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】1.3.1《二项式定理》ppt课件


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人教A版 · 选修2-3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
计数原理

第一章

计数原理

成才之路 · 高中新课程 · 学

习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

第一章 1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理

第一章

计数原理

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

4

备 选 练 习

第一章

1.3

1.3.1

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自主预习学案

第一章

1.3

1.3.1

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能用计数原理推导证明二项式定理,会用二项式定理解决 与二项展开式有关的简单问题.

第一章

1.3

1.3.1

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重点:二项式定理的推导及通项公式的应用.

难点:如何利用计数原理推导出二项展开式.

第一章

1.3

1.3.1

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二项式定理 思维导航 1.我们已知(a+b)2=a2+2ab+b2,展开式中有3项;运用

多项式乘法可以求得(a+b)3、(a+b)4的展开式,并且它们分别
有4项、5项,你能用类比归纳的方法得出(a+b)n(n≥2)的展开式 吗?

第一章

1.3

1.3.1

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新知导学 1.二项展开式的推导:(a+b)n(n∈N*)是 n 个因式(a+b) 的积,按多项式乘以多项式的法则,可知确定乘积展开式中的 每一项,需要看有多少个因式(a+b)中取 a,多少个因式(a+b)

n-k 中取 b,如果从 k 个因式中选取 b,则就有_________ 个因式中 k n -k k C n 选 a.∴积式为 a b (k=0、1、2、?、n)的形式的项共有______
k n-k k Cn a b 个.合并同类项后为 _____________________. 因此 (a + b)n = 0 n 1 n-1 r n-r r n-1 n-1 n n C a + C a b +?+ C a b +?+ C ab + C n n n n nb ______________________________________________ 这个公式

叫做二项式定理.
第一章 1.3 1.3.1

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2.二项式(a+b)n(n∈N*)展开式的特点:
(1)它有__________ 项; n+1 (2) 各项的次数 ( 即 a 与 b 的指数的和 ) 都等于二项式的次数 n ________ ; n 递减到_______ 0 ;字母 (3)字母a按降幂排列,次数由______ 0 递增到______ n b按升幂排列,次数由_____ ;

(4)展开式中系数 Ck n(k=0、1、2、?、n)叫做第 k+1 项的 二项式系数,它们仅与二项式次数 n 有关. k n-k k T = C b k+1 na (5) 二项展开式的通项公式: ___________________ ( 其中
k+1 0≤k≤n,k∈N,n∈N+)它是展开式的第__________ 项.
第一章 1.3 1.3.1

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3 .在 (a + b)n 的展开式中,取 a = 1 , b = x ,则 (1 + x)n =
1 2 2 r r 1 + C x + C x +?+ C x +?+xn n n n _____________________________________ 在 解 题 中 是很 有 用

的,要认真体会,熟练掌握.

第一章

1.3

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牛刀小试
1.(1-x)10展开式中x3项的系数为( A.-720 C.120 [答案] D B.720 D.-120 )

[解析]

本题考查了二项式展开定理,要注意项的系数与

3 3 二项式系数的区别,C3 ( - x ) =- 120 x ,故选 D. 10

第一章

1.3

1.3.1

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15 2.(x-x ) 的展开式中含 x3 项的二项式系数为( A.-10 C.-5
[答案] D
[解析] 1r r 5-r 5-2r Tr+1=C5· x (- ) =(-1)rCr · x , 5 x

)

B.10 D.5

令 5-2r=3,则 r=1.∴x3 项的二项式系数为 C1 5=5.

第一章

1.3

1.3.1

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2 10 3.(2014· 开滦二中期中)二项式(x + ) 的展开式中的常 x
2

数项是(

) B.第 9 项 D.第 7 项

A.第 10 项 C.第 8 项
[答案] B

[解析] 通项

5r r 2 10-r 2 r r r Tr+1=C10· (x ) · ( ) =2 · C10x20- ,令 x 2

20

5r - 2 =0 得 r=8,∴常数项为第 9 项.

第一章

1.3

1.3.1

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1 5 4.(2013· 浙江理,11)设二项式( x- ) 的展开式中常数 3 x 项为 A,则 A=________.
[答案] -10

[解析]

5-r r r r 5-r r Tr+1=C5x (-1) · x- ,令 - =0 2 3 2 3

得 r=3,

3 所以 A=C3 5(-1) =-10.

第一章

1.3

1.3.1

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典例探究学案

第一章

1.3

1.3.1

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利用通项公式求展开式中的特定项
? 2 1 ? ? ?10 求二项式?x + ? 的展开式中的常数项. 2 x ? ?

[分析] 展开式中第 r+1 项为

r C10 (x2)10-r? ?

? ?2

1

? ?r ,要使得它 x? ?

是常数项,必须使“x”的指数为零,依据是 x0=1,x≠0.

第一章

1.3

1.3.1

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[解析] 设第 r+1 项为常数项,则
- ? r Tr+1=C10 (x2)10 r· ?

?

1

?2

? 5 ?1?r ?r r ? ? (r=0,1?,10). =C10x20-2r· ? x? ?2?

5 令 20-2r=0,得 r=8,
8 1 8 ? ? = ∴T9=C10·

? ? ?2?

45 256.

45 ∴第 9 项为常数项,其值为256.

第一章

1.3

1.3.1

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[方法规律总结 ]

二项式的展开式的某一项为常数项,就

是这项不含“变元”,一般采用令通项Tr+1中的变元的指数为 零的方法求得常数项.

第一章

1.3

1.3.1

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2 5 (2013· 江西理,5)(x -x3) 展开式中的常数项为(
2

)

A.80 C.40
[答案] C

B.-80 D.-40 2 r r 2 5-r 10-2r r -3r Tr+1=C5(x ) (- 3) =Cr x · ( - 2) · x 5 x
-5r

[解析]

r =C5 (-2)r· x10

.

令 10-5r=0,∴r=2,常数项为 C2 5×4=40.

第一章

1.3

1.3.1

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1 ? ? ? x+ ?n 若? 4 ? 展开式中前三项系数依次成等差 2 x? ? 数列.求: (1)展开式中含 x 的一次幂的项; (2)展开式中所有 x 的有理项.
[分析] 首先由“前三项系数成等差数列”,得到关于n的

方程,解得 n的值,然后根据题目的要求解答每一问.每问都 与二项展开式的通项公式有关.

第一章

1.3

1.3.1

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? 1 ? ?r n-r ? [解析] 通项为 Tr+1=Cr · ( x ) · n ? 4 ?. ?2 x ?
0 2 1 11 由已知条件知: Cn+Cn·2=2Cn·, 解得

2

2

n=8 或 n=1(舍去).

? 1 ? 3 ?r r 8-r ? r -r (1)Tr+1=C8· ( x) · 2 · x4-4r. ? 4 ? =C8· ?2 x ? 3 令 4-4r=1,解得 r=4. ∴含 x 的一次幂的项为 35 4 -4 T4+1=C8· 2 · x= x. 8

第一章

1.3

1.3.1

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3 (2)令 4-4r∈Z(r≤8),则只有当 r=0、4、8 时,对应的项 才为有理项,有理项分别为: 35 1 T1=x ,T5= 8 x,T9=256x2.
4

第一章

1.3

1.3.1

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[方法规律总结 ]

利用二项式的通项公式求二项展开式中

具有某种特性的项是关于二项式定理的一类典型题型.常见的 有求二 项 展开式 中 的第 r 项、 常数项 、 含某字 母 的 r 次 方的 项??等等.其通常解法就是据通项公式确定Tk+1中k的值或取

值范围以满足题设的条件.

第一章

1.3

1.3.1

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a 8 (2013· 安徽理,11)若(x+ ) 的展开式中 x4 的系数为 7, 3 x 则实数 a=________.

[答案]

1 2

第一章

1.3

1.3.1

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[解析] 由

Tr+1=Cr xr( 8·

a 8-r r 4r-8 8-r ) =C8· x 3 · a . 3 x

4r-8 3 令 3 =4,∴r=5,则 x4 的系数为 C5 a 8 =7. 1 解之得 a=2.

第一章

1.3

1.3.1

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二项式定理的逆用
n 1 n -1 设 n 为自然数,化简 C0 · 2 - C 2 +?+(- n n· k n-k 1)k· Cn · 2 +?+(-1)n· Cn n.

[分析] 由题目可获取以下主要信息:
①展开式中“+”与“-”相间隔; ②2的指数最高为 n ,依次递减至 0,且每一项的指数等于 对应的组合数的下标与上标的差. 解答本题可先分析结构形式,然后逆用二项式定理求解.

第一章

1.3

1.3.1

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[解析]

n -1 1 n -k 原式=C0 2n· 10-C1 · 1 +?+(-1)k· Ck +? n· n2 n2

0 n +(-1)n· Cn · 2 = (2 - 1) =1. n

[方法规律总结]

二项式定理的逆用是一种常见题型,如

果一个多项式的各项是某式的连续乘方形式,这时应注意分析
r n-r r 各项特点,研究系数规律,与二项展开式的通项 Tr+1=Cn a b

作对比;向二项式展开式靠拢.

第一章

1.3

1.3.1

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设 P = 1 + 5(x + 1) + 10(x + 1)2 + 10(x + 1)3 + 5(x + 1)4 + (x + 1)5,则P等于( )

A.x5
C.(x-1)5 [答案] B

B.(x+2)5
D.(x+1)5

[解析] P=[1+(x+1)]5=(x+2)5,故选B.

第一章

1.3

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二项式系数与项的系数的区分

(1)在(x- 3)10 的展开式中,求 x6 的系数. (2)求(1+x)2· (1-x)5 的展开式中 x3 的系数.
[解析] (1)(x- 3)10 的展开式的通项是
10-k k Tk+1=Ck x ( - 3) . 10

令 10-k=6,∴k=4. 由通项公式可知含 x6 项为第 5 项,即
10-4 6 T4+1=C4 x (- 3)4=9C4 10 10x .

∴x6 的系数应为 9C4 10=1890.
第一章 1.3 1.3.1

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(2)∵(1+x)2 的通项为 Tr+1=Cr xr, 2·
k (1-x)5 的通项 Tk+1=(-1)k· Ck · x . 5

其中 r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4}. 令
? ?k=1, k+r=3,则有? ? ?r=2, ? ?k=2, 或? ? ?r=1, ? ?k=3, 或? ? ?r=0.

1 2 3 ∴x3 的系数为-C1 + C · C - C 5 2 5 5=5.

第一章

1.3

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[方法规律总结 ]

二项式系数与项的系数是两个不同的概

念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式的构成无 关,后者与二项式的构成、二项式的指数及项数均有关.

第一章

1.3

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(2013· 四川理,11)二项式 (x +y)5的展开式中,含x2y3的项 的系数是________.(用数字作答) [答案] 10
5-r r [解析] Tr+1=Cr x y ,∴r=3. 5

∴系数为 C3 5=10.

第一章

1.3

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规范答题样板 (2014· 秦安县西川中学高二期中 ) 已知 (1 + ax)(1 +x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a=( A.-4 C.-2 B.-3 D.-1 )

第一章

1.3

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[解题思路探究 ]

第一步,审题.由于所给代数式是两个

多项式的乘积形式,故展开式中x2项应按多项式乘法的法则来 寻找,当第一个括号取1时,后一个括号应取x2;当第一个括号 取ax时,后一个括号应取x,故展开式中x2的系数应为这两项系 数的和.

第二步,确定解题步骤.
先按二项式定理和多项式乘法法则找出展开式中含 x2 的 项,再由项的系数的和为5列方程,最后解方程求a. 第三步,规范解答.

第一章

1.3

1.3.1

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r [解析] (1+x)5 展开式的通项为 Tr+1=Cr x 5 ,令 r=1,2 得, 2 2 2 T2=C1 5x,T3=C5x ,因此题中表达式的展开式中含 x 的项的系 1 数为 C2 + a C 5 5=5,解之得 a=-1.

[方法规律总结 ]

在多个多项式的积的展开式中,求符合

某种条件的项或项的系数时,按多项式乘法的法则和二项展开
式的通项,逐项考察分析得出结论.

第一章

1.3

1.3.1

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(1)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的项 的系数是( )

A.-15
C.-120 是________(用数字作答). [答案] (1)A (2)35

B.85
D.274

(2) 在 (1 + x) + (1 + x)2 +?+ (1 + x)6 的展开式中, x2 的系数

第一章

1.3

1.3.1

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[解析] (1)展开式中含 x4 的项应从 5 个括号中选 4 个 x,1 个常数,故 x4 的系数为(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=- 15. ?1+x?· [?1+x?6-1] ?1+x?7-1-x (2)原式= = , x ?1+x?-1 欲求展开式中 x2 的系数, 只需求(1+x)7 的展式中 x3 的系数, 即 T4=C3 7=35.

第一章

1.3

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巩固提高学案
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第一章

1.3

1.3.1

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备选练习
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第一章

1.3

1.3.1


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