n? 3? ? ? 3 ? , n ? Z ? ,则满足条件 P ? ? ,? ? ? M 的集合 P 的个数是___个 2 2 ? ? 3 ? ? ?

?1 ? ? b1 ?

? ? ? ? 13.设 A= (a1 , a 2 , a3 ) , B= ? b2 ? , 记 A☉B=max ?a1b1 , a 2 b2 , a3 b3 ?, 若 A= ( x ? 1, x ? 1,1) , B= ? x ? 2 ? , ? ?b ? ? x ?1 ? ? ? 3? ? ?
且 A☉B= x ? 1 ,则 x 的取值范围为 。

cos 2? 2 2.若 ,则 cos ? ? sin ? = ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
?4 x ? 3 y ? 25 ? 0 ? 3.已知 O 为直角坐标系原点,P、Q 的坐标满足不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 cos?POQ 的 ?x ?1 ? 0 ?
最小值为__________ 4.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且 PA ? PB ,若直线 PA 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 则直线 PB 的方程是_____________________ 5.已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数为 1,则 lim
x ?0

14.设 A 为锐角三角形的内角, a 是大于 0 的正常数,函数 y ?
则 a =___ _ 二、解答题 15.已知 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? x ? 1 , a ? R . (1)当 a ? ?3 时,求证: f ( x) 在 R 上是减函数;

1 a 的最小值是 9, ? cos A 1 ? cos A

(2)如果对 ?x ? R 不等式 f ?( x) ? 4 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

f (1 ? x) ? f (1) =___________ 2x

6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出下列三个 函数: f1 ? x ? ? sin x ? cos x, f 2 ? x ? ? 为“同形”函数 7.椭圆 ax ? by ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为
2 2

2 sin x ? 2 , f3 ? x ? ? sin x 则___________________

3 a , 则 =________ 2 b

16.在△ ABC 中, a, b, c 分别为角 A、B、C 的对边, a ? c ? b ?
2 2 2

8bc , a =3, △ ABC 的面积为 6, 5

x ( x ? R) ,三位同学甲、乙、丙在研究此函数时 8.一次研究性课堂上,老师给出函数 f ( x) ? 1? | x |
分别给出命题: 甲:函数 f (x)的值域为(-1,1) ; 乙:若 x1≠x2,则一定有 f (x1)≠f (x2); 丙:若规定 f1 ( x) ? f ( x), f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)), 则 f n ( x) ? 你认为上述三个命题中正确的个数有__________个 9.过定点 P (1,2)的直线在 x轴与y轴 正半轴上的截距分别为 a、 b ,则 4 a ? b 的最小值为
2 2
x 10.若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a ? 1| (a ? 0 且 a ? 1) 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是

D 为△ ABC 内任一点,点 D 到三边距离之和为 d。 ⑴求角 A 的正弦值; ⑵求边 b、c; ⑶求 d 的取值范围

x ? 对任意 n ? N 恒成立. 1? n | x |

11.“已知数列 ?an ? 为等差数列,它的前 n 项和为 Sn ,若存在正整数 m, n ? m ? n ? ,使得 Sm ? Sn , 则 Sm ? n ? 0 。 ” ,类比前面结论,若正项数列 ?bn ? 为等比数列, 12. Rt△ABC 中,斜边 AB=1,E 为 AB 的中点,CD⊥AB,则 (CA ? CD)(CA ? CE) 的最大值为_________.

D1
17.已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ;(Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

C1
19.某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后,建立了一个预测该市一天中的大气污

A1

B1
D

E

染指标 f(t)与时间 t(单位:小时)之间的关系的函数模型:
1 ? 1 f (t ) ? g (t ) ? ? a ? 2a,t ?[0, 24) ,其中, g (t ) ? sin( t ? 18 ) 代表大气中某类随时间 t 变化的典型 2 24 3

C
B

A

污染物质的含量;参数 a 代表某个已测定的环境气象指标,且 a ? [0, ] 。 ⑴ 求 g(t)的值域; ⑵ 求 M(a)的表达式; ⑶若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过 2.0,试问:若按给定的函数模型预测,该市 目前的大气环境综合指数是否会超标?请说明理由。

3 4

18.已知直线 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦 点,且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : mx ? ny ? 1 .试证明当点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动时, 直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围.

20.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax(a ? R)
3

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最小值; (2)若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线, 求 a 的取值范围 (3)设 g ( x) ?| f ( x) |, x ? [?1,1] ,求 g ( x) 的最大值 F ( a ) 的解析式。

参考答案:
1. 4 2.

(Ⅱ)证明:作 BB1 的中点 F,连结 AF、CF、EF . 3.

1 2

2 2

3.

1 2

4. x ? y ? 5 ? 0

5.

1 2

6. f1 ? x ? , f2 ? x ?

∵ E、F 是 CC1、BB1 的中点,∴ CE

B1F ,

3 1 8. 3 9.32 10. (0, ) 11. 它的前 n 项乘积为 Tn ,若 Tm ? Tn ,则 Tm?n ? 1 2 2 2 12. 13. [1,1+ 2 ] 14. 4 27
7. 15.解: (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? ?3x3 ? 3x2 ? x ? 1 , ∵ f / ( x) ? ?9 x2 ? 6 x ? 1 ? ?(3x ? 1)2 ? 0 ,∴ f ( x) 在 R 上是减函数. (2)∵ ?x ? R 不等式 f ?( x) ? 4 x 恒成立,即 ?x ? R 不等式 3ax2 ? 6 x ? 1 ? 4 x 恒成立, ∴ ?x ? R 不等式 3ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立. 当 a ? 0 时, ?x ? R
2 x ? 1? 0 不恒成立;

∴四边形 B1FCE 是平行四边形,∴ CF// B1 E . ???7 分 ∵ E , F 是 CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC , 又 BC // AD ,∴ EF // AD . ∴四边形 ADEF 是平行四边形,? AF // ED , ∵ AF

CF ? C , B1E

ED ? E ,
?????????????9 分 ??????10 分

∴平面 ACF // 面 B1DE .

又 AC ? 平面 ACF ,∴ AC // 面 B1DE . (Ⅲ) S ?ABD ?

当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立,即 ? ? 4 ? 12a ? 0 ,∴ a ? ? .

1 3

1 AB ? AD ? 2 . ???????????12 分 2

? ]. 当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 不恒成立. 综上, a 的取值范围是 (??,
16.解:(1) a2 ? c2 ? b2 ?
8bc 5

1 3

1 1 2 VA? BDE ? VE ? ABD ? S?ABD ? CE ? S?ABD ? CE ? . ???????????15 分 3 3 3
18.解: (1)由 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) ,得 ( x ? 2 y ? 3) ? k (4 x ? 3 y ? 12) ? 0 , 则由 ?

?b

2

? c2 ? a2 4 ? 2bc 5

? cos A ? ? sin A ?

4 5

3 5

1 1 3 (2)? S?ABC ? bc sin A ? bc ? ? 6 ,? bc ? 20 2 2 5 2 2 2 b ?c ?a 4 ? 及 bc ? 20 与 a =3 解得 b=4,c=5 或 b=5,c= 4 由 2bc 5 1 (3)设 D 到三边的距离分别为 x、y、z,则 S?ABC ? (3x ? 4 y ? 5z) ? 6 2
?3 x ? 4 y ? 12, 12 1 ? d ? x ? y ? z ? ? (2 x ? y) 又 x、y 满足 ? x ? 0, 5 5 ? y ? 0, ? 12 画出不等式表示的平面区域得: ? d ? 4 5

? x ? 2 y ? 3? 0 x2 y 2 , 解 得 F ( 3,0 ) 设 椭 圆 C 的 方 程 为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 则 a b ? 0 ?4 x ? 3y ? 1 2

17. (Ⅰ)证明:连结 BD ,则 BD // B1D1 ,

????1 分

? c?3 ?a ? 5 x2 y 2 ? ? ?1 ? a ? c ? 8 ,解得 ?b ? 4 所以椭圆 C 的方程为 ? 25 16 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?c ? 3 ? ? m2 n 2 ? ? m2 ? n 2 , ( 2 )因为点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动 , 所以 1 ? 从而圆心 O 到直线 25 16 1 l : mx ? ny ? 1 的距离 d ? ? 1 ? r . 所以直线 l 与圆 O 恒相交 m2 ? n 2 1 2 2 1 又直线 l 被圆 O 截得的弦长为 L ? 2 r ? d ? 2 1 ? 2 m ? n2 ? 2 1 ? 9 2
25 m ? 16

∵ ABCD 是正方形,∴ AC ? BD .∵ CE ? 面 ABCD ,∴ CE ? BD . 又 AC

CE ? C ,∴ BD ? 面 ACE .

??????4 分

∵ AE ? 面 ACE ,∴ BD ? AE , ∴ B1D1 ? AE . ????????????????5 分

9 2 15 4 6 m ? 16 ? 25 ,则 L ? [ , ], 25 2 5 15 4 6 即直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围是 L ? [ , ] 2 5
由于 0 ? m ? 25 ,所以 16 ?
2

1 19. 解:⑴g(t) 的值域为[0, ]???????5 分 2
5 7 ? a ? , a ? [0, ] ? ? 6 12 ⑵ M (a ) ? ? ???????10 分 ?3a ? 1 , a ? ( 7 , 3 ] ? 3 12 4 ?

综上

1 ? ?1 ? 3a, ( a ? 4 ) ? 1 ? F ( x) ? ?2a a , ( ? a ? 1) 4 ? ?3a ? 1, ( a ? 1) ? ?

⑶当 a ? [0,

7 7 5 17 5 ] 时, M (a) ? a ? ≤ + = <2; 12 6 12 6 12

7 3 1 9 1 23 当 a ? ( , ] 时, M (a) ? 3a ? ≤ ? ? ? 2. 12 4 3 4 3 12

所以若按给定的函数模型预测,该市目前的大气环境综合指数不会超标。???????15 分 20.解: (1)?当a ? 1 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 3, 令f ' ( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1 当 x ? (?1,1) 时, f ' ( x) ? 0,当x ? (??,?1] ? [1,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,

? f ( x)在(?1,1)上单调递减 , 在(??,?1],[1,??)上单调递增 ? f ( x) 的极小值是 f (1) ? 2
( 2 ) ? f ' ( x) ? 3x 2 ? 3a ? ?3a , ? 要使直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线

1 3 3 (3)因 g ( x) ?| fx) |?| x ? 3ax | 在[?1,1]上是偶函数 , 故只要求在 [0,1]上的最大值 ' ①当 a ? 0 时, f ( x) ? 0, f ( x)在[0,1]上单调递增且 f (0) ? 0,? g ( x) ? f ( x) F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a.

y ? f ( x) 的切线,当且仅当 ? 1 ? ?3a 时成立,? a ?

②当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x ? a )(x ? a ), (ⅰ)当 a ? 1,即a ? 1

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),? f ( x)在[0,1]上单调递增 , 此时F (a) ? ? f (1) ? 3a ? 1
(ⅱ)当 0 ?

a ? 1,即0 ? a ? 1 时, f ( x)在[0, a ]上单调递减 , 在 [ a ,1] 单调递增; 1 1°当 f (1) ? 1 ? 3a ? 0, 即 ? a ? 1 时, 3 g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),? f ( x)在[0, a ]上单调递增 , 在[ a ,1]上单调递减 , 1 F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a ;2°当 f (1) ? 1 ? 3a ? 0,即0 ? a ? 3 1 (ⅰ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a, 即0 ? a ? 时, F (a ) ? f (1) ? 1 ? 3a 4 1 1 (ⅱ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a, 即 ? a ? 时, F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a 4 3


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