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河北省保定市2014届高三期末调研考试数学(理)试题(扫描版,word答案)


高三调研考试理科数学参考答案 一选择题:CCBAA
二.填空题:13、8;

CCABD
14、

BD
15、 (?2, ) ;

3 ; 3

2 3

16、111

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

。 17、解: (1)因为 f ( x) ?

? 1 ....................................................... 2 分 ? sin(2 x ? ) ? 6 2 2? 所以 T ? ? ? ,故 f ( x) 的最小正周期为 ? .............3 分 w
2k? ?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

?

2

? 2x ?

?

6

? 2k? ?

?

函数的单调增区间为 [k? ?

, k? ? ], k ? z ................5 分 3 ? ? ? 5? (2)因为 0 ? x ? ,?? ? 2 x ? ? .......................... 6 分 2 6 6 6 ? ? ? 1 所以当 2 x ? ? ,即 x ? 时 f ( x) 有最大值 .............8 分 6 2 3 2 6
当 2x ?

?

2

,? k? ?

?

?

6

? x ? k? ?

?

3

?

6

??

?

6

,即 x ? 0 时, f ( x) 有最小值-1 .............10 分

18.解: (1)? Sn ? 2an ? 2 ,? Sn?1 ? 2an?1 ? 2(n ≥ 2) ,两式相减、整理得
? an ? 2an ?1 (n ≥ 2) . ................................................................................3 分

又? a1 ? 2 ,?{an }是以2为首项, 2为公比的等比数列 ,
? an ? 2 ? 2n ?1 ? 2n .

( n ? N * ) ………………………………………………5 分

(2) bn ? n ? 2n ,
Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n , 2Tn ? 1 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ..........................................................8 分

两式相减得: ?Tn

? 21 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ,

??Tn ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n) ? 2n ?1 ? 2 , 1? 2
………………………………………………………12 分

?Tn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 .

19.(1)证明:∵△PMB 为正三角形, 且 D 为 PB 的中点,∴MD⊥PB. 又∵M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点, ∴MD//AP,∴AP⊥PB.…………………3 分 又已知 AP⊥PC,∴AP⊥平面 PBC, ∴AP⊥BC,又∵AC⊥BC, AC ? AP ? A , ∴BC⊥平面 APC ……………………………………6 分
P D B M C A

5 5 (2) 法一: 建立空间直角坐标系如图, 则 B( , 0, 0) , P (- , 0, 0) , 2 2
M (0, 0, 5 3 ) 2

过点 C 做 CH⊥PB 垂足为 H,在 Rt△PBC 中,由射影定理或根据三角形相似可得

12 9 5 7 ,BH ? ,DH ? ? BH ? 5 5 2 10 7 12 即点 C 的坐标为 ……………………………………………9 分 ( , , 0) 10 5
H C= 所以 BC ? (? ,

??? ?

???? ? ? 5 5 3 ??? ? 16 12 5 5 3 ???? 9 12 ), PM ? ( , 0, ), PC ? ( , , 0), , 0) , BM ? (? , 0, 2 2 2 2 5 5 5 5
??
z
A

∴设平面 BMC 的法向量 m ? ( x, y, z ) ,

??? ? ?? ?? ? BC ?m ? 0 ? 则由 ? ???? 得可取 m ? (12,9, 4 3) ? ?? ? ? BM ?m ? 0 ? ∴仿上可得平面 PMC 的一个法向量 n ? (3, ?4, ? 3) ?? ? ?? ? 36 ? 36 ? 12 2 39 m?n =? ∴ cos m, n ? ?? ? = 91 273 ? 28 m?n
2 39 故所求的二面角余弦值的绝对值为 …………………………12 分 91

M P D

y
C

H

B

x

法二:建立空间直角坐标系如图,则 A(0, 0,5 3) , C (0, 4,0) , B(3, 4,0) ,

因为 M 为 AB 的中点,所以 M ( , 2,

3 2

5 3 ), 2

z

A

uuu r uuur 3 5 3 BC ? (?3, 0, 0) , BM ? (? , ?2, ) 2 2

uuur r 3 5 3 uuu PM ? ( , 2, ), PC ? (0, 4, 0), ………………………9 分 2 2

M P D C

y

x

B

∴设平面 BMC 的法向量 m ? ( x, y, z )

??

??? ? ?? u r ? ? BC ?m ? 0 则由 ? ???? 得可取 m ? (0,5 3, 4) , ? ?? ? ? BM ?m ? 0 r ∴仿上可得平面 PMC 的一个法向量 n ? (5, 0, ? 3) ?? ? ?? ? 0?0?4 3 2 39 m?n =? ∴ cos m, n ? ?? ? ? 91 91 ? 28 m?n
故所求的二面角余弦值的绝对值为

2 39 …………………………12 91

法三:如图以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 3 由题意:PB=BM=5,PC=4,AP=5 3 ,D ( , ?2, 0) 2
??? ? ??? ? ???? ? 3 5 3 ? CB ? (3, 0, 0), CP ? (0, ?4, 0), CM ? ( , ?2, ) ……………………..8 分 2 2
平面 PMC 、平面 BMC 均不与坐标平面 xoy 平行或重合 不妨设 m ? ( x1 , y1 ,1) , n ? ( x2 , y2 ,1) 分别为平面 PMC 、平面 BMC 的法向量

??

?

?? ??? ? ? m ? CP ? 0 ? y1 ? 0 ?? 5 ? ? m ? (? , 0,1) ? ? ?? ???? 3 5 3 3 ?0 ? m ? CM ? 0 ? x1 ? 2 y1 ? ? 2 2

A

z

M C P D

y

x

B

? ??? ? ? n ? CB ? 0 ? x2 ? 0 ? 5 3 ? ? n ? (0, ? ,1) ……………….10 分 ? ? ? ???? 3 5 3 4 ?0 ?n ? CM ? 0 ? x2 ? 2 y2 ? ? 2 2 ?? ? ?? ? m?n 1 2 39 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? 91 75 25 m?n 1? ? 1? 16 3
故所求的二面角余弦值的绝对值为

2 39 …………………………12 分 91

20. 解: (1)X 的所有可能取值为 10、 30、 50、 70、90(分钟)........................2 分
其概率分布列如下 X P 10 30 50 70 90

1 2

1 3

1 36

1 12

1 18
..................6 分

(2)甲、乙二人 1 1 1 1 1 245 X的数学期望E ( X ) ? 10 ? ? 30 ? ? 50 ? ? 70 ? ? 90 ? ? 分钟……7分 2 3 36 12 18 9 候车时间分别为 10 分钟、30 分钟、50 分钟的概率为

1 1 1 , p甲30 ? , p甲50 ? ;………………8 分 6 2 3 1 1 1 1 1 ……………10 分 p乙10 ? , p乙30 ? , p乙50 ? ? ? 2 3 6 6 36 28 7 1 1 1 1 1 1 所以 p = ? + ? + ? = = 6 2 2 3 3 36 108 27 7 即甲、乙二人候车时间相等的概率为 ………………12 分 27 p甲10 ?

21. 解: (1)易得 a ?

2 ? 2 ,又 a : b ? 2 :1 2

x2 ? y 2 ? 1 ..................................... 4 分 所以 a ? 2 , b ? 1 .故方程为 2
2 2

(2)由题意知,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 方程: y ? k ( x ? 2) .....................5 分 显然,当 k=0 时,|AB|=2 2 与已知不符,所以 k ? 0 ..................................... 6 分 设 A( x1,y1 ), B( x2 , y2 ), P( x, y )

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ? 2
? ? 64k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?

1 .....................................8 分 2

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x ? x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 5 20 2 5 2 ,∴ 1 ? k | x1 ? x2 |? ,∴ ( 1 ? k 2) [( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 3 3 9
2

∵ | AB |?
2

(4k -1 )(14k +13) =0 ,即 k 2 = ∴

1 ....................................................10 分 4

又因为 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y ) ,且 k ? 0 ,即 t ? 0

所以 x ?

x1 ? x2 y ? y2 1 8k 2 ?4k ? ,y? 1 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? 2 t t (1 ? 2k ) t t t (1 ? 2k 2 )

(8k 2 ) 2 (?4k ) 2 1 ?2 2 ? 2 ,又 k 2 = . ∵点 P 在椭圆上,∴ 2 2 2 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k ) 4
所以 t = ? 2 6 …………………........................................................................……12 分

3

22.解:(1)f ?( x )=e x ? 1 x? (-?, 0)时,f ?( x ) ? 0, f ( x )递减;

x? (0, +?)时,f ?( x ) ? 0, f ( x )递增,...........2分 ? f ( x ) min ? f ( x )极小值 =f (0)=0 x ? 0时,f ( x ) ? 0, 故f ( x )只有一个零点。......3分
( 2) A n ? B n ?

?

n
0

f ( x )dx +n ? ?

1 2 n ? e n ? 1, .............5分 2

由等差数列、等比数列的前n项和性质可知: 1 2 n ,B n =e n ? 1.................................................6分 2 1 ? a n ? ? n ? , b n ? (e ? 1)e n ?1 , n ? N * .........................7分 2 ex ? x ?1 ? (3)x ? ? , 2 ? 时,f ( x ) ? ax ? 1 ? e x ? x ? ax ? a ? x ?2 ? An = ? 设g ( x ) ?

ex ? x (e x ? 1) x ? e x ? x e x ( x ? 1) , g ?( x ) ? ? ........9分 x x2 x2 x ? 1时, g ?( x ) ? 0, g ( x )递增;x<1时,g ?( x ) ? 0, g ( x )递减,

1 e2 又 g( ) =2 e -1 ? g(2) = -1................................................10分 2 2 e2 ?1 ? ? x ? ? , 2 ? 时,g ( x ) max ? g(2) = -1 2 ?2 ? ?a ? e2 e2 -1.即实数a的取值范围 是(-?, -1 ) ...................12分 2 2


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